Аннотация результатов, полученных в 2014 году
Доказаны наилучшие оценки в задаче о суммах произведений конечного поля, найдены приложения к мультипликативным подгруппам, подгруппе Хейльбронна, распределению степеней первообразного корня, частным Ферма. Получено новое необходимое условия для множества быть суммой, изучены крайние случаи теоремы Бейтмана-Каца. Установлены общие комбинаторные теоремы для множеств Семереди-Троттеровского типа, найдены новые нижние оценки на суммы множеств разных классов. Написан обзор о структурных результатах в аддитивной комбинаторике. С помощью спектральных методов усилена верхняя оценка на число решений специального сравнения с шестью неизвестными, принадлежащих мультипликативной подгруппе в поле вычетов простого порядка p. Попутно получены новые оценки о наибольшем расстоянии соседних элементов подгруппы или произвольного смежного класса по этой подгруппе. Получен ряд условных (опирающихся на гипотезу Римана) теорем об оценках снизу максимума модуля дзета-функции Римана $\zeta(s)$ на очень коротких промежутках критической прямой. Также доказан ряд условных результатов о ``нерегулярностях'' в распределении нулей дзета-функции Римана, найдены новые результаты о промежутках Грама. Найдены оценки на концы максимального интервала содержащего последовательность {xi a^n} для чисел Пизо различных степеней. Получен ряд новых оценок для соотношения равномерных и обыкновенных диофантовых экспонент совместных приближений, экспонент двойственных решеток. Доказаны новые теоремы переноса. Найдены новые структурные теоремы на двумерные суммы и разности множеств, изучены числа покрытия для множеств вида A+A, где A -- равномерное. Получены асимптотические формулы для количеств чисел, не превосходящих заданного и имеющих четное (нечетное) количество различных простых делителей, принадлежащих специальным множествам. Доказана знакоопределенность разности количеств чисел с четным и нечетным числом различных простых делителей, принадлежащих специальным множествам. Рассмотрены общие одномерные квазирешетки произвольной коразмерности, над которыми определены тригонометрические суммы, зависящие от действительного параметра. Найдена связь между оценкой тригонометрической суммы в неспектральном случае и задачей об оценке остаточного члена двумерной проблемы распределения дробных долей линейной функции. В качестве приложения получены достаточные условия, при выполнении которых точки заданной одномерной квазирешетки равномерно распределены по фиксированному модулю. Построены неавтономные динамические системы большой сложности. Теорема Гекке о равномерном распределении на окружности распространена на многомерные неавтономные множества ограниченного остатка. Доказано что многомерный спектр Дирихле (в евклидовой норме) содержит отрезок с началом в нуле. Решен вопрос об осцилляции разностной фунции Ярника (фунции меры иррациональности) для почти всех пар матриц размера n × m (в случае n=1, m - натуральное и в случае n=2, m=1). Получены новые неравенства для диофантовых экспонент в малых размерностях. Доказаны теоремы о рациональных точках на сфере. Получены новые результаты о диофантовых приближениях в SL_2(Z). arXiv:1404.2907v1 [math.NT] 10 Apr 2014 arXiv:1410.5662v1 [math.CO] 21 Oct 2014 arXiv:1408.0542v2 [math.CO] 14 Oct 2014 arXiv:1302.3839v2 [math.NT] 01 Aug 2014 arXiv:1406.0518v3 [math.NT] 14 Nov 2014 arXiv:1404.6649v4 [math.NT] 21 May 2014

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Индуцированные двумерные разбиения Рози обобщены на разбиения торов произвольной размерности, для функций отклонения полученных множеств ограниченного остатка найдены явные формулы. Доказана гипотеза Балога из теории сумм произведений. Получены первые результаты об измеримых раскрасках в два цвета. Исследованы невырожденные (n,k,r)--жесткие матрицы n на n над конечным полем. Результат о произведениях интервалов и множеств с малым мультипликативным удвоением обобщен для произвольных составных модулей. Выведены новые оценки тригонометрических сумм по специальной подгруппе в кольце вычетов по модулю p^{3}, получены приложения о делимости частных Ферма на квадрат простого числа. Решен вопрос об осцилляции разностной фунции меры иррациональности для почти всех пар матриц в одномерном и двумерном случаях. Получены новые оценки для максимального расстояния между нижним и верхним пределами последовательности ||\xi \alpha^n||, где || || - это расстояние до ближайшего целого, а alpha - это число Пизо степени не превосходящей 4. Доказана обратная теорема для двумерных сумм и разностей. Были получены оценки остаточных членов в асимптотических формулах для так называемых "дробных моментов" аргумента S(t) дзета-функции Римана на критической прямой. В частности, доказано, что всякий интервал на критической прямой длины порядка тройного логарифма от величины правого конца содержит значения дзета-функции, превосходящие по модулю сколь угодно большую фиксированную постоянную, далее, всякий указанный интервал содержит промежутки Грама, как не содержащие ни одного нуля дзета-функции, так и содержащие два и более таких нулей, что отвечает нерегулярности в распределении нулей дзета-функции, наконец, всякий указанный интервал содержит точки, в которых значения аргумента S(t) дзета-функции Римана превышают по модулю число 3. Исследованы вопросы о представлениях множеств в виде суммы двух других. Ряд результатов параметрической геометрии чисел Шмидта-Суммерера перенесен на случай многопараметрических задач, получены неравенства, связывающие экспоненты решеток. Доказаны новые теоремы о структуре некоторых диофантовых спектров, связанных со вторым последовательным минимумом и с приближением точек на единичной окружности. Доказаны новые теоремы о рациональных точках на сфере, в частности, дано новое элементарное доказательство теоремы Клейнбока-Меррилла и получен эффективный количественный результат. Доказаны теоремы о диофантовых приближениях в SL2(R). Получены новые теоремы о недонородных приближениях для систем линейных форм. Ссылки на архив : arXiv:1507.02727v2 [math.CO] 22 Jul 2015 arXiv:1501.07498v1 [math.CO] 29 Jan 2015 arXiv:1508.03814v1 [math NT] 16 Aug 2015 arXiv:1504.06989v1 [math.CO] 27 Apr 2015 arXiv:1504.04522v1 [mathNT] 17 Apr 2015 arXiv:1501.07097v1 [math.NT] 28 Jan 2015 arXiv:1501.04433v2 [math.NT] 17 Mar 2015

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Были получены новые оценки на мультипликативную энергию множества и другие его характеристики в аддитивных терминах, нашли верхнюю границу на число коллинеарных троек, установили неулучшаемую нижнюю оценку на константу утроения мультипликативной подгруппы, усилили результат Чанг о тригонометрических суммах по мультипликативным характерам, продвинулись в решении задачи о треугольниках в метрической теории Рамсея, нашли верхнюю оценку для пересечения сдвигов нескольких мультипликативных подгрупп. Мы продвинулись в вопросах об аддитивной разложимости мультипликативных подгрупп, решили многомерную задачу о линейных операторах в абелевых группах.Были получены новые оценки коротких сумм Клоостермана по модулям специального вида, содержащие очень малое число слагаемых. Получены новые верхние оценки сумм характеров Дирихле по простому модулю от сдвинутой геометрической прогрессии. Эта оценка улучшает предыдущий результат Хонг-Бин-Ю для оценки аналогичной суммы в случае простого модуля. Доказана асимптотическая формула для количества чисел, количество простых делителей которых принадлежит заданному классу вычетов. Получены новые результаты о спектре диофантовых экспонент решёток, получено многомерное обобщение связи диофантовой экспоненты числа с асимптотикой роста его неполных частных. Получены результаты о внутренних диофантовых приближениях на квадратичных гиперповерхностях, доказаны новые теоремы о квадратичных формах. Предложен новый подход к построению двумерных фракталов Рози, основанный на жадных разложениях по линейным рекуррентным последовательностям третьего порядка, получены оценки для числа p2-разбиений плоскости на полимино заданной площади. Доказано, что с каждый левый конец пропуска в спектре Лагранжа представим в виде суммы двух квадратичных иррациональностей, найден левый конец пропуска в спектре Лагранжа, для которого соответствующего достижимого числа не существует. Разработан новый метод построения множеств ограниченного остатка, в основе которого лежат вложения перекладывающихся торических разверток с дальнейшей их симметризацией, указанный метод настоящего проекта основан на дифференцировании звезд, вкладывающихся в тор, и понятии ядра разбиения торов. Методом дифференцирования индуцированных разбиений торов получены наилучшие периодические ядерные приближения для кубических иррациональностей, используя двумерные возвратные отображения, удалось найти и количественные оценки данных приближений. Ссылки на архив : https://arxiv.org/abs/1512.06613 https://arxiv.org/abs/1507.02727 https://arxiv.org/abs/1606.00358 https://arxiv.org/abs/1604.02300 https://arxiv.org/arXiv:1605.09431 https://arxiv.org/arXiv:1605.09428 https://arxiv.org/pdf/1606.01600.pdf