Аннотация результатов, полученных в 2014 году
Исследовались различные алгебраические структуры, возникающие в интегрируемых моделях квантовой теории поля. Получены уравнения Бете, описывающие широкий класс интегрируемых систем, включающих косет-модели конформной теории поля и обобщенные модели Калоджеро-Сазерленда как предельные случаи. Исследованы структуры в конформной теории поля, ответственные за АГТ-соответствие. В частности, доказано АГТ-соответствие для N=1 суперконформной теории. Показано, что класс алгебр, ответственных за АГТ-соответствие для ряда моделей, является пределом алгебры Динга-Иохары. Для суперсимметичных косет-моделей конформной теории поля сформулированы более общие условия, при которых модель обладает N=2-суперконформной симметрией, что важно для применения к теории струн. Получена новая геометрическая конструкция характеров N=2-суперконформных минимальных моделей. Показано, что решения уравнения Дагласа, описывающие модели минимальной лиувиллевской гравитации, можно получить, используя плоские координаты на фробениусовых многообразиях. Эта же техника позволяет найти правильное резонансное преобразование и вычислить корреляционные функции в минимальной лиувиллевской гравитации на сфере и на торе. С помощью алгебраического подхода найдены формфакторы сохраняющихся токов и их произведений в квантовой модели sh-Гордона и sin-Гордона в бризерном секторе.

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Рассмотрены три класса задач, связанных с интегрируемыми моделями квантовой теории поля. Во-первых, изучались теории минимальной лиувиллевской гравитации. Было продолжено исследования связи между решениями струнного уравнения Дагласа и структурой фробениусовых многообразий. С точки зрения физики важно найти резонансное соотношение, связывающее КдФ-координаты в пространстве теорий, возникающие при решении уравнения Дагласа, с естественными координатами, в которых статистическая сумма является производящей функцией для корреляционных чисел лиувиллевской гравитации. Теория фробениусовых многообразий позволяет значительно упростить решение уравнений на коэффициенты резонансного соотношения. В частности, в случае унитарной серии минимальных моделей это позволило найти явно трех- и четырехточечные корреляционные числа. Также показано, что пространство версальных деформаций особенности, возникающей в моделях Кадзамы—Судзуки является фробениусовым многообразием. Во-вторых, был решен ряд задач, связанных с так называемым АГТ-соответствием. Это соответствие связывает статистические суммы четырехмерных N=2-суперсимметричных теорий Янга—Миллса с конформными блоками двумерных конформных теорий поля. Исследованы конформные блоки минимальных конформных моделей с W_N-симметрией. Доказаны комбинаторные выражения для конформных блоков, возникающие в силу АГТ-соответствия, и содержащие ограничения Бёрджа в суммах по диаграммам Юнга. Переработано доказательство соотношений Накаджимы и Ёшиоки между инстантонными статистическими суммами, основанное на конформной теории поля. Предложены выражения для статистических сумм (с различными значениями первого класса Черна) теории Янга—Миллса на компактном многообразии CP^2 в виде трилинейных комбинаций инстантонных статистических сумм моделей на плоском пространстве C^2. Найдена q-деформация уравнения Пенлеве 3 в билинейной форме и его тау-функции в терминах обобщенных конформных блоков. Был исследован вопрос о классификации W-алгебр и связанный с ним вопрос об R-матрице лиувиллевских отражений. В-третьих, продолжено изучение формфакторов (квази)локальных операторов в массивных интегрируемых моделях двумерной квантовой теории поля. В рамках алгебраического подхода начато исследование Z_N-симметричных теорий поля Изинга (или «теплового» возмущения конформной теории поля с Z_N-парафермионами). Получено выражение для формфакторов специальной двухбозонной модели, из которых Z_N-симметричные модели Изинга получаются с помощью редукции пространства состояний. Получено компактное условие согласованности квазилокальных операторов с редукцией. Во всех трех направлениях были получены важные новые результаты.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Исследования велись в трех основных направлениях: 1. Изучение двумерной лиувиллевской гравитации, W-гравитации и теория струн. 2. Изучение конформных теорий поля и их деформаций. Изучение АГТ-соответствия. 3. Изучение формфакторов локальных операторов в массивных интегрируемых моделях двумерной квантовой теории поля. По этим направлениям достигнуты следующие основные результаты: 1. Продолжено изучение связи между двумерной минимальной лиувиллевской гравитацией и струнным уравнением Дагласа. Показано, что наблюденное ранее расхождение между результатами в двух подходах к двумерной гравитации связано с тем, что в походе, основанном на конформной теории поля, не учитывались так называемые дискретные вклады в операторном разложении в теории Лиувилля. В сравнительно простом случае серии (2,n) показано, что правильный учет этих вкладов приводит полному согласию между двумя подходами. Одним из ключевых моментов в решении двумерной гравитации на основе струнного уравнения Дагласа является нахождение плоских координат фробениусовых многообразий деформаций некоторых особенностей. Однако особенности, связанные с уравнение Дагласа, имеют очень специальный вид. Рассматривая фробениусовы многообразия, соответствующие более сложным особенностям, мы, как мы думаем, можем описать более сложные теории двумерной гравитации, такие как W-гравитация. С другой стороны, эти фробениусовы многообразия описывают топологический сектор в N=2 суперконформных теориях поля и, тем самым, описывают некоторые компактификации струн. Мы проверили на двух важных примерах SU(3)_k-моделей (k=3,4) ранее разработанный метод нахождения плоских координат в интегральном виде, а также предложили новый метод, основанный на решении рекурсивных уравнений. Рассмотренные примеры важны тем, что в них имеются маргинальные и иррелевантные возмущения, для которых доказательство корректности указанных методов пока отсутствует. Изучена связь между обобщенной кэлеровой геометрией и N=2 суперконформными моделями Весса—Зумино—Новикова—Виттена (ВЗНВ). Показано, как представления свободными полями получаются каноническим квантованием пуассоновых структур в суперсимметричных сигма-моделях. 2. Изучен вопрос об однозначности определения корреляционных функций в моделях с W-алгебрами симметрии в бутстрапном подходе. На двух важных примерах четырехточечных корреляционных функций в W_3-моделях показано, для которых этот вопрос до сих пор оставался открытым, показано, что конформные блоки и корреляционные функции определены однозначно, причем структурные константы могут быть найдены явно. Предложенный метод, хотя и труден для непосредственного обобщения, принципиально дает, как мы полагаем, положительный ответ на этот старый вопрос. Предложена классификация W-алгебр на основе представления конформных моделей свободными полями. Показано, что W-алгебры можно определить как коммутант системы экранирующих операторов, и классифицировать с помощью диаграммной техники, напоминающей диаграммы Дынкина. Показано, что для конформных моделей с "фермионными" экранирующими операторами имеется их двойственное представление как сигма-моделей. Изучены квантовые интегрируемые иерархии, связанные с W-алгебрами W(gl(n|m)). Показано, что можно определить иерархии ILW-типа (ILW — волны промежуточной длины), связанные с этими алгебрами. Показано, что спектр соответствующих интегралов движения описывается некоторой системой уравнений Бете. Изучалась матрица отражений в теории Лиувилля. Эта матрица отражений играет, по всей видимости, центральную роль для интегрируемости в этой теории и минимальных конформных моделях. Получено явное выражение отражательной матрицы для свободнофермионной точки c=-2. Продолжено изучение АГТ-соответствия на компактных многообразиях. Предложена гипотеза об АГТ-соответствии для N=2 суперсимметричной теории Янга—Миллса на произведении двух комплексных проективных прямых. Введено понятие тау-функции для q-разностного уравнения, представляющего собой q-деформацию дифференциального уравнения Пенлеве III. Показано, что тау-функция может быть выражена как ряд от q-деформированных конформных блоков в уиттекеровском пределе. Этот результат является первым обобщением известного утверждения Гамаюна, Иоргова и Лисового на случай q-разностных уравнений. 3. Получено представление для формфакторов операторов в модели комплексного sh-Гордона. Найдены формфакторы экспоненциальных операторов в двойственном представлении (представлении Фатеева) этой модели. Найдены отражательные соотношения для формфакторов и производящие функции для формфакторов операторов-потомков.