Аннотация результатов, полученных в 2014 году
I.1) Построены гармонические интерполяционные и интерполяционно-ортогональные всплески в круге, которые обеспечивают наиболее простой аппарат для численного решения задачи Дирихле с непрерывными краевыми условиями. Получены точные по порядку оценки скорости сходимости частичных сумм разложений решений по построенным базисам всплесков, зависящие от гладкости граничных условий и расстояний между соответствующими узлами интерполяции. I.2) Рассматривалась нелинейная система дифференциальных уравнений, состоящая из уравнения Эйлера при задаваемом векторном поле $f$ и уравнения соленоидальности поля $V$. Изучалась проблема существования решения $(V,p)$ этой системы, у которых линии векторного поля $V$ внутри $D$ совпадает с меридианами вложенных в $D$ тороидальных поверхностей с единой осевой окружностью. Установлены условия на векторное поле $f$, при которых эта трудная задача разрешима, и описан весь класс таких решений. Решена аналогичная задача с более реальными для физической реализации ограничениями на линии векторного поля. I.3) Построены неортогональные гармонические всплески в области, которая получается путем удаления из единичного круга меньших кругов. Эти всплески удобны для решения задачи Неймана в указанной области. Получена оценка скорости сходимости частичных сумм рядов по построенным базисам всплесков в терминах наилучших приближений тригонометрическими полиномами граничных значений гармонической функции. Из этой оценки следует, что построенные всплески образуют базис введенных пространств гармонических функций Np. I.4) Построены системы биортогональных 2-раздельных кратномасштабных анализов и соответствующие им базисы масштабирующих функций. Приведен метод построения биортогональных базисов 2-раздельных всплесков по известным масштабирующим функциям. Построены примеры биортогональных 2-раздельных масштабирующих функций и всплесков на основе классических всплесков с использованием быстрого дискретного преобразования Фурье. I.5) В последние годы Ю.Н.Субботиным, В.Т.Шевалдиным и Е.В.Стрелковой были построены различные типы локальных полиномиальных и экспоненциальных сплайнов (вообще говоря, неинтерполяционных), обладающих не только хорошими аппроксимативными свойствами, но и сохраняющими геометрические свойства исходных данных (т.е.монотонность, выпуклость и т.д.) – значений аппроксимируемой функции в некоторой системе точек. Представляет интерес исследование устойчивости таких сплайнов к возмущению интерполяционных условий (т.е.нахождение норм соответствующих линейных операторов из С в С, они носят название констант Лебега). Поскольку ранее такие задачи изучались только для интерполяционных сплайнов, интересно сравнить их константы Лебега с соответствующими константами Лебега локальных сплайнов. Такие задачи рассматривались в проекте для параболических и экспоненциальных сплайнов третьего порядка. Вычислены константы Лебега параболических локальных сплайнов с произвольным расположением узлов, построенных В.Т.Шевалдиным в 2005 году и локальных параболических сплайнов с равномерными узлами Н.П.Корнейчука (1982 г.), сохраняющих параболические функции. Первая величина оказалась равной 1, вторая – 1.25 (в то время, как у интерполяционных сплайнов с равномерными узлами соответствующая константа Лебега примерно равна 1.4, как показал В.А.Ким в 2011 г.). Аналогичные результаты имеют место для некоторых видов локальных экспоненциальных сплайнов третьего порядка. Таким образом, выявлено еще одно преимущество локальных сплайнов перед интерполяционными. I.6) С помощью оценок аппроксимации функции двух переменных и ее производных интерполяционным многочленом типа Лагранжа, полученных ранее Ю.Н.Субботиным, найдены новые (более точные для производных порядка три и выше) оценки аппроксимации конечного элемента степени n>=3 типа Биркгофа с сохранением свойства непрерывности результирующей кусочно полиномиальной функции. I.7) Рассматривался новый вариант задачи сопровождения объекта $t$ наблюдателем $f$ или группой наблюдателей, которые движутся в пространстве $\mathbb R^n$, содержащем телесное фиксированное множество $G$. Наблюдатель стремится занять позицию с возможно большим значением функции видимости (ранее введенной автором), задача объекта – поиск траекторий ${\cal T}$, реализующей минимум максимума видимости. В отличии от случая, рассмотренного ранее В.И. Бердышевым (2011), наблюдатель ограничен в передвижении: объект способен поразить наблюдателя посредством миниобъекта, движущегося прямолинейно и равномерно, поэтому наблюдатель должен находиться в окрестности затененной области $s(t)=N(t) \backslash G$, где $N(t)$ – множество невидимых из $t$ точек пространства. Это обстоятельство порождает новые экстремальные задачи. В частном случае, когда $G$ - многоугольное множество, задача объекта принимает вид: вычислить величину $\min\limits_{{\cal T}\in \mathbb T}\max\limits_{t\in {\cal T}}\rho(t,s(t)),$ где $\mathbb T$ – множество траекторий с заданными начальной и конечной точками, содержащихся в окрестности заданной базовой траектории. Найдены характеристические свойства оптимальной траектории для этой задачи в случае пространства $\mathbb R^2$. Объект заинтересован в каждый момент времени находиться возможно дальше от наблюдателя (и, следовательно, от множества $s(t)$). В этой связи представляет интерес задача: найти величину $\max\limits_{{\cal T}\in \mathbb T^*}\displaystyle\int_{{\cal T}}\rho(t,s(t))\,dt $ на специальном классе $\mathbb T^*$ траекторий. Построение наилучшей траектории ${\cal T}\in \mathbb T^*$ осуществляется сведением к задаче поиска оптимального пути на ориентированном графе. I.8) Установлено существование элемента наилучшего приближения (ЭНП) в задаче равномерного приближения непрерывной функции на отрезке ломаными с ограничениями на углы между соседними звеньями, доказан аналог теоремы Валле-Пуссена для данного класса ломаных, с его помощью получена оценка снизу для величины наилучшего приближения. Ведется работа над алгоритмом численного построения ЭНП. I.9) 1) Исследовались задачи об условиях сходимости последовательностей частичных сумм тригонометрических рядов Фурье. В случае кратных ($d$-мерных, $d \ge 2$) рядов Фурье для последовательностей прямоугольных частичных сумм, номера которых (являющиеся $d$-мерными векторами с натуральными координатами) имеют пропорциональные координаты, растущие не медленней геометрической прогрессии, получено новое условие сходимости этих последовательностей почти всюду в терминах принадлежности порождающей функции классам $\varphi (L).$ 2) Исследовался вопрос о расходимости тригонометрических рядов Фурье в пространствах более узких, чем $L_1$. Получен следующий результат. Пусть функции $\varphi(u)\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, $\varphi(u)/u$ не убывают, $g(u):=\displaystyle\int_1^u \varphi(t)t^{-2}dt,\ \varphi_1(u):=ug(u)$ и $g(u^2)=O(g(u))$, $\psi(u)\colon[0,+\infty)\to[0,+\infty),$ $\psi(u)\to\infty, \, u\to\infty$. Тогда существует функция $f$ из класса $\varphi_1(L)$ такая, что $\sup_n \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \varphi\cdot\psi\left(|S_n(f,t)|\right)dt=\infty,$ т.е. ее ряд Фурье расходится в пространстве $\varphi\cdot\psi(L).$ I.10) Доказаны новые, более общие, чем были известны ранее, теоремы о характеризации непрерывности многозначных выпуклых отображений, действующих в линейных топологических пространствах. Эти теоремы содержат в себе все классические теоремы о непрерывности выпуклых функционалов. При этом оказалось, что рассматриваемый класс многозначных выпуклых отображений невозможно расширить, что, по сути, означает окончательность полученных результатов. I.11) Исследовались свойства функций $f$ из $L^2(T),$ $T=[-\pi,\pi),$ ряды Фурье которых лакунарны, причем размер всех лакун не меньше заданного натурального числа $q\ge2.$ Класс таких функций обозначается символом $D_q.$ Для функций из $D_q$ найдены двусторонние оценки их $L^2$-норм на $T$ через $L^2$-нормы на интервале $(-h,h).$ Оценки получены в терминах наилучших односторонних приближений в $L(T)$ характеристической функции интервала $(-h,h)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $q-1.$ Для некоторых значений $h=h(q),$ получены точные результаты.

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
II.1) Построены гармонические интерполяционные всплески в центрально-симметричном кольце и бигармонические интерполяционные всплески в круге, которые позволяют приближению восстанавливать решения соответствующих краевых задач по сеточным значениям задаваемых граничных функций (и нормальных производных в бигармоническом случае), причем как угодно точно за счет измельченной сетки. Найдены точные оценки скорости аппроксимации решений этих задач, точные по порядку относительно шага сетки в случае непрерывности указанных граничных условий. II.2) Найдены необходимые и достаточные условия на свойства поля сил в уравнении Эйлера движения идеальной невязкой сплошной среды в торе, при выполнении которых уравнение допускает решение с соленоидальным полем скоростей, линии которого совпадают а) с меридианами или б) с параллелями вложенных в тор концентрических тороидальных поверхностей. Эти результаты завершают исследования 2014 года по специальным решениям уравнения Эйлера, указанного выше вида. II.3) Построены бигармонические всплески, удобные для решения основной краевой задачи для бигармонических функций в области, которая получается путем удаления из единичного круга меньших непересекающихся кругов. Основная краевая задача для бигармонических функций состоит в нахождении бигармонической функции в области по ее известным граничным значениям и производным по нормали к границе области. II.4) Получен алгоритм построения биортогональных базисов пространств мультивсплесков по известным биортогональным базисам мультипространтв кратномасштабного анализа без каких-либо ограничений на базисы, образованные сдвигами и сжатиями $k$ мультимасштабирующих функций. II.5) Без применения аппарата гармонического анализа построены аналоги масштабирующих соотношений для базисных экспоненциальных сплайнов с равномерными узлами, соответствующих линейному дифференциальному оператору произвольного порядка с постоянными коэффициентами, все корни характеристического многочлена которого являются действительными. На основе этих соотношений с помощью теории результантов алгебраических многочленов построен неклассический кратномасштабный анализ неортогональных всплесков с компактным носителем, а именно, аналоги пространств $V_j$ и $W_j$ для случая экспоненциальных В-сплайнов. Ранее константы Лебега изучались только для интерполяционных сплайнов (Ф. Ричардс, А.А. Женсыкбаев, Х. Г. Морше, Ю.Н.Субботин, С.А. Теляковский, В.А. Ким и др.). Вопросы существования неинтерполяционных локальных экспоненциальных сплайнов (построенных на основе значений аппроксимируемой функции на равномерной сетке узлов) исследовались ранее Е.В.Стрелковой и В.Т.Шевалдиным. Главная проблема в этой тематике - указать локальные сплайны с возможно меньшими константами Лебега (т.е. более устойчивые к возмущению интерполяционных условий). В 2015 году для локальных экспоненциальных сплайнов произвольного порядка, сохраняющих ядро дифференциального оператора, доказано, что соответствующие константы Лебега ограничены, если шаг сетки узлов стремится к нулю. Для формально самосопряженного оператора третьего порядка равномерные константы Лебега вычислены точно в двух случаях. Во-первых, для локальных сплайнов, сохраняющих все ядро дифференциального оператора. Во-вторых, для сплайнов, реализующих простейшую схему локальной аппроксимации. Обе вычисленные константы оказались меньше, чем константа Лебега интерполяционных экспоненциальных сплайнов третьего порядка, которая ранее была найдена В.А. Кимом. Кроме того, начато изучение вопросов существования и устойчивости к возмущениям интерполяционных условий локальных тригонометрических сплайнов для операторов третьего порядка, сохраняющих ядро этого оператора. II.6) Продолжается разработка алгоритма численного построения элемента наилучшего приближения в задаче приближения ломаными с ограничениями. II.7) В 2015 г. исследовалась задача сопровождения движущегося в $\mathbb R^3$ объекта наблюдателями, расположенными в вершинах фиксированного многогранного множества $G\subset \mathbb R^3$. Множество $G$ препятствует движению и видимости. Объект вынуждает наблюдателей находиться вблизи затененной (невидимой из точки $t$ положения объекта) части $s(t)$ пространства. Задача объекта состоит в выборе траектории ${\cal T}$ из заданного ''коридора'', максимизирующей минимум расстояния $\rho(t,s(t))$ на этой траектории до теневого множества, где могут находиться наблюдатели. Найдены свойства оптимальных траекторий, дан алгоритм поиска среди таких траекторий, траектории $\widehat{\cal T}$, максимизирующей интеграл от $\rho(t,s(t))$ на $\widehat{{\cal T}}$. II.8) Построены новые треугольные конечные элементы $9$-й степени на основе известных конечных элементов $9$-й степени, обеспечивающие гладкость порядка $m$ ($m=1,2$) результирующей кусочно-полиномальной функции. Полученные элементы обеспечивают более точное приближение производных высших порядков интерполируемой функции по сравнению со всеми известными элементами, обеспечивающими гладкость $m$ результирующей кусочно-полиномальной функции. II.9) 1)Изучались вопросы сходимости и расходимости на множестве полной меры прямоугольных частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье. 2) Для классов $2\pi$-периодических функций $\varphi (L)$ и $\chi (L)$, близких к $L$, получен общий результат об условии связи функций $\varphi $ и $\chi $, достаточном для того, чтобы для любой функции из класса $\varphi (L)$ ее тригонометрический ряд Фурье сходился в "метрике" пространства $\chi (L)$. Доказано, что полученное условие является неулучшаемым. II.10) Получен критерий непрерывности по Хаусдорфу для выпуклых отображений, действующих в банаховых пространствах, который, с одной стороны, является непосредственным обобщением соответствующих критериев для линейных операторов и выпуклых функционалов, а с другой --- содержит в себе утверждение об эквивалентности непрерывности по Хаусдорфу и локальной липшицевости. II.11) В отчетный период был показано, что полученные в 2014 г. рамках проекта константы в неравенствах между $L^2$-нормами лакунарных $2\pi$-периодических функций на всем периоде через аналогичные $L^2$-нормы на части периода, меньше констант в аналогичных неравенствах, установленных А.Е. Ингамом в 1936 г. II.12) Были проведены исследования коэффициентов нечетных тригонометрических полиномов $s_n (x)$ порядка $n,$ удовлетворяющих ограничению $s_n (x)\leq x$ при $0 \leq x \leq 2\pi.$ II.13) Получены новые формулы продолжения заданной функции $f(x,y)$ непрерывной на $[0,a]\times[0,b]$ на всю плоскость $\mathbb {R}^{2}$ с сохранением непрерывности и с условием конечности носителя.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
III.1) Опубликована еще одна, третья статья про соленоидальные движения сплошной среды, подчиняющейся уравнению Эйлера, у которых линии потока и вихревые линии совпадают (ротор и вектор скорости в любой точке тора и ротор поля скоростей параллельны). Это завершающая статья из 3-х, посвященных этой теме. Ее результаты позволяют при любых заданных полях сил определить, будет ли движение обладать указанными свойствами. III.2-3) Построены неортогональные бигармонические всплески в области, которая получается путем удаления из единичного круга меньших кругов. Данные всплески удобны для решения основной краевой задачи для бигармонических функций в этой области. Получена оценка скорости сходимости частичных сумм рядов всплесков через наилучшие приближения тригонометрическими полиномами граничных значений гармонической функции. Также, на основе процесса ортогонализации построены ортогональные бигармонические всплески в многосвязных областях с круговыми границами, в том числе для симметричного и несимметричного кольца. Установлено, что ряды всплесков, построенные по краевым условиям бигармонического уравнения, сходятся равномерно в области вместе с границей. III.4) Построены пирамидальные схемы для $n$-раздельных всплесков и соответствующих КМА. Получены условия на дополнительные вектор-функции для вычисления базисных функций пространств всплесков, построенных на основе нескольких масштабирующих функций. III.5) Без применения преобразования Фурье построены аналоги двухмасштабных соотношений для базисных тригонометрических сплайнов произвольного порядка с равномерными узлами. На их основе с помощью теории результантов алгебраических многочленов предложен новый вариант построения вложенных подпространств типа всплесков с компактным носителем. Для линейного дифференциального оператора третьего порядка $L_3(D)=D(D^2+\alpha^2)$ вычислены точно константы Лебега (нормы линейных операторов их С в С) для двух видов локальных (неинтерполяционных) тригонометрических сплайнов с равномерными узлами. Без применения аппарата гармонического анализа найдены аналоги кратно-масштабных соотношений для тригонометрических В-сплайнов произвольного порядка с равноотстоящими узлами. С помощью теории результантов алгебраических многочленов предложен новый вариант построения вложенных подпространств типа всплесков на расширяющихся сетках. Метод обобщен на сплайны и всплески, определяемые произвольным линейным дифференциальным оператором с постоянными действительными коэффициентами. Построены новые локальные (неинтерполяционные) тригонометрические сплайны с равномерными узлами, точные на ядре оператора третьего порядка $L_3(D)=D(D^2+\alpha^2)$. Для них и для локальных тригонометрических сплайнов, построенных ранее В.Т.Шевалдиным и К.В.Костоусовым, вычислены точно равномерные константы Лебега (нормы линейных операторов из С в С) и построены функции Лебега. Отметим, что к настоящему времени для интерполяционных тригонометрических сплайнов соответствующие константы Лебега неизвестны. III.6) Исправлены недочёты в доказательстве критерия элемента наилучшего приближения в рассматриваемой задаче. III.7) Рассмотрено несколько экстремальных задач сопровождения движущегося объекта наблюдателями в пространстве с фиксированным затеняющим множеством, имеющим кусочно-гладкую границу. В частности, охарактеризованы наиболее скрытые траектории объекта, предложены алгоритмы построения оптимальных кусочно-линейных траекторий. III.8) Разработан алгоритм выбора условий интерполяции Биркгофа на тетраэдрах из триангуляции исходной области с целью получения непрерывной результирующей кусочно-полиномиальной функции. Использование предлагаемых пространств конечных элементов требует некоторых дополнительных ограничений на триангуляцию исходной области по сравнению с триангуляциями, строящимися при интерполяции Лагранжа, но построенное пространство имеет при этом меньшую размерность. При этом оценки аппроксимации производных представляются через диаметр и легко вычисляемую геометрическую характеристику тетраэдра, аналогичную синусу наибольшего угла треугольника при ограничениях на сетку. III.9) Доказано существование квадратов в таких множествах при более слабых, чем в упомянутой работе трех авторов, требованиях на размер множества цифр. Этот метод и результат также обобщен на случай различных множеств цифр. III.10) Получен критерий типа Бернштейна--Дойча полунепрерывности снизу сре\-динно-выпуклых многозначных отображений $F: X\rightarrow 2^Y$, действующих в топологических векторных пространствах $X,Y$. III.11) Задача о наилучшем одностороннем интегральном приближении снизу на единичном шаре конечномерного евклидова пространства радиальной функции, через свертку с которой определяется потенциал Ньютона, многочленами степени не выше заданной по совокупности переменных сведена к одномерной задаче одностороннего интегрального приближения конкретной функции на отрезке $[0,1]$ со степенным весом алгебраическими многочленами одного переменного, у которых коэффициенты с нечетными номерами нулевые. Построен алгоритм нахождения численного решения в двумерном и трехмерном случаях с высокой степенью точности. Исследовалась аналогичная задача для сужения ядра Пуассона на многомерную сферу радиуса меньшего единицы. В двумерном случае найдены величины наилучшего интегрального приближения снизу и сверху сужения линейной комбинации ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона на произвольную окружность, радиуса меньшего единицы, множеством алгебраических многочленов двух переменных степени не выше заданной по совокупности переменных. III.12) Разработан алгоритм продолжения изображения (двумерной, необязательно гладкой функции на замкнутом прямоугольнике $\Pi\subset R^2$) – продолжения, гладкого в $R^2\setminus \Pi$ и сосредоточенного в более широком прямоугольнике задаваемого размера. Применение такой предварительной обработки изображения существенно улучшает качество представления и обработки исходного изображения по обычной схеме всплесками $L^2(R^2)$, что показано с помощью многих численных экспериментов.