КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 14-11-00061

НазваниеДистанционно регулярные графы и конечные группы

РуководительМахнев Александр Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук, Свердловская обл

Период выполнения при поддержке РНФ 2017 г. - 2018 г. 

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-102 - Алгебра

Ключевые словаАлгебра, алгебраическая теория графов, дистанционно регулярные графы, конечные группы, группа автоморфизмов графа, граф простых чисел

Код ГРНТИ27.17.00

СтатусУспешно завершен

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В проекте предполагается исследование дистанционно регулярных графов со свойствами: - локальные подграфы имеют степень 2 и число вершин графа не больше 4096, - граф является антиподальным диаметра 4 и группа его автоморфизмов индуцирует дистанционно транзитивную группу на антиподальном частном, - окрестности вершин сильно регулярны со вторым собственным значением, не большим 5, - параметр a_3 является собственным значением графа (графы Шилла), - граф содержит максимальный код. Изучение дистанционно регулярных графов, предложенное в проекте, актуально и находится на передовых рубежах современной науки. Новизна проекта состоит не только в открытии новых направлений исследования, но и в расширении классических результатов о дистанционно транзитивных графах на более широкие классы графов. Планируется исследование вершинно-примитивных групп автоморфизмов конечных связных графов с неединичным поэлементным стабилизатором шара радиуса 2. Это исследование продолжит получение новых улучшенных версий знаменитой гипотезы Симса о конечных примитивных группах подстановок, что находится в русле магистрального направления изучения максимальных подгрупп в конечных группах. Предполагается также исследование нормального строения конечных групп в терминах их арифметических параметров в новых актуальных аспектах, в частности, изучение 5-примарных и 6-примарных конечных групп с несвязным графом простых чисел.

Ожидаемые результаты
По известному списку массивов пересечений дистанционно регулярных графов с локальными подграфами степени 2 и числом вершин, не большим 4096 получить (применение метода Хигмена, соответствует мировому уровню), классификацию вершинно (реберно) симметричных графов в случаях - \mu = 1, - антиподальных графов с \mu > 2, - примитивных графов с \mu > 1; - описание антиподальных дистанционно регулярных графов диаметра 4, для которых группа автоморфизмов действует как группа ранга 3 на антиподальном частном и стабилизатор любой вершины u действует транзитивно на первой и четвертой окрестностях u (соответствует мировому уровню); - по известному списку массивов пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны со вторым неглавным собственным значением, не большим 5, выявить реберно (вершинно) симметричные графы; изучение влияния собственных значений на строение дистанционно регулярных графов - перечислить графы со вторым собственным значением, не большим 3, - изучить свойства графов Шила - изучить графы с третьим собственным значением, равным 1, и сильно регулярным графом $\Gamma_2$; - найти автоморфизмы небольших дистанционно регулярных графов, содержащих максимальный код; - описание вершинно-примитивных групп автоморфизмов конечных связных графов с неединичным поэлементным стабилизатором шара радиуса 2 (соответствует мировому уровню); - описание 5-примарных и 6-примарных конечных групп с несвязным графом простых чисел (соответствует мировому уровню). Планируемые способы обнародования результатов: монография и серия статей.

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Завершено решение задачи Кулена для t ≤ 3. Для найденного ранее списка массивов AT4-графов степени, не большей 1000 возможные автоморфизмы были найдены: {96,75,16,1;1,16,75,96}, {176,135,32,1;1,16,135,176} и {329,288,56,1;1,28,288,329}. Заложены основы теории дистанционно регулярных графов Шила с b_2=c_2. Исследована усиленная версия известной гипотезы Симса о конечных примитивных группах подстановок. Завершено рассмотрение случая примитивных групп, цоколь которых является группой лиева типа с непараболическим стабилизатором точки. Описаны конечные группы без элементов порядка 6. Описано нормальное строение конечных 5-примарных групп с несвязным графом простых чисел, нетривиальным радикалом Фиттинга и некоторыми заданными ограничениями

 

Публикации

1. Белоусов И.Н., Махнев А.А. Белоусов И.Н., Махнев А.А. Группы автоморфизмов небольших дистанционно регулярных графов, Алгебра и логика 2017, т. 56, N 4, 754-761. Алгебра и логика, т. 56, N 4, 754-761. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.17377/alglog.2017.56.401

2. Белоусов И.Н., Махнев А.А. Белоусов И.Н., Махнев А.А. К теории графов Шилла с b_2=c_2, Сибирские электрон. матем. известия 2017, т. 14, 1064-1077. Сибирские электрон. матем. известия, - (год публикации - 2017) https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.097

3. Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Автоморфизмы графов с массивами пересечений {60,45,8;1,12,50} и {49,36,8;1,6,42}, Матем. заметки 2017, т. 101, N 6, 823-831. Матем. заметки, т. 101, N 6, 823-831. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.4213/mzm11100

4. Ефимов К.С. Ефимов К.С. Автоморфизмы AT4(4,4,2)-графа и отвечающих ему сильно регулярных графов, Труды ИММ УрО РАН 2017, т. 23, N 4, 119-127 Труды ИММ УрО РАН, т. 23, N 4, 119-127 (год публикации - 2017) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-119-127

5. Ефимов К.С., Махнев А.А. Efimov K.S., Makhnev A.A. Automorphisms of distance-regular graph with intersection array {25,16,1;1,8,25}, Ural Mathematical Journal 2017, v. 3, N 1, 28-32. Ural Mathematical Journal, v. 3, N 1, 28-32. (год публикации - 2017)

6. Журтов А.Х., Шерметова М.Х. Журтов А.Х., Шерметова М.Х. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {75,64,18,1;1,6,64,75}, Труды ИММ УрО РАН 2017, т. 23, N 4, 128-135. Труды ИММ УрО РАН, т. 23, N 4, 128-135. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-4-128-135

7. Исакова М.М., Махнев А.А., Токбаева А.А. Махнев А.А., Исакова М.М., Токбаева А.А. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {64,42,1;1,21,64}, Сибирские электрон. матем. известия 2017, т. 14, 856-863. Сибирские электрон. матем. известия, т. 14, 856-863. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.17377/semi.2017.14.072

8. Кондратьев А.С., Трофимов В.И. Кондратьев А.С., Трофимов В.И. Стабилизаторы вершин графов с примитивными группами автоморфизмов и усиленная версия гипотезы Симса. IV. Труды Института математики и механики УрО РАН. Труды Института математики и механики УрО РАН, - (год публикации - 2018)

9. Махнев А.А. Makhnev A.A. The Graph Kre(4) Does Not Exist, Doklady Mathematics, 2017, Vol. 96, No. 1, pp. 348–350. Доклады академии наук, Vol. 96, No 1, pp. 348–350. (год публикации - 2017) https://doi.org/10.1134/S1064562417040123

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Махнев А.А. и Нирова М.С. нашли массивы пересечений дистанционно регулярных графов с a_1=2 и числом вершин, не большим 4096. Близка к завершению программа исследования возможных автоморфизмов этих графов (для графов степени, меньшей 60, остались массивы пересечений: {33,30,8;1,1,30}, {48,45,9;1,1,40}, {39,36,22;1,2,18} и {58,55,8;1,2,44}). Продолжается развитие теории дистанционно регулярных графов Шила. с b2=c2. Доказано, что в графе Шилла Г с θ_2=-1 и псевдогеометрическим графом Г_3 имеем b2=sc2. Найдены также новые бесконечные серии допустимых массивов пересечений графов Шила: {b(b^2-1),b^2(b-1),b^2;1,1,(b^2-1)(b-1)}; {b(b+1),(b+2)(b-1),b+2;1,1,b^2-1}; {2b(b-1),(2b-1)(b-1),2b-1;1,1,2(b-1)^2}, b сравнимо с ±1 по модулю 3; {(s+1)(s^3-1),s^4,s^3;1,s^2,s(s^3-1)}. Исследование усиленной версии известной гипотезы Симса о конечных примитивных группах подстановок сведено к случаю, когда цоколь T группы является либо группой лиева типа с параболическим стабилизатором точки, либо спорадической группой.

 

Публикации

1. Белоусов И.Н. Коды в дистанционно регулярных графах Шилла, т. 24, N 2, 34-39. Труды Института математики и механики УрО РАН, т. 24, N 2, 34-39. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-3-16-26

2. Белоусов И.Н. Дистанционно регулярные графы Шилла с b2=sc2, т. 24, N 3, 16-26. Труды Института математики и механики УрО РАН, т. 24, N 3, 16-26. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-3-16-26

3. Белоусов И.Н. Автоморфизмы графа Шилла с массивом пересечений {115,96,16;1,8,92}, т. 15, 733-740. Сибирские электрон. матем. известия, т. 15, 733-740. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.059

4. Горяинов С., Кабанов В., Шалагинов Л., Валюженич А. On eigenfunctions and maximal cliques in Paley graphs of square order, v. 52, 361–369. Finite Fields and Their Applications, v. 52, 361–369. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1016/j.ffa.2018.05.001

5. Ефимов К.С. Граф с массивом пересечений {18,15,1;1,5,18} не является вершинно симметричным, т. 24, N 3, 62-67. Труды ИММ УрО РАН, т. 24, N 3, 62-67. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-3-62-67

6. Зюляркина Н.Д., Махнев А.А. Небольшие реберно симметричные графы Хигмена с µ=6, т. 15, 54-59. Сибирские электрон. матем. известия, т. 15, 54-59. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.007

7. Зюляркина Н.Д., Шерметова М.Х. Большие реберно симметричные графы Хигмена с µ=6, т. 24, N 4, 146-155. Труды ИММ УрО РАН, т. 24, N 4, 146-155. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-4-146-155

8. Кондратьев А.С., Минигулов Н.А. Конечные группы без элементов порядка 6, т. 104, № 5, 717-724. Мат. заметки., т. 104, № 5, 717-724. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1134/S000143461811010X

9. Кондратьев А.С., Трофимов В.И. Vertex stabilizers of vertices of graphs with primitive automorphism groups and a strong version of the Sims conjecture. Proc. "Groups St Andrews 2017 in Birmingham" (London Mathematical Society Lecture Notes). 8 p., принята к печати, - (год публикации - 2019)

10. Кораблева В.В. Усиленная версия гипотезы Симса для примитивных параболических подстановочных представлений конечных простых групп лиевых типов G_2, F_4 и E_6, т. 15, 1595-1604 Сибирские электрон. матем. известия, т. 15, 1595-1604 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.33048/semi.2018.15.132

11. Махнев А.А., Голубятников М.П., Го Вэнь-Бинь Inverse Problems in Graph Theory: Nets, 1-15. Communications in Mathematics and Statistics, 1-15 (год публикации - 2018) https://doi.org/10.1007/s40304-018-0159-4

12. Махнев А.А., Падучих Д.В. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {176,135,32,1;1,16,135,176}, т. 24, N 2, 173-184. Труды ИММ УрО РАН, т. 24, N 2, 173-184. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-173-184

13. Махнев А.А., Падучих Д.В. Обратные задачи в теории дистанционно регулярных графов, 24, N 3, 134-144. Труды ИММ УрО РАН, 24, N 3, 134-144. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-3-133-144

14. Махнев А.А., Падучих Д.В., Циовкина Л.Ю. Реберно симметричные дистанционно регулярные накрытия полных графов: почти простой случай, т. 57, № 2, 214-231. Алгебра и логика, т. 57, № 2, 214-231. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.17377/alglog.2018.57.205

15. Махнев А.А., Хамгокова М.М. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {232,198,1;1,33,232}, т. 15, 650-657. Сибирские электрон. матем. известия, т. 15, 650-657. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.051

16. Махнев А.А., Шерметова М.Х. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {96,76,1;1,19,96}, т. 15, 167-174. Сибирские электрон. матем. известия, т. 15, 167-174. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.016

17. Циовкина Л.Ю. Циовкина Л.Ю. О группах автоморфизмов AT4(7,9,r)-графов и их локальных подграфов, т. 24, N 3, 263-271. Труды ИММ УрО РАН, т. 24, N 3, 263-271. (год публикации - 2018) https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-3-263-271

18. Махнев А.А.., Циовкина Л.Ю. Антиподальные дистанционно регулярные графы и их автоморфизмы Изд-во СО РАН, Новосибирск, - (год публикации - 2019)

Возможность практического использования результатов
не указано