КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 19-11-00172
НазваниеАддитивные действия на полных алгебраических многообразиях и их обобщения
Руководитель Аржанцев Иван Владимирович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №35 - Конкурс 2019 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые слова алгебраическое многообразие, алгебраическая группа, действие, группа автоморфизмов, алгебра Ли, торическое многообразие, кольцо Кокса
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Одним из важных объектов изучения современной алгебраической геометрии и теории алгебраических групп преобразований являются квазиоднородные алгебраические многообразия, т.е. многообразия с заданным действием группы с открытой орбитой. С одной стороны, такие многообразия естественно возникают в задачах из различных областей математики и в приложениях. С другой стороны, многообразия такого вида часто допускают конструктивное описание и во многих случаях поддаются изучению с помощью разработанных в последнее время эффективных методов. Одна из причин популярности квазиоднородных многообразий в алгебраической геометрии состоит в том, что имея удобное описание многообразий данного класса и обладая “словарем”, переводящим геометрические свойства многообразия на язык, в терминах которого дано описание многообразия, мы можем проверять те или иные трудные гипотезы, касающиеся произвольных алгебраических многообразий, для многообразий из данного класса. В этом случае можно рассчитывать либо на доказательство/опровержение гипотезы для многообразий данного класса, либо на новую интересную проблему, сформулированную в терминах, подчас весьма далеких от исходной формулировки. Примерами подобных описаний служат описание торических многообразий в терминах вееров, составленных из полиэдральных конусов, описание аффинных многообразий с действием тора произвольной сложности в терминах полиэдральных дивизоров и описание аддитивных действий на проективных пространствах в терминах конечномерных локальных алгебр. Задание торических многообразий с помощью объектов выпуклой геометрии позволило не только охарактеризовать геометрические свойства многообразий в комбинаторных терминах, но и получить глубокие результаты о выпуклых многогранниках и веерах конусов, используя технику алгебраической геометрии.
В настоящее время наиболее детально изучены нормальные алгебраические многообразия, допускающие действие с открытой орбитой редуктивной алгебраической группы (торические многообразия, редуктивные моноиды, сферические многообразия, вложения однородных пространств сложности один). Цель данного проекта – изучение алгебраических многообразий, на которых с открытой орбитой действует нередуктивная группа. Наиболее интересным для нас случаем является случай коммутативной унипотентной группы. Эффективное действие с открытой орбитой коммутативной унипотентной группы на полном алгебраическом многообразии мы называем аддитивным действием. Иначе говоря, мы планируем изучать эквивариантные пополнения аффинных пространств, то есть рассматривать аффинное пространство как векторную группу и интересоваться открытыми вложениями аффинного пространства, для которых действие векторной группы на себе левыми сдвигами продолжается до регулярного действия на всем многообразии.
Результаты, полученные за последние двадцать лет, показывают, что аддитивные действия обладают целым рядом замечательных свойств, для их изучения разработано несколько общих методов (геометрические характеризации действия, соответствие Хассетта-Чинкеля, описание действия в терминах колец Кокса). В последнее время в ведущих математических журналах работы по данной тематике публикуются достаточно регулярно, и есть все основания ожидать, что число таких работ будет быстро расти. В то же время теория аддитивных действий все еще находится на этапе становления. Именно сейчас становятся актуальными детальная проработка существующих методов и развитие новых подходов, которые позволят охарактеризовать аддитивные действия в терминах геометрических и алгебраических инвариантов многообразия. В свою очередь это должно привести к описанию многообразий, допускающих аддитивные действия, и к полной классификации аддитивных действий на данном многообразии. Участники заявки уже внесли в развитие этого направления определенный вклад. Поэтому масштабный проект, посвященный развитию теории аддитивных действий и выполняемый данным коллективом, в настоящее время представляется своевременным и перспективным.
Задача описания аддитивных действий требует привлечения нетривиальных идей и методов из различных разделов математики и обогащает эти разделы новыми постановками задач и оригинальными результатами. Так изучение аддитивных действий тесно связано с геометрией алгебраических многообразий, вопросами арифметики (проблема Манина об асимптотическом поведении числа рациональных точек ограниченной высоты), теорией конечномерных алгебр, теорией представлений и теорией локально нильпотентных дифференцирований, структурной теорией алгебраических групп и алгебр Ли. Мы предполагаем, что через некоторое время теория аддитивных действий сможет составить достойную конкуренцию торической геометрии в части разнообразия полученных результатов, используемых методов и возможных приложений.
Разработанную в рамках проекта технику работы с одномерными аддитивными группами преобразований планируется применить в более широком контексте действий конечномерных и бесконечномерных алгебраических групп преобразований как полных, так и аффинных алгебраических многообразий. Будут изучены действия с открытой орбитой для некоммутативных унипотентных групп и исследовано активно изучаемое в последнее время свойство бесконечной транзитивности действия. Эти результаты позволят получить принципиально новые факты о геометрии алгебраических многообразий и связанных с ними алгебраических и комбинаторных структур.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Публикации
1.
Аржанцев И.В., Брагин С.Д., Зайцева Ю.И.
Commutative algebraic monoid structures on affine spaces
Communications in Contemporary Mathematics (год публикации - 2019)
10.1142/S0219199719500640
2.
Аржанцев И.В., Куюмжиян К.Г., Зайденберг М.Г.
Infinite transitivity, finite generation, and Demazure roots
Advances in Mathematics, 351 (2019), 1-32 (год публикации - 2019)
10.1016/j.aim.2019.05.006
3.
Матвеев Д.А.
Commuting homogeneous locally nilpotent derivations
Sbornik Mathematics, 210 (2019) (год публикации - 2019)
10.1070/SM9132
4. Чистопольская А.И. On nilpotent generators of the symplectic Lie algebra Linear and Multilinear Algebra (год публикации - 2019)
5. Перепечко А.Ю. Affine cones over cubic surfaces are flexible in codimension one Forum Mathematicum (год публикации - 2021)
6. Аржанцев И.В., Зайденберг М.Г. Tits' type alternative for groups acting on toric affine varieties International Mathematics Research Notices (год публикации - 2021)
7.
Джунусов С.Н.
Additive actions on complete toric surfaces
International Journal of Algebra and Computation (год публикации - 2020)
10.1142/S0218196721500028
8.
Аржанцев И.В., Лиендо А., Стасюк Т.А.
Lie algebras of vertical derivations on semiaffine varieties with torus actions
Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 225, no. 2, 106499: 1-18 (год публикации - 2021)
10.1016/j.jpaa.2020.106499
9.
Губарев В.Ю., Перепечко А.Ю.
Injective Rota–Baxter operators of weight zero on F[x]
Mediterranean Journal of Mathematics, 18, article no. 267 (год публикации - 2021)
10.1007/s00009-021-01909-z
10.
Болдырев И.А., Гайфуллин С.А.
Automorphisms of nonnormal toric varieties
Mathematical Notes, 110, no. 6, 872-886 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621110237
11.
Шафаревич А.А.
Additive actions on toric projective hypersurfaces
Results in Mathematics, 76, no. 3, article 145 (год публикации - 2021)
10.1007/s00025-021-01462-x
12.
Шахматов К.В.
Smooth non-projective equivariant completions of affine spaces
Mathematical Notes, 109, no. 6, 954-961 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621050291
13.
Аржанцев И.В., Шахматов К.В.
Some finiteness results on triangular automorphisms
Results in Mathematics, 77 (2022), no. 2, article 75 (год публикации - 2022)
10.1007/s00025-022-01612-9
14.
Боровик В.А., Гайфуллин С.А., Трушин А.Н.
Commutative actions on smooth projective quadrics
Communications in Algebra, 50 (2022), no. 12, 5468-5476 (год публикации - 2022)
10.1080/00927872.2022.2086986
15.
Джунусов С.Н.
On uniqueness of additive actions on complete toric varieties
Journal of Algebra, 609 (2022), 642-656 (год публикации - 2022)
10.1016/j.jalgebra.2022.06.016
Публикации
1.
Аржанцев И.В., Брагин С.Д., Зайцева Ю.И.
Commutative algebraic monoid structures on affine spaces
Communications in Contemporary Mathematics (год публикации - 2019)
10.1142/S0219199719500640
2.
Аржанцев И.В., Куюмжиян К.Г., Зайденберг М.Г.
Infinite transitivity, finite generation, and Demazure roots
Advances in Mathematics, 351 (2019), 1-32 (год публикации - 2019)
10.1016/j.aim.2019.05.006
3.
Матвеев Д.А.
Commuting homogeneous locally nilpotent derivations
Sbornik Mathematics, 210 (2019) (год публикации - 2019)
10.1070/SM9132
4. Чистопольская А.И. On nilpotent generators of the symplectic Lie algebra Linear and Multilinear Algebra (год публикации - 2019)
5. Перепечко А.Ю. Affine cones over cubic surfaces are flexible in codimension one Forum Mathematicum (год публикации - 2021)
6. Аржанцев И.В., Зайденберг М.Г. Tits' type alternative for groups acting on toric affine varieties International Mathematics Research Notices (год публикации - 2021)
7.
Джунусов С.Н.
Additive actions on complete toric surfaces
International Journal of Algebra and Computation (год публикации - 2020)
10.1142/S0218196721500028
8.
Аржанцев И.В., Лиендо А., Стасюк Т.А.
Lie algebras of vertical derivations on semiaffine varieties with torus actions
Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 225, no. 2, 106499: 1-18 (год публикации - 2021)
10.1016/j.jpaa.2020.106499
9.
Губарев В.Ю., Перепечко А.Ю.
Injective Rota–Baxter operators of weight zero on F[x]
Mediterranean Journal of Mathematics, 18, article no. 267 (год публикации - 2021)
10.1007/s00009-021-01909-z
10.
Болдырев И.А., Гайфуллин С.А.
Automorphisms of nonnormal toric varieties
Mathematical Notes, 110, no. 6, 872-886 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621110237
11.
Шафаревич А.А.
Additive actions on toric projective hypersurfaces
Results in Mathematics, 76, no. 3, article 145 (год публикации - 2021)
10.1007/s00025-021-01462-x
12.
Шахматов К.В.
Smooth non-projective equivariant completions of affine spaces
Mathematical Notes, 109, no. 6, 954-961 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621050291
13.
Аржанцев И.В., Шахматов К.В.
Some finiteness results on triangular automorphisms
Results in Mathematics, 77 (2022), no. 2, article 75 (год публикации - 2022)
10.1007/s00025-022-01612-9
14.
Боровик В.А., Гайфуллин С.А., Трушин А.Н.
Commutative actions on smooth projective quadrics
Communications in Algebra, 50 (2022), no. 12, 5468-5476 (год публикации - 2022)
10.1080/00927872.2022.2086986
15.
Джунусов С.Н.
On uniqueness of additive actions on complete toric varieties
Journal of Algebra, 609 (2022), 642-656 (год публикации - 2022)
10.1016/j.jalgebra.2022.06.016
Публикации
1.
Аржанцев И.В., Брагин С.Д., Зайцева Ю.И.
Commutative algebraic monoid structures on affine spaces
Communications in Contemporary Mathematics (год публикации - 2019)
10.1142/S0219199719500640
2.
Аржанцев И.В., Куюмжиян К.Г., Зайденберг М.Г.
Infinite transitivity, finite generation, and Demazure roots
Advances in Mathematics, 351 (2019), 1-32 (год публикации - 2019)
10.1016/j.aim.2019.05.006
3.
Матвеев Д.А.
Commuting homogeneous locally nilpotent derivations
Sbornik Mathematics, 210 (2019) (год публикации - 2019)
10.1070/SM9132
4. Чистопольская А.И. On nilpotent generators of the symplectic Lie algebra Linear and Multilinear Algebra (год публикации - 2019)
5. Перепечко А.Ю. Affine cones over cubic surfaces are flexible in codimension one Forum Mathematicum (год публикации - 2021)
6. Аржанцев И.В., Зайденберг М.Г. Tits' type alternative for groups acting on toric affine varieties International Mathematics Research Notices (год публикации - 2021)
7.
Джунусов С.Н.
Additive actions on complete toric surfaces
International Journal of Algebra and Computation (год публикации - 2020)
10.1142/S0218196721500028
8.
Аржанцев И.В., Лиендо А., Стасюк Т.А.
Lie algebras of vertical derivations on semiaffine varieties with torus actions
Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 225, no. 2, 106499: 1-18 (год публикации - 2021)
10.1016/j.jpaa.2020.106499
9.
Губарев В.Ю., Перепечко А.Ю.
Injective Rota–Baxter operators of weight zero on F[x]
Mediterranean Journal of Mathematics, 18, article no. 267 (год публикации - 2021)
10.1007/s00009-021-01909-z
10.
Болдырев И.А., Гайфуллин С.А.
Automorphisms of nonnormal toric varieties
Mathematical Notes, 110, no. 6, 872-886 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621110237
11.
Шафаревич А.А.
Additive actions on toric projective hypersurfaces
Results in Mathematics, 76, no. 3, article 145 (год публикации - 2021)
10.1007/s00025-021-01462-x
12.
Шахматов К.В.
Smooth non-projective equivariant completions of affine spaces
Mathematical Notes, 109, no. 6, 954-961 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621050291
13.
Аржанцев И.В., Шахматов К.В.
Some finiteness results on triangular automorphisms
Results in Mathematics, 77 (2022), no. 2, article 75 (год публикации - 2022)
10.1007/s00025-022-01612-9
14.
Боровик В.А., Гайфуллин С.А., Трушин А.Н.
Commutative actions on smooth projective quadrics
Communications in Algebra, 50 (2022), no. 12, 5468-5476 (год публикации - 2022)
10.1080/00927872.2022.2086986
15.
Джунусов С.Н.
On uniqueness of additive actions on complete toric varieties
Journal of Algebra, 609 (2022), 642-656 (год публикации - 2022)
10.1016/j.jalgebra.2022.06.016