Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Для однозначных и многозначных отображений, действующих в произведениях метрических пространств, определены понятия векторного накрывания и условного векторного накрывания. Получены условия устойчивости таких отображений к векторным липшицевым возмущениям. На основе утверждений о возмущениях векторно накрывающих отображений получены условия существования и покомпонентные оценки решений систем уравнений в метрических пространствах. Доказана теорема о точке совпадения векторно $A$-накрывающего и векторно $B$-липшицева (однозначных) отображений. Этот результат использован для исследования специальных систем, возникающих в анализе и задачах оптимизации, в том числе, получены условия существования и оценки кратных неподвижных точек и кратных точек совпадения. Рассмотрены приложения теоремы о точке совпадения к исследованию разностных уравнений неявного вида. Получены условия существования периодических решений и условия непрерывной зависимости периодических решений от периодических правых частей разностного уравнения неявного вида. Предложен итерационный метод решения уравнения $\Upsilon(x,x)=y,$ в котором отображение $\Upsilon$ действует в метрических пространствах, является накрывающим по первому аргументу и липшицевым по второму. Получены условия сходимости, даны оценки погрешности. Для конкретных классов однозначных и многозначных отображений получены условия векторного накрывания. Исследованы накрывающие свойства линейных отображений произведений линейных нормированных пространств, для таких отображений получено представление матрицы накрывания. Исследованы накрывающие свойства оператора суперпозиции (оператора Немыцкого). На основании полученных в проекте результатов о векторно накрывающих отображениях и о накрывании конкретных классов отображений исследована двухточечная краевая задача для дифференциального уравнения неявного вида. Получены условия существования и оценки решения. Исследованы уравнения и включения с параметром, порождаемые отображениями метрических пространств. Получены условия устойчивости решений уравнений при малом возмущении метрически регулярных отображений, действующих в метрических пространствах. Доказана теорема о неявной функции для уравнений и включений, описываемых отображениями, действующими в метрических пространствах. Получены достаточные условия существования непрерывного, а также липшицева решения рассматриваемых уравнений. На основании результатов о точках совпадения накрывающего и липшицева отображений получены достаточные условия существования положения равновесия в различных моделях математической экономики. Исследованы квадратичные отображения. Для квадратичных отображений получены достаточные условия их сюръективности и устойчивой сюръективности. Получены достаточные условия существования нетривиального нуля у квадратичного отображения. Получены априорные оценки расстояния от произвольной точки банахова пространства до множества решений системы выпуклых неравенств и линейных равенств. Построена компактифицирующая редукция, сводящая финитные функции на некомпактном многообразии к пространству эквивариантных сечений расслоения компактного многообразия. Построено описание операторов дифференцирования. Построена фильтрация алгебры дифференциальных операторов. Получены новые априорные результаты о локальной сходимости метода Ньютона-Лагранжа к критическим множителям, показывающие, что такие множители действительно служат аттракторами для ньютоновских итераций. Результаты касаются квадратичных задач оптимизации, а также некоторых классов более общих задач. При этом области сходимости не содержат, вообще говоря, окрестности заданного критического множителя, но являются, в определенном смысле, «асимптотически плотными» в таких окрестностях. Предложена новая концепция критического решения общего нелинейного уравнения, как решения, вблизи которого нарушается липшицева оценка расстояния до множества решений через невязку уравнения. Было показано, что ожидать устойчивость некритических решений нелинейных уравнений можно только при очень специальных возмущениях, образующих «бедные» классы в пространстве параметров, в то время как критические решения могут быть устойчивы по отношению к широким классам возмущений. В качестве средства преодоления притяжения к критическим множителям Лагранжа разработан метод последовательного квадратичного программирования стабилизированный вдоль подпространства вырожденности. Этот метод сохраняет привлекательные свойства локальной сходимости обычного метода последовательного квадратичного программирования, но, вместе с тем, свободен от недостатков глобального поведения последнего, а значит, больше подходит для глобализации сходимости и построения практических реализаций. Ключевая особенность нового метода состоит в идентификации так называемого подпространства вырожденности и двойственной стабилизации итераций только вдоль этого подпространства. Были предложены два варианта этого метода: с асимптотически исчезающей и с неисчезающей стабилизацией. Установлены свойства локальной сходимости обоих вариантов, аналогичные свойствам стабилизированного метода последовательного квадратичного программирования. Центральную роль во всех этих построениях играет практическая процедура аппроксимации подпространства вырожденности, основанная на методе Гаусса с выбором главного элемента. Предложены новые способы реализации так называемого 2-факторметода, предназначенного для поиска особых решений нелинейных уравнений. Эти экономичные реализации основаны на процедуре идентификации подпространства вырожденности. Получена нижняя оценка на такой минимальный показатель степени, находящийся в интервале $(-1, -1+2^{1-k})$ и числитель которого заранее фиксирован, что случайный граф Эрдеша-Реньи с вероятностью проведения ребра, равной степенной функции от числа вершин графа с этим показателем, не подчиняется $k$-закону нуля или единицы. Разработан новый метод оптимизации параметров факторов поиска, основанных на случайных блужданиях на вебграфах, и экспериментально проверена его эффективность.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
В отчетный период продолжены исследования накрывающих отображений метрических и упорядоченных пространств. Изучены свойства множества точек совпадения многозначных накрывающего и липшицева отображений метрических пространств. Получены условия существования более одной точки совпадения, ровно n точек совпадения, найдены оценки мощности множества точек совпадения. Получены условия существования точек совпадения упорядоченно накрывающего и монотонного отображений упорядоченных пространств. Получены условия существования минимального и наименьшего элементов в множестве точек совпадения. Получены условия, при которых неподвижная точка является точной нижней границей убывающей последовательности итераций. Определено множество упорядоченного накрывания отображений. Получены условия устойчивости к антитонным возмущениям накрывающих отображений полуупорядоченных пространств. Получены условия разрешимости уравнений с накрывающими отображениями полуупорядоченных пространств. На основе результатов о накрывающих отображениях упорядоченных пространств исследованы дифференциальные и интегральные неравенства неявного вида. Доказаны теоремы о разрешимости задачи Коши для неявного дифференциального уравнения и получены оценки решений типа неравенства Чаплыгина. установлена взаимосвязь между понятиями метрического и упорядоченного накрывания. Разработан метод доказательства утверждений о точках совпадения и о возмущениях отображений метрических пространств, основанный на определении порядка и результатах об упорядоченно нарывающих отображениях. В отчетный период были продолжены работы по созданию и исследованию алгоритмов решения различных классов задач оптимизации с ограничениями, к которым не применимы классические методы; проводились исследования основных проблем теории критических множителей Лагранжа. Были получены результаты об устойчивости критических решений нелинейных уравнений. Показана равносильность введенного понятия некритичности решения локальной липшицевой оценке расстояния до множества решений, а также свойству верхней липшицевой устойчивости решений по отношению к возмущениям правой части уравнения. Предложены условия, которые могут естественным образом выполняться в критических решениях, и гарантируют устойчивость таких решений по отношению к широким классам возмущений. Доказаны результаты о локальной сходимости возмущенного метода Ньютона к критическим решениям систем нелинейных уравнений, а также к критическим множителям Лагранжа для общих задач оптимизации с ограничениями-равенствами. Предложены условия локальной сверхлинейной сходимости метода Ньютона с подзадачами линейного программирования применительно к кусочно-гладким уравнениям с ограничениями и, в частности, к переформулировкам комплементарных систем и к задаче поиска обобщенного равновесия Нэша. Разработан способ глобализации сходимости метода Ньютона с подзадачами линейного программирования, основанный на одномерном поиске для естественной функции качества. Разработаны новые стратегии глобализации сходимости стабилизированного метода последовательного квадратичного программирования, основанные на одномерном поиске для точных гладких штрафных функций. Получены результаты о сходимости и скорости сходимости методов последовательного квадратичного программирования, использующих настоящую матрицу Гессе функции Лагранжа, и снабженных одномерным поиском для негладкой точной штрафной функции. В отчетный период продолжена разработка методов теории случайных графов, применяемых в задачах дискретной оптимизации. Доказано, что для любого рационального числа b=t/s из интервала (0,1) существует такое число c, что для любого a из интервала (b-e^{-ck},b) случайный граф в биномиальной модели с вероятностью проведения ребра, равной степенной функции от числа вершин графа с показателем –a, подчиняется k-закону нуля или единицы. Параметр c как функция от t и s найдена явно. Если числитель дроби b=t/s не превосходит двух, то явно найдено число c, для которого существует такое a из интервала (b-e^{-ck},b), что случайный граф в биномиальной модели с вероятностью проведения ребра, равной степенной функции от числа вершин графа с показателем -a, не подчиняется k-закону нуля или единицы.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
В 2017 году исполнителями проекта разрабатывались методы функционального анализа, теории случайных графов, теории дифференциальных и интегральных уравнений, численного анализа и теории приближений, и на основе полученных результатов исследовались непрерывные и дискретные задачи оптимизации. Авторами проекта предложено распространение понятий метрической регулярности и накрывания на отображения в пространствах с векторнозначной метрикой. В отличие от обычного расстояния, измеряемого неотрицательными числами, векторнозначное расстояние имеет значениями "неотрицательные" элементы (т.е. принадлежащие конусу) линейного нормированного пространства. Необходимость такого обобщения метрики возникает в исследовании различных систем уравнений, краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, в задачах управления и оптимизации. Одним из важных отличий векторнозначной метрики от "обычной" является невозможность определить расстояние от точки до множества и расстояние по Хаусдорфу между множествами. Эти расстояния определяются через минимум расстояний между некоторыми точками, но множество соответствующих значений векторнозначной метрики, принадлежащее нормированному пространству, может не иметь наименьшего элемента. Это обстоятельство затрудняет распространение понятий и результатов многозначного анализа на пространства с векторнозначными метриками. Тем не менее, участниками проекта доказаны теоремы о точке совпадения двух многозначных отображений, о липшицевых возмущениях накрывающих отображений, получены условия накрывания конкретных функциональных операторов в пространствах с векторнозначными метриками. На основании утверждений о точках совпадения в пространствах с векторнозначными метриками исследованы вопросы разрешимости и получены оценки решений интегральных и функционально-дифференциальных уравнений и включений, доказаны утверждения о зависимости решений от параметров. Авторами проекта предложена оригинальная схема исследования связности множества решений включений, на основании которой получены условия связности множества решений включения общего вида в топологических пространствах. Для удобства применения этого утверждения предложены несложно проверяемые достаточные условия выполнения его предположений. Результаты о связности множества решений включений в топологическом пространстве применены к исследованию включений Вольтерры в пространстве непрерывных функций. Получены условия связности множества неподвижных точек вольтеррова многозначного отображения в сильной и слабой топологиях пространства непрерывных функций. В доказательстве используется аппроксимация заданного вольтеррова многозначного отображения некоторым $\tau$-вольтерровым отображением. Утверждения о связности множества неподвижных точек вольтеррова многозначного отображения применены к исследованию интегрального включения Гаммерштейна с запаздыванием. Предметом исследований в 2017 году также являлись задачи оптимизации и теория уравнений в упорядоченных пространствах. Известно, что метрическое пространство можно наделить порядком Бишопа-Фелпса, это позволяет результаты об упорядоченных пространствах применять к метрическим пространствам. Таким образом из результатов об упорядоченных пространствах выводятся, например, известные и новые теоремы о неподвижных точках и точках совпадения. Участниками проекта проведено исследование свойств множества точек совпадения многозначных накрывающего и монотонного отображений упорядоченных пространств. Получены оценки мощности множества точек совпадения. Для отображения частично упорядоченных пространств получен аналог предложенного А.В. Арутюновым неравенства типа Каристи. Это неравенство означает, что если для заданного отображения U упорядоченных пространств элемент x не является точкой минимума, то U(x')<U(x) в некоторой меньшей точке x'<x. При выполнении этого условия доказано утверждение о достижении отображением U минимального значения. Из этого утверждения выведены признаки существования точек совпадения и неподвижных точек отображений (причем, и в частично упорядоченных пространствах, и в метрических пространствах). Участниками проекта получены результаты о локальной сходимости различных ньютоновских методов к критическим решениям систем нелинейных уравнений. Установлена линейная сходимость из широких областей начальных приближений, причем в предположениях, допускающих неизолированность рассматриваемого решения. В числе прочих, рассмотрены ньютоновские методы, снабженные стабилизирующими механизмами: метод Левенберга-Марквардта, метод Ньютона с подзадачами линейного программирования, стабилизированный метод последовательного квадратичного программирования для системы уравнений Лагранжа. В отчетный период разработаны реализуемые версии и дано полное теоретическое обоснование метода последовательного квадратичного программирования стабилизированного вдоль подпространства. Теоретические свойства метода аналогичны соответствующим свойствам обычного стабилизированного метода последовательного квадратичного программирования. Вместе с тем, данный подход позволяет преодолеть определенные практические недостатки последнего. Авторами проекта предложена модификация глобализованного метода Ньютона с подзадачами линейного программирования, позволяющая в случае кусочно-гладких уравнений с ограничениями избегать сходимости к стационарным точкам для ветвей, не являющимся решениями уравнения. Изучение законов нуля или единицы для формул первого порядка, а также связанного с ними понятия спектра формулы применяются, в том числе, в задачах о выразимости, и, в частности, в задачах о наиболее эффективной записи некоторого свойства на языке первого порядка. Последняя же задача имеет непосредственное применение в оценивании сложности аглоритмических задач на больших графах. Спектром формулы первого порядка мы называем множество положительных чисел a такие, что вероятность истинности этой формулы на случайном графе Эрдеша-Реньи (т.е. все ребра проводятся независимо, с вероятностью p каждое) с вероятностью проведения ребра p, равной степенной функции от числа вершин с показателем $-a$, либо не сходится, либо сходится, а предел отличен от 0 и 1. Нами изучался вопрос о наименьшей глубине формулы первого порядка с бесконечным спектром. Удалось доказать, что наименьшая глубина формулы первого порядка с бесконечным спектром равна либо 5, либо 4, причем последнее возможно только если единственная предельная точка спектра этой формулы равна 1/2.