Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Найдено преобразование Лапласа четверки величин, состоящей из моментов падения и роста броуновского движения со сносом и значений процесса в эти моменты времени. Предложен метод его аналитического обращения по пространственным координатам. Качественно исследовано решение задачи обнаружения многократной разладки броуновского движения по последовательным наблюдениям, показано, что оно может быть представлено в виде пороговой стратегии для процесса достаточной статистики. Найдены эффективные представления для вычисления новых количественных характеристик оптимальности инвестиционных стратегий на финансовых рынках, основанных на монотонной модификации отношения Шарпа. Доказано, что нормирование квадрата нормы решения линейного стохастического дифференциального уравнения с субэкспоненциально устойчивой матрицей обеспечивает сходимость к нулю нормированного процесса (при условии ограниченности дисперсий компонент). Решена задача оптимального управления в модели рынка, где рисковый актив задается процессом со стохастической волатильностью. В явном виде построено оптимальное управления в задаче управления одним диффузионным процессом, коэффициенты которого зависят от другого диффузионного процесса.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Изучалась линейная версия задачи об обнаружении многократной разладки, где вместо процесса "телеграфного сигнала" рассматривается гауссовский процесс с такими же первыми двумя моментами. Для нее установлен вид процесса достаточной статистики, на основе чего задача об обнаружении разладки была сведена к некоторой задаче оптимального управления. В свою очередь, эта задача сведена к задаче со свободной границей для некоторого дифференциального уравнения, решение которой, исследовано в терминах фундаментальных решений. Найдено преобразование Лапласа для момента первого падения диффузии при условии того, что оно произошло раньше момента первого роста. Показано, что этого достаточно для вычисления совместных распределений; для подсчета был предложен метод, основанный на сведении к соответствующим уравнениям в частных производных. Исследовался также ряд новых задач однократной разладки. Была решена задача построения доверительного интервала для момента разладки по последовательным наблюдениям "в первом приближении" (при малой длине интервала). Сформулирована и решена задача о разладке для броуновского моста: качественно изучено решение и предложен численный алгоритм его нахождения. Исследовался критерий обнаружения CUSUM, для которого было дано новое доказательство его оптимальности в постановке Лордена для непрерывного времени. Были изучены новые меры риска, главным образом, обобщения Conditional Value at Risk на случай двойственных функционалов из пространства Lp. Для них получены эффективные представления. На их основе предложены новые меры доходности финансовых стратегий. Предложено обобщение конструкции квази-выпуклых вероятностей (введенной в работах Rockafellar, Royset и Uryasev, Mafusalov, Norton), которое основано на изученных мерах риска. Показано, как оно связано с мерами доходности. Было установлено, что при определенной структуре вероятностного пространства (непрерывности всех мартингалов), свойство показателя экспоненты оптимальной эквивалентной мартингальной меры быть BMO-мартингалом эквивалентно тому, что найдется хотя бы одна эквивалентная мартингальная мера с таким свойством. Исследовалось обобщение этого результата на случай без ограничения на непрерывность мартингалов; получено соответствующее достаточное условие, которое планируется далее улучшить. Рассматривалась задача управления, состоящая из линейного управляемого случайного процесса и интегрального квадратичного целевого функционала с вырождающимися со временем матрицами в уравнении динамики состояния и подынтегральной квадратичной формы. Получено, что закон управления в виде линейной обратной связи по состоянию является оптимальным в задаче стохастического линейного регулятора на бесконечном интервале времени для невыявляемой системы. Сформулированы соответствующие критерии оптимальности - скорректированный критерий обобщенного долговременного среднего и его потраекторная версия, в качестве нормировки содержащие интеграл от квадрата нормы матрицы диффузии, домноженной на корректирующую функцию. Рассматривалась задача оптимального инвестирования в модели M-CEV со степенной функцией полезности. Для нее найден явный вид оптимальной стратегии. Для него получено два представления: через специальные функции гипергеометрического типа и через цепную дробь от элементарных функций. Изучались математические методы в вопросах, связанных с проблемой взаимозачета (клиринга) в финансовых системах. Был адаптирован метод последовательного исключения неизвестных к нелинейным уравнениям специального типа. На его основе предложен новый эффективный алгоритм вычисления клиринговых векторов. Был рассмотрен алгоритм Роджерса-Луитпольд для моделей с потерями при дефолтах и дано доказательство сходимости алгоритма; он позволяет находить клиринговый вектор за конечное число шагов.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Для моментов остановки, связанных с падением и ростом броуновского движения со сносом, была численно найдена плотность с помощью обращения преобразования Лапласа. Также было показано, как количество параметров может быть снижено. Получено представление для максимума отношения математического ожидания к отклонению по всем случайным величинам ограниченными некоторой заданной случайной величиной (монотонное отношение Шарпа) через решение некоторой (сравнительно простой) оптимизационной задачи. Задача последовательного различения на конечном временном интервале двух простых гипотез для процесса броуновского моста в байесовской постановке была сведена к задаче со свободной границей, свойства которой были затем полностью изучены. Для задачи нахождения аналитических выражений вероятностного распределения и математического ожидания момента первого выхода винеровского процесса с разладкой на заданный уровень были найдены преобразования Лапласа, с помощью которых затем были получены все требуемые вероятностные характеристики исследуемого момента остановки. Показано, что при условии ограниченности квадрата нормы матрицы диффузии темпом устойчивости асимптотическая верхняя оценка для квадрата нормы решения линейного стохастического дифференциального уравнения с неэкспоненциально устойчивой матрицей имеет вид, зависящий от характеристики интегрального соотношения между темпом устойчивости и нормой матрицы диффузии. Найдено решение задачи оптимального управления портфелем динамика которого описывается многомерных процессом Орнштейна — Уленбека. Установлен многомерный вариант «сшивающей» леммы Фейеля и де Ла Праделя для монотонных функций контроля общего вида, удовлетворяющих некоторым условиям интегрируемости. Получены оценки типа Лова-Янга-Тоуги, с помощью которых многомерная теория интегрирования Янга расширена на новые классы функций. Доказано существование многомерных стохастических интегралов по фрактальному броуновскому движению (с параметром Харста, большим 1/2) для широкого класса подынтегральных функций, включающего некоторые разрывные функции от траекторий данного процесса.