Аннотация результатов, полученных в 2014 году
1. Методом стохастического предела рассмотрена проблема переноса энергии электронного возбуждения в многочастичных квантовых системах с дипольным взаимодействием с квантовым полем при помощи механизма экситонного переноса, основанного на квантовой интерференции. Показано, что при специальном выборе параметров взаимодействия в модели квантового графа можно достичь усиления транспорта экситона на сток, пропорционального числу частиц в системе, а также подавить транспорт на альтернативные стоки. Для описания динамики используется метод квантового стохастического предела. Отмечены возможные применения указанного механизма в процессах квантового фотосинтеза. 2. Проведено исследование голографической термализации в пределе сильной связи, моделируемое столкновением двух ударных волн в дуальной тории в вакуумной фоновой метрике, приводящей к конфайнменту в граничной теории. Показано, что в рамках этой модели первый член асимптотики для множественности воспроизводит приемлемую зависимость от энергии в рамках определенного диапазона энергий. Проведено исследование AdS/CFT соответствия для движущейся частицы в пространстве-времени AdS3 и показано, что при определенном дискретном спектре масс в дуальной теории появляется дополнительное возбуждение типа «доменная стенка». 3. Предложено выражение для свободной энергии произвольного статического распределения клиновых дислокаций в рамках геометрической теории дефектов. Гамильтоновы уравнения равновесия для всех компонент метрики решены в явном виде, и получено эффективное действие, определяющее форму дислокаций. Показано, что форма дислокаций определяется фуксовым дифференциальным уравнением, особенности которого соответствуют осям дислокаций. Для двух клиновых дислокаций найдено общее решение в терминах гипергеометрических функций. 4. Получены асимптотические формулы для изменения величины максимума целевого функционала под воздействием флуктуаций. Получены асимптотические формулы для вероятности квантового перехода в модели Ландау-Зинера при произвольном заданном числе неселективных измерений. На их основе разработаны алгоритмы численного решения задачи максимизации этого перехода в различных предельных случаях. 5. Исследованы свойства решений универсальной краевой задачи для ряда уравнений математической физики. В этой задаче условия на граничные значения и их производные заранее не задаются. Определено наиболее общее линейное интегральное уравнение, которому должны удовлетворять граничные значения и их производные для произвольного решения.

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Предложена и исследована математическая модель квантового фотосинтеза с учётом взаимодействия фотосинтетической системы с неравновесным окружением. Рассматривалось взаимодействие системы с несколькими полями резервуаров – взаимодействие со светом, взаимодействие с фононами при переносе экситонов, и поглощение экситонов в реакционном фотосинтетическом центре моделировалось отдельным полем при нулевой температуре. Также рассматривался случай, когда свет является когерентным, для такого случая была модифицирована процедура стохастического предела квантовой теории. Было показано, что для стационарного, но неравновесного окружения система эволюционирует к стационарному состоянию, которое было вычислено явным образом. Такое состояние является неравновесным и в нём существуют потоки, описывающие квантовый перенос в установившемся режиме. Был вычислен такой установившийся поток и показано, что зависимость потока от параметров резервуаров имеет насыщающийся характер: поток пропорционален яркости для низких яркостей и выходит на константу для высоких яркостей. Полностью решена задача квантовой теории управления о максимизации вероятности квантового перехода в модели Ландау-Зинера посредством неселективных измерений. Задача решена посредством сочетания аналитических и численных методов. Получены асимптотические оценки для данной задачи и разработаны эффективные алгоритмы, основанные на методе динамического программирования и таких методах поиска глобального максимума, как метод имитации отжига и эволюционные алгоритмы. Получены результаты решения данной задачи оптимального квантового управления для всевозможных порядков значений параметра задачи. Разработанные методы могут быть применены и к другим задачам оптимального управления квантовыми системами посредством неселективных измерений. Исследовано распространение крутильных упругих волн в двустенной нанотрубке. В рамках геометрической теории дефектов распространение упругих волн в среде с дефектами описывается волновым уравнением, в котором пространственная часть метрики отличается от евклидовой и описывает среду с дислокациями. Решено волновое уравнение для распространений крутильных упругих волн в двустенной нанотрубке, для которой угловая компонента эффективной метрики имеет скачок, который соответствует разному количеству атомов в слоях нанотрубки. Найдено и проанализировано дисперсионное соотношение, возникающее при сшивке решения в месте расположения цилиндрической дислокации. Показано, что наличие цилиндрической дислокации меняет дисперсионное соотношение, которое становится явно зависимым от разности количества атомов в слоях нанотрубки. При этом фазовая скорость крутильных колебаний больше скорости поперечных колебаний, а групповая скорость – меньше. Рассмотрен движущийся конический дефект в пустом пространстве-времени AdS3 и вычислены двухточечные корреляционные функции соответствующей двумерной граничной квантовой теории поля в рамках геодезического приближения. Конический дефект согласно известному решению Хофта-Дезера-Джакива в пространстве-времени AdS3 связан с присутствием точечной массивной частицы. Показано, что в рамках геодезического приближения присутствие ультрарелятивистских безмассовых дефектов из-за эффекта линзирования геодезических, приводит к образованию зонной структуры корреляторов и образованию новых возбуждений типа доменной стенки. Изучена голографическая термализация модели в пределе сильной связи, управляемая двумя сталкивающимися ударными волнами в вакуумной фоновой метрике, дуальная теория к которой обладает свойством конфайнмента. Поскольку голографическая термализация означает образование черной дыры, точнее образование ловушечной поверхности, то ограничение размеров ловушечной поверхности приводит к естественному ограничению на время термализации. Полученные нами ограничения показывают, что модель может рассматриваться как приемлемая для низкоэнергетической термализации. Предложен метод исследования начально-краевых задач, допускающих явление разрушения или явление неединственности решения, основанный на анализе свойств разрешающего отображения, сопоставляющего каждой начально-краевой задаче множество ее решений. С помощью классификации точек разрыва разрешающего отображения дана классификация явления взрыва разрешающего отображения, которая проиллюстрирована примерами из обыкновенных дифференциальных уравнений, примерами уравнения Хопфа, уравнения Шредингера с вырожденными операторами. Предложен метод продолжения решения задачи Коши, допускающей разрушение решения, через момент разрушения посредством случайного процесса.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Центральной задачей проекта являлась разработка математических методов исследований явлений декогеренциии и процессов переноса энергии в теории открытых квантовых систем, в первую очередь, при фотосинтезе. Перенос энергии при фотосинтезе является важным примером нетривиального квантового процесса, которые изучаются в новой области - квантовой биологии. Проводились также исследования более общих математических задач квантовой динамики и управления в нано- и биосистемах. Получены важные результаты по ряду направлений, из которых хотелось бы особенно выделить следующие два. Во-первых, предложена и исследована математическая модель переноса энергии при фотосинтезе, основанная на традиционном для таких явлений использовании квантового основного кинетического уравнения Линдблада, но в отличие от других работ по данной теме, нами рассмотрена неравновесная система, взаимодействующая с тремя резервуарами. Это позволило решить проблему оптимизации времени декогерентности и мощности потока переносимой при фотосинтезе энергии. Другим важнейшим результатом, который, по нашему мнению, носит прорывной характер, является предложенный участниками проекта в 2016 г. новый подход к проблемам переноса в квантовой биологии, в частности, в фотосинтезе, основанный на идее голографической дуальности, когда квантовые процессы в реальном пространстве описываются при помощи классических уравнений гравитационного поля в дуальном пространстве анти-де Ситтера, содержащем черные дыры. Показано, что феноменологическая динамика квантовой взаимной информации для пигмент-белкового комплекса Фенна-Мэтьюса-Олсона (ФМО) может быть промоделирована при помощи рассмотрения экстремальных поверхностей в пространстве анти-де Ситтера-Вадьи. Это первое использование голографического подхода в квантовой биологии. До этого такой подход широко применялся в физике высоких энергий и теории конденсированного состояния. Мы планируем дальнейшую разработку предложенного нового подхода в будущих исследованиях. Ниже подробнее описаны эти и другие результаты работы над проектом в 2016 г. 1. Исследована модель светособирающего фотосинтетического комплекса как неравновесной квантовой системы, взаимодействующей с неравновесным окружением, получено выражение для потока в такой системе. Показано, что зависимость потока от окружения носит насыщающийся характер (линейна для малых полей и стремится к константе для больших). Получены выражения для скорости релаксации и декогеренции. Описан механизм возникновения долгоживущих квантовых состояний для вырожденной многоуровневой квантовой системы, взаимодействующей с окружением. Описан способ управления квантовыми состояниями, позволяющий получить такие долгоживущие состояния. На основе построенной модели выдвинута гипотеза о возникновении долгоживущих состояний при переносе энергии в фотосинтезе. 2. Одной из фундаментальных проблем в области исследования роли квантовой когерентности в переносе энергии при фотосинтезе является создание математических методов исследования открытых квантовых систем, сильно взаимодействующих с резервуаром. По общему мнению ведущих исследователей по данной теме, приближение слабой связи, использующееся при выводе уравнения Линдблада, часто является не вполне приемлемым для биологических систем. В рамках настоящего проекта впервые предложено использовать так называемый голографический подход для моделирования динамики системы, сильно связанной с резервуаром. В этом подходе квантовые процессы в реальном пространстве описываются при помощи классических уравнений гравитационного поля в дуальном пространстве анти-де Ситтера, содержащем чёрные дыры. Голографический подход представляет собой мощный инструмент для изучения свойств сильно взаимодействующих квантовых систем. Голографический подход применяется как в физике конденсированных состояний, так и в физике высоких энергий. Математические задачи, которые при этом приходится решать носят достаточно общий характер. Голографический подход использован нами для оценки временной зависимости энтропии зацепленности и квантовой взаимной информации в светособирающем комплексе Фенна-Мэтьюса-Олсона (ФМО) зеленых серобактерий во время передачи возбуждения от антенны в реакционный центр. Показано, что эволюция во времени взаимной информации для матрицы плотности, описываемая феноменологическим уравнением Линдблада, в некоторых случаях может моделироваться с помощью дуального описания этого процесса в пространстве-времени анти-де Ситтера-Вайдьи, соответствующего образованию черной дыры. Время возбуждения и релаксации взаимной информации также оценены в рамках голографического описания. 3. Вычислена корреляционная функция в геодезическом приближении на границе трехмерного пространства анти де-Ситтера с движущейся массивной частицей. Вычислена голографическая энтропия зацепленности на границе деформированного одной движущейся частицей пространства AdS3. Были вычислены корреляционные функции на границе трехмерного пространства анти де-Ситтера, деформированного двумя ультрарелятивистскими частицами. 4. Дано общее определение производства энтропии в марковских открытых квантовых системах, доказана теорема о неотрицательности производства энтропии, а также, при некоторых предположениях (более широких, нежели было известно до этого), адиабатического и неадиабатического вкладов в него. 5. Введены три новых принципа для квантовой неравновесной статистической механики и марковских полугрупп, получаемых в пределе слабой связи. Эти три принципа таковы: нелинейное описание Больцмана-Гиббса, локальное условие Кубо-Мартина-Швингера и обобщенное условие детального баланса. Доказана эквивалентность первых двух принципов при общих условиях. 6. Предложен квантовый алгоритм ветвей и границ на основе сочетания общей схемы метода ветвей и границ с квантовым алгоритмом вложенного поиска. Исследуется его вычислительная эффективность в сравнении с аналогичным классическим алгоритмом на примере задачи коммивояжера. Показывается, что в подавляющем большинстве задач классический алгоритм превосходит по скорости квантовый за счет большей адаптивности. Тем не менее, время работы квантового алгоритма постоянно для всех задач, тогда как классический алгоритм на некоторых задачах работает очень медленно. В результате для наихудшего случая квантовый алгоритм ветвей и границ оказался в несколько раз эффективнее классического алгоритма. 7. Получены новые результаты в геометрической теории дефектов наносистем. Для свободной энергии, содержащей действие Черна-Саймонса, с источником, пропорциональным длине дисклинации, получены уравнения равновесия для SO(3) связности. Найдено точное решение уравнений равновесия для одной прямолинейной дисклинации в классе обобщенных функций. Полученное решение описывает новый тип геометрической особенности, которая отличается от конической особенности тем, что метрика является плоской всюду, включая линию особенности, которая проявляется только в компонентах SO(3) связности. Для этой особенности отличен от нуля и тензор кривизны, и тензор кручения. Найдено решение волнового уравнения для крутильных упругих волн в цилиндрическом волноводе с эффективной метрикой, описывающей клиновую дислокацию в рамках геометрической теории дефектов, и соответствующими граничными условиями. Получено и проанализировано дисперсионное соотношение. Доказано, что если угол дефицита клиновой дислокации положителен, то это приводит к уменьшению фазовой скорости и увеличению групповой. Для отрицательных углов дефицита эффект противоположный. 8. Введено понятие вероятностной интерполяции различных методов квантования. Эта процедура основана на использовании метода нахождения математического ожидания случайных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве, основанного на усреднении - с помощью формул Фейнмана - порождаемых ими случайных однопараметрических полугрупп (обычный метод нахождения математического ожидания случайных ограниченных операторов к неограниченным случайным операторам, вообще говоря, неприменим). Хотя усреднение семейства полугрупп порождает функцию, которая может не обладать полугрупповым свойством, итерации Чернова этой функции аппроксимируют некоторую полугруппу, генератор которой и считается математическим ожиданием исходного случайного оператора. В случае ограниченных случайных операторов так определённое математическое ожидание совпадает с обычным. Для композиций независимых случайных полугрупп линейных операторов в гильбертовом пространстве получены достаточные условия выполнения закона больших чисел и приведены примеры его нарушения. 9. Одним из классических уравнений переноса является уравнение неразрывности. Исследовано уравнение неразрывности с автономным квазинесжимаемым векторным полем на плоскости. Получены новые достаточные условия единственности обобщенного решения. Доказано, что ограниченные квазинесжимаемые двухмерные векторные поля с ограниченной вариацией обладают ренормализационным свойством. Построен пример квазинесжимаемого векторного поля с ограниченной вариацией, дивергенция которого не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега и сосредоточена на тангенциальном множестве данного векторного поля. 10. Оператор параллельного переноса при заданной связности в расслоении играет особую роль в теории калибровочных полей. Участниками проекта было показано, что нелинейные уравнения Янга-Миллса для связностей эквивалентны линейному бесконечномерному уравнению Леви-Лапласа. Проведена классификация бесконечномерных операторов, определенных по аналогии с лапласианом Леви. Показано, что такие операторы могут быть определены как композиция специального линейного оператора, который называется следом Леви, и первой или второй производной. Доказана эквивалентность различный определений следа Леви и ассоциированных дифференциальных операторов. В терминах даламбертиана Леви и параллельного переноса описаны решения уравнений Янга-Миллса-Хиггса и Янга-Миллса-Дирака. Получены системы дифференциальных уравнений на бесконечномерную 1-форму и бесконечномерное поле, эквивалентные уравнениям Янга-Миллса-Дирака и квантовой хромодинамики. 11. Построена модель энергии белка, основанная на синтезе подходов фрагментов и статистических потенциалов, и обсуждается применение такой модели к различным проблемам, в частности, к построению новой модели структурного выравнивания для белков. 12. Получен ряд результатов в задаче о случайном блуждании со значениями в поле p-адических чисел (которая моделирует свойства конформации белка) или, другими словами, в задаче о распределении сумм случайных независимых величин со значениями в поле p-адических чисел. В частности, доказано, что плотность распределения суммы случайных величин, распределение которых имеет локально постоянную плотность, сходится к плотности равномерного распределения экспоненциально быстро. Предложена конструкция p-адического броуновского движения (p-адического винеровского процесса) с непрерывным (p-адическим) временем. Доказано, что p-адическая мера Винера имеет в качестве носителя компактную группу и при ограничении на носитель совпадает с мерой Хаара на этой группе. Проведена большая международная конференция, в значительной степени посвященная тематике данного проекта - "Новые направления в математической и теоретической физике" (3-7 октября 2016 г., МИАН, Москва). Ресурсы в сети Интернет, посвященные проекту. Электронные препринты: https://arxiv.org/abs/1603.09107 https://arxiv.org/abs/1604.08905 https://arxiv.org/abs/1512.03363 https://arxiv.org/abs/1612.00213 https://arxiv.org/abs/1603.07182 Видеозаписи докладов на конференциях: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14891 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14904 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14946 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14902 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14930 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14942 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14896 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14892 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=14944