Аннотация результатов, полученных в 2014 году
1. Развит метод получения нижних и верхних оценок для монотонных функционалов от интеграла фрактальной броуновской экспоненты, часто возникающей в задачах финансовой математики. На компьютерных симуляциях показана высокая точность полученных оценок. Помимо этого, исследовано поведение математического ожидания максимума фрактального броуновского движения на отрезке как функции параметра cамоподобия. В задаче о различении гипотез о параметре сдвига фрактального броуновского движения в постановке Кифера-Вейсса найдено асимптотическое решение. 2. Исследованы задачи оптимальной остановки с неограниченными функциями выплат и найдены достаточные условия существования и единственности их решений. Изучены вопросы приближения фрактального броуновского движения при его численной симуляции и получены оценки сверху на точность аппроксимации. Получены результаты о свойствах безарбитражности фрактальных моделей цен для финансовых рынков с портфельными ограничениями. 3. Получены потраекторные аналоги максимальных неравенства Дуба для субмартингалов и супермартингалов о вероятности выхода за уровень. Получены потраекторные аналоги неравенств Ленгляра. С помощью этих неравенств получены потраекторные двусторонние неравенства, связывающие отношение правдоподобия и процесс Хеллингера. Как следствие, найдено новое доказательство критерия сходимости последовательности пар вероятностных мер в метрике полной вариации. Пересмотрены критерии абсолютной непрерывности, сингулярности и контигуальности вероятностных мер, получены новые достаточные условия. Существенно усилены некоторые известные неравенства, дающие верхнюю оценку для расстояния по вариации и расстояния Хеллингера через те или иные характеристики значений процессов Хеллингера в заключительный момент времени. 4. Для случайных матриц с независимыми строками, число которых растет с той же скоростью, что и число столбцов, установлено, что в случае, когда квадратичные формы строк подчиняются слабому закону больших чисел, диагональ матрицы ортогонального проектора на столбцы матрицы асимптотически постоянна. Если в качестве случайной матрицы взять матрицу инструментов в линейной регрессионной модели со многими инструментами, то указанное свойство проектора влечет за собой асимптотическую эффективность оценки максимального правдоподобия с ограничением в большом классе регрессионных оценок. Описан широкий класс случайных векторов, квадратичные формы которых подчиняются слабому закону больших чисел. Этот класс, в частности, включает в себя случайные вектора, компоненты которых суть ряды из независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом. Установлены нижние оценки типа Баи-Ина для минимального сингулярного числа случайных матриц в предположении, что их строки независимы и имеют некоторое изотропное векторное распределение, при минимальных предположениях на это распределение. Данные оценки улучшают все известные в литературе оценки подобного рода в случае отсутствия четвертых моментов у элементов рассматриваемых матриц. 5. Проведена разработка алгоритмов небинарной классификации данных и отбора значимых факторов, влияющих на случайный отклик. Предложены новые статистики, которые позволяют сделать обоснованный выбор упомянутых факторов с использованием новых предельных теорем для данных со сложной структурой зависимости. Осуществлено сопоставление нового подхода, развиваемого в рамках проекта, с рядом основных MDR-методов (multifactor dimensionality reduction), введенных в работах M.D.Ritchie, W.S.Bush, J.Gui, X.Y.Lou, P.Chanda, J.H.Moore, A.Niu, S.Oh и их соавторов. Разрабатываемые в рамках проекта методы апробированы на компьютерно моделированных (симулированных) данных. Начато исследование новой квазиоптимальной процедуры выбора значимых факторов. 6. Получена мажоризационная теорема для многомодовых бозонных гауссовских каналов, утверждающая, что когерентные состояния, и при определенных достаточных условиях только они, минимизируют широкий класс вогнутых функционалов от выходного состояния гауссовского канала. Дан прямой вывод свойства мажоризации для функции Хусими, обобщающего известное оптимальное свойство энтропии Верля. С использованием мажоризационной теоремы показано, что для калибровочно-ковариантных и контравариантных бозонных гауссовских каналов оптимальное кодирование реализуется гауссовским ансамблем когерентных состояний. Получены формулы для классической пропускной способности, минимальных выходных энтропий Реньи и фон Неймана, показателей «чистоты выхода» гауссовского канала типа 1→p-норм Шаттена. 7. Доказана неограниченность длины кода при блочном кодировании, необходимого для безошибочной передачи квантовых состояний по квантовому каналу связи. Предложена явная конструкция, позволяющая по заданному числу n построить квантовый канал низкой размерности (размерность входа 4, ранг Чоя 2) с положительной квантовой пропускной способностью при нулевой ошибке, для которого соответствующая n-шаговая пропускная способность равна нулю. Получены оценки снизу для квантовой пропускной способности при нулевой ошибке такого канала. 8. Получена нетривиальная оценка снизу для приращения энтропии квантового состояния, в случае, когда возмущающий квантовый канал действует только на подсистему данной составной системы. На основе симплектической квантовой томограммы введено распределение вероятностей на плоскости, для которого вычисление математических ожиданий наблюдаемых, являющихся полиномами от операторов координаты и импульса, задействует только часть распределения при фиксированном порядке полинома. 9. Установлен детерминированный критерий для определения, когда одномерная диффузия без сноса является суб- или супермартингалом. Указанный критерий также сформулирован в терминах граничного поведения диффузии. Исследовано асимптотическое поведение среднего значения диффузионного процесса без сноса, являющегося строгим суб- или супермартингалом. 10. Для исследования пространственной структуры стохастических решетчатых систем на многомерных решетках предложены новые модели ветвящихся случайных блужданий с конечным числом источников ветвления. В рамках предложенных моделей проведена классификация асимптотического поведения процесса в зависимости от интенсивностей источников и свойств блуждания, и получены асимптотические представления для переходной вероятности случайного блуждания при совместном росте пространственных координат и времени. Резольвентный анализ ограниченных симметричных и симметризуемых операторов с многоточечным возмущением позволил исследовать большие уклонения для ветвящихся случайных блужданий. Для слабо надкритических процессов с конечной дисперсией по многомерным решеткам исследовано распространение фронта популяции частиц.

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Найдены точные верхняя и нижняя границы для ожидания максимума гауссовского процесса с показателем Харста H. Получена оценка для величины погрешности при приближении ожидания максимума гауссовского процесса с показателем Харста H дискретным процессом. Найдены верхние и нижние оценки для границ остановки наблюдений, задающих оптимальные решающие правила в задаче проверки гипотез для фрактального броуновского движения. Предложен метод численного нахождения границ, использующий индукцию назад и полученные оценки. Построены статистические оценки радиуса окрестности влияния для марковского случайного поля, заданного на конечном геометрическом графе. Доказана сильная состоятельность таких оценок при растущем числе независимых копий упомянутых полей. Для случайного отклика и конечного набора факторов проведен анализ предсказательной способности и устойчивости процедур выбора значимых факторов. При весьма широких условиях доказана асимптотическая нормальность оценки функционала ошибки предсказания (отклика). Получен соответствующий многомерный вариант центральной предельной теоремы. Развиваемый в рамках проекта метод MDR-EFE сравнен с рядом других современных методов. Сформулирован набор условий, позволяющих установить равносильность аддитивности минимальной выходной энтропии и хи-пропускной способности для бесконечномерных ковариантных каналов с ограничением на входе. Эти условия применены к бозонным гауссовским каналам с квадратичным ограничением на входе, что позволило вычислить классическую пропускную способность в общем случае, когда комплексные структуры, связанные с каналом и с оператором ограничения, не коммутируют. Получено многомодовое обобщение "порогового условия", и доказательство того факта, что при этом условии "гауссовская пропускная способность", получающаяся оптимизацией по гауссовским входам, равна полной классической пропускной способности. На этой основе найдена пропускная способность многомодового бозонного канала со сжатым гауссовским шумом. Введено понятие n-частичной суперактивации пропускных способностей квантовых каналов, построен пример для случая одношаговой квантовой пропускной способности при нулевой ошибке. Предложена конструкция многомерного псевдо-диагонального квантового канала с положительной (асимптотической) и нулевой n-шаговой квантовой пропускной способностью при нулевой ошибке. Получены оценки снизу для квантовой пропускной способности при нулевой ошибке в зависимости от размерности. Показано, что для широкого класса гауссовских каналов с энергетическим ограничением использование сцепленного состояния между входом и выходом увеличивает предельную скорость передачи классической информации по каналу и дает экспоненциально растущий при увеличении числа копий канала выигрыш в размере оптимального кода. Установлена связь между совпадением спектров частичных состояний составных фермионных систем и правилами суперотбора. Предложена конструкция восстановления квантовой томограммы по экспериментальным данным. Получены потраекторные аналоги неравенства Розенталя как непосредственным выводом, так и с помощью потраекторного аналога неравенства Буркхольдера. Получено потраекторное неравенство типа Розенталя, связывающее отношение правдоподобия с процессами Хеллингера и p-дивергенции. Найдено множество совместных распределений терминальных значений интегрируемого возрастающего процесса и его компенсатора. Этот результат позволяет явно описать по распределению терминального значения компенсатора множество всех возможных распределений терминального значения самого возрастающего процесса. В качестве следствия получен целый ряд моментных неравенств для возрастающих процессов и их компенсаторов с неулучшаемыми константами. Предложены удобные критерии минимальности моментов остановки для диффузионных процессов. Доказано, что любой ограниченный снизу супермартингал эквивалентен по распределению броуновскому движению со случайной заменой времени, состоящей из минимальных моментов остановки. Доказана функциональная предельная теорема, где в качестве предельного процесса выступает наперед заданный диффузионный процесс. Предложены новые модели ветвящихся случайных блужданий с конечным числом источников ветвления. Проведена классификация асимптотического поведения процесса в зависимости от интенсивностей источников и свойств блуждания, и получены асимптотические представления для переходной вероятности случайного блуждания. Для слабо надкритических процессов с конечной дисперсией по многомерным решеткам исследовано распространение фронта популяции частиц. Изучены необходимые и достаточные условия непустоты положительного спектра эволюционного оператора средней численности частиц, как в произвольном узле решетки, так и на всей решетке. Исследована связь между числом источников ветвления и их пространственной конфигурацией на многомерных решетках и числом положительных собственных значений в дискретном спектре эволюционного оператора. Построены примеры, где положительные собственные значения эволюционного оператора вычисляются явно. Изучены ветвящиеся случайные блуждания с несколькими источниками ветвления без ограничения на дисперсию скачков, для которых дискретный спектр эволюционного оператора содержит единственное положительное собственное значение. Установлено асимптотическое поведение положительного собственного значения для надкритических ветвящихся случайных блужданий при одинаковой интенсивности источников, стремящейся к критической. Обобщена лемма Ватсона в двух направлениях: на случай многомерных интегралов и случай, когда фаза многомерного интеграла Лапласа может иметь разрыв в нуле. В линейных регрессионных моделях со многими регрессорами/инструментами найдены пределы диагональных элементов проектора на регрессоры/инструменты в случае, когда последние лежат в широком классе моделей (линейные факторные модели; липшицевы преобразования гауссовских векторов; случайные вектора с лог-вогнутым распределением; модели с индикаторными переменными; нелинейные модели, аппроксимируемые сплайнами). Данные пределы возникают в асимптотиках стандартных регрессионных оценок. Получены асимптотически точные нижние оценки минимального сингулярного числа случайной матрицы с н.о.р. изотропными строками в случае, когда распределения одномерных проекций строк имеют полиномиально убывающие хвосты с показателем от 2 до 4, а число строк есть нетривиальная доля от числа столбцов. Найдены точные верхние оценки дисперсий квадратичных форм от случайных векторов, являющихся линейными преобразованиями слабо зависимых случайных величин. С помощью найденных оценок установлено свойство универсальности для предельных спектральных распределений выборочных ковариационных матриц, отвечающих рассматриваемым векторам.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Доказаны качественные свойства математических ожиданий максимума и других функционалов от фрактального броуновского движения и его аппроксимаций как функции от параметра Харста H и числа точек в приближении n. Предложен численный алгоритм нахождения распределения оптимального момента остановки в задаче о проверке гипотез о сносе фрактального броуновского движения. Найдены уравнения, описывающие оптимальные границы остановки, и предлагается численный метод их нахождения в задаче Кифера-Вейса для фрактального броуновского движения. Получена полная характеризация гауссовских операторов перехода, как операторов, отображающих множество гауссовских вероятностных мер в себя, а также аналогичная характеризация интегральных операторов с гауссовским ядром. Решен в положительном смысле вопрос о достижимости инфимума выходной энтропии, используемой в доказательстве фундаментальной мажоризационной теоремы для квантовых гауссовских каналов. Построены примеры каналов, не являющихся ковариантными при любом выборе комплексных структур на входе и выходе канала. Построено полунепрерывное снизу расширение квантовой условной взаимной информации на множество всех состояний бесконечномерной трехчастичной квантовой системы. Построена бесконечномерная версия выжатой сцепленности (squashed entanglement), обладающая основными свойствами меры сцепленности, доказана ее равномерная и асимптотическая непрерывность при одночастичном ограничении на среднюю энергию. Показано, что разрывность энтропии и многих других важных характеристик квантовых систем и каналов обусловлена разрывностью энергии. Показано, что некоммутативный операторный граф, демонстрирующий явление суперактивации для квантовой пропускной способности, может рассматриваться как некоммутативная деформация представления групповой алгебры дискретной группы с четырьмя образующими. Начальная точка такой деформации даёт групповую алгебру четверной группы Клейна, а конечная - граф, обладающий требуемыми свойствами. Получены теоремы о сходимости решений эволюционных операторных уравнений, возникающих в теории ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам, для случая ``разбегающихся’’ источников ветвления одинаковой интенсивности. Для слабо надкритических ветвящихся случайных блужданий получено асимптотические поведение старшего собственного значения, зависящее от интенсивности и количества источников ветвления. Установлены границы спектрального зазора в зависимости от интенсивности и числа источников, при которых существует единственное положительное собственное значение, определяющее экспоненциальный рост численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании. Получено достаточное и в ряде случаев необходимое условие в теореме Марченко-Пастура для случайных матриц с н.о.р. изотропными строками. Таким условием является свойство слабой концентрации (вокруг среднего) квадратичных форм от строк матриц. В дополнение к этому показано, что данное условие позволяет получать нижние оценки типа Баи-Ина для минимального сингулярного числа матриц, а также вычислять предел этих сингулярных чисел в случае равномерной интегрируемости квадратов одномерных проекций строк матриц. Получена полная характеризация совместных распределений терминальных значений ограниченного субмартингала и его компенсатора. Найдены нетривиальные границы для распределения процесса Хеллингера порядка 1/2 в терминах симметризации стандартной меры. Получены уточненные оценки для расстояния по вариации в терминах процесса Хеллингера. Для равномерно интегрируемого мартингала с заданным терминальным распределением найдена точная верхняя грань (в смысле стохастического порядка) максимума его модуля. Построена схема для численного моделирования одномерных диффузионным процессов, которая сходится даже в случае нерегулярных или быстро растущих коэффициентов стохастических дифференциальных уравнений. Доказано, что ее порядок сходимости — как минимум 1/4, и что она приближает не только сами процессы, а также моменты достижения уровня и выхода из фазового пространства. Введены оценки ошибки предсказания случайного отклика, допускающие возможность пропуска данных. Разработан подход к проведению случайных экспериментов, принимающий во внимание соотношение затрат на получение значений отклика и набора значимых факторов. Установлен критерий сильной состоятельности оценок ошибки предсказания отклика, основанных на процедуре кросс-валидации и стратифицированных выборках, что позволило предложить и обосновать новый метод идентификации значимых переменных, являющийся развитием метода MDR (multifactor dimensionality reduction). Предложен также новый вариант XOR-модели, широко используемой в генетических исследованиях для описания эпистазиза, возникающего без проявления главного эффекта. Исследованы нелинейные регрессионные модели. С этой целью доказан аналог классической центральной предельной теоремы Линдеберга – Феллера, известной для систем независимых величин. А именно, эта теорема доказана для массива условно независимых случайных величин. Компьютерное моделирование показало, что эффекты, обнаруженные в новых предельных теоремах, проявляются при сравнительно небольших объемах выборок.