Торические действия сложности один и диагонализация периодических матриц

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 18-71-00009

НазваниеТорические действия сложности один и диагонализация периодических матриц

Руководитель Айзенберг Антон Андреевич

Организация финансирования, регион Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" (НИУ ВШЭ) , г Москва

Конкурс №29 - Конкурс 2018 года по мероприятию «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология

Ключевые слова спектр матрицы, диагонализация, изоспектральное пространство, действие тора, числа Бетти, цепочка Тоды, интегрируемые системы, пространственные решетки, пермутоэдр, классификация торических действий, дискретное уравнение Шредингера

Код ГРНТИ27.19.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В проекте исследуются пространства эрмитовых матриц, имеющих нули на заданных позициях и фиксированный спектр. Такое пространство мы называем пространством изоспектральных разреженных матриц. Топология этого пространства в некоторых частных случаях хорошо изучена. Если у матриц допускаются ненулевые значения на всех позициях, то соответствующее пространство является гладким многообразием полных комплексных флагов - это классический объект в исчислении Шуберта. Многообразие трехдиагональных изоспектральных матриц - комплексное многообразие Томеи - также хорошо известно. Это пространство является квазиторическим многообразием над специальным многогранником - пермутоэдром, если использовать современную терминологию. Классический алгоритм диагонализации матрицы - QR-алгоритм - задает дискретную динамику на этом изоспектральном многообразии. Гладким аналогом этой динамики является знаменитый поток Тоды - интегрируемая динамическая система, описывающая движение конечного числа точек на прямой под действием экспоненциальных сил отталкивания между соседними точками. Оказывается, что поток Тоды на комплексном многообразии Томеи задается попросту градиентным потоком на пермутоэдре. Это дает некоторое объяснение, почему QR-алгоритм и поток Тоды столь эффективны в прикладных задачах диагонализации. Основной целью проекта является исследование пространства периодических трехдианогональных матриц, т.е. матриц у которых ненулевые значения допускаются на трех диагоналях, а также в правом верхнем и левом нижнем углах. Такие матрицы возникают при исследовании дискретного уравнения Шредингера и являются классическим объектом в математической физике и интегрируемых гамильтоновых системах, однако про топологию соответствующего изоспектрального пространства известно крайне мало. Предлагаемый проект ставит целью изучение пространства изоспектральных периодических трехдиагональных матриц методами торической топологии, динамических систем и дискретной геометрии. В торической топологии широко известно понятие локально стандартного действия тора на многообразии. Примерами таких действий являются многообразия Томеи. Мы предлагаем расширить теорию, рассмотрев действия сложности один, то есть действия тора размерности n-1 на 2n-мерном многообразии. В качестве основного примера мы имеем в виду действие тора на пространстве изоспектральных периодических трехдиагональных матриц. Помимо тора на описываемом пространстве действует известная динамическая система: периодический поток Тоды, причем ее действие коммутирует с действием тора. За исключением дискриминантного множества точек вырождения эта динамическая система подчиняется теореме Лиувилля-Арнольда, поэтому ее траектории образуют всюду плотные обмотки торов. Наличие такой динамики делает периодические трехдиагональные матрицы сложным объектом с точки зрения алгоритмов диагонализации. Мы собираемся исследовать не только невырожденные точки периодического потока Тоды, но и само дискриминантное множество. Оказывается, что в точках вырождения исследуемое пространство обладает крайне интересной комбинаторной геометрией, связанной с регулярным замощением евклидова пространства параллельными копиями пермутоэдра. Для описания пространства изоспектральных периодических трехдиагональных матриц при помощи комбинаторно-геометрических данных автор предлагает разработать общую теорию торических действий сложности один.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Айзенберг А.А. Torus Actions of Complexity 1 and Their Local Properties Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 302, Issue 1, Pages 16-32 (год публикации - 2018)
10.1134/S0081543818060020

2. Черепанов В.В. Orbit spaces of torus actions on Hessenberg varieties Cornell University. Series math "arxiv.org" (год публикации - 2019)

3. Айзенберг А.А. Dimensions of multi-fan algebras Journal of the Mathematical Society of Japan (год публикации - 2019)

4. Айзенберг А.А., Черепанов В.В. Torus actions of complexity one in non-general position Cornell University. Series math "arxiv.org"., arXiv:1905.04761 (год публикации - 2019)

5. Айзенберг А.А. Torus action on quaternionic projective plane and related spaces Cornell University. Series math "arxiv.org", arXiv:1903.03460 (год публикации - 2019)

6. Айзенберг А.А. Space of isospectral periodic tridiagonal matrices Algebraic and Geometric Topology (год публикации - 2020)

7. Айзенберг А.А., Бухштабер В.М. Manifolds of Isospectral Matrices and Hessenberg Varieties International Mathematics Research Notices (год публикации - 2020)
10.1093/imrn/rnz388

Публикации

2. Черепанов В.В. Orbit spaces of torus actions on Hessenberg varieties Cornell University. Series math "arxiv.org" (год публикации - 2019)

3. Айзенберг А.А. Dimensions of multi-fan algebras Journal of the Mathematical Society of Japan (год публикации - 2019)

5. Айзенберг А.А. Torus action on quaternionic projective plane and related spaces Cornell University. Series math "arxiv.org", arXiv:1903.03460 (год публикации - 2019)

6. Айзенберг А.А. Space of isospectral periodic tridiagonal matrices Algebraic and Geometric Topology (год публикации - 2020)