Аннотация результатов, полученных в 2017 году
(Бердышев В.И.) Рассматривалась задача о движении объекта в R^2 в условиях наблюдения группой недружественных наблюдателей. Дано полное описание множества траекторий, принадлежащих заданному коридору, наиболее скрытых от наблюдателя. (Шевалдин В.Т.) Для локальных \phi-сплайнов с равномерными узлами, построенных автором ранее в его монографии (они являются обобщением параболических сплайнов), на оси и на отрезке числовой прямой при определенных ограничениях на шаг сетки и функцию, найдена функция Лебега и вычислены точно равномерные константы Лебега (т.е. нормы линейных операторов из пространства С непрерывных функций в С). (Плещева Е.А.) Построены гибридные системы базисов $n$-раздельных всплесков на основе классических. Определены условия для вычисления констант неопределенности данных базисов. Построен алгоритм вычисления вспомогательных вектор-функций, используемых при построении базисов мультивсплесков по известным мультимасштабирующим функциям с компактным носителем. (Субботин Ю.Н., Черных Н.И.) Опубликована статья в Трудах ИММ УрО РАН. Статья продолжает предыдущие исследования Ю.Н. Субботина и С.А. Теляковского и использует простейший метод аппроксимации в C_{2\pi} частными суммами тригонометрических рядов Фурье. Построен интерполяционный базис пространств гармонических функций всплесков в центрально симметричном кольце для пространств соответствующего кратномасштабного анализа, очень удобный для решения краевых задач Дирихле в такой области. Решена задача об условиях существования решения уравнения Эйлера в торе с винтовыми линиями тока. (Антонов Н.Ю., Гриднев М.Л.) Рассмотрены классы непрерывных функций с ограничением на фрактальность их графиков, исследована взаимосвязь таких классов с классами функций обобщенной ограниченной вариации. Доказана теорема о том, что в любом классе непрерывных функций с ограничением на фрактальность графика, более широком, чем класс, совпадающий с классом функций ограниченной вариации, найдется функция, чей ряд Фурье не является всюду сходящимся. Для прямоугольных частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье введено понятие $\Lambla$-сходимости, являющееся промежуточным между известными определениями сходимости по кубам и $\lambda$-сходимости при $\lambda >1$. Доказана теорема о том, что если для некоторого класса Орлича $\varphi (L)$ периодических функций одной переменной ряд Фурье каждой функции из этого класса сходится почти всюду, то для любого натурального числа $d$ для любой функции из класса $\varphi (L) (\log ^+L)^{d-1} $ на $d$-мерном торе ряд Фурье этой функции $\Lambla$-сходится почти всюду. Как следствие получено утверждение о том, что ряд Фурье любой функции из класса $ L (\ln ^ + L) ^ d \ln ^ + \ln ^ + \ln ^ + L $ на $d$-мерном торе $\Lambla$-сходится почти всюду. Определены классы непрерывных функций с ограничением на фрактальность их графиков, исследована взаимосвязь таких классов с классами функций обобщенной ограниченной вариации. Также доказана расходимость рядов Фурье в точке для определенных классов. (Байдакова Н.В.) Для конечных элементов, построенных на d-симплексах (d=3,4) с интерполяцией Лагранжа многочленами малых степеней, получены оценки аппроксимации производных функции производными интерполяционных многочленов, позволяющие упрощать контроль триангуляции без потери точности аппроксимации. (Маринов А.В.) Получен критерий типа Бернштейна–Дойча непрерывности и локальной липшицевости по Хаусдорфу выпуклых процессов. (Габдуллин М.Р.) Доказано, что для всех бесквадратных $m$ и множеств $A\subset Z_m$ таких, что $A-A$ не содержит ненулевых квадратичных вычетов по модулю $m$, справедлива оценка $|A|\leq (3n)^{1.5n}m^{1/2}$, где $n$ -- количество нечетных простых делителей числа $m$. В частности, если $n=o(\frac{\log m}{\log\log m})$, то $|A|\leq m^{1/2+o(1)}$. Таким образом, в задаче получены оценки со степенным понижением для почти всех бесквадратных модулей. (Паюченко Н.С.) Изучается супремум С(n) точной константы в неравенстве Маркова на множестве P_n алгебраических многочленов p степени n и их производных на отрезке по классу интегральных функционалов, порожденных неубывающей неотрицательной функцией, а именно, С(n)= sup_{P_n} m(p’/n^2)/m(p), где m(p) есть мера множества точек отрезка [-1,1], в которых абсолютное значение p больше 1. При помощи многочленов Чебышева первого рода получена оценка снизу в общем случае: С(n)>= 1+3/(n2-1). Доказано, что С(2)=2, супремум реализуется на последовательности T_2(x(1+1/m)) при m, идущем к бесконечности, T_2 – многочлен Чебышева первого рода степени 2. (Правдин С.Ф., Незлобинский Т.) Мы изучили явление вытеснения одиночной спиральной волны последовательностью плоских волн от одного и двух источников стимуляции. Была использована математическая модель двумерной возбудимой изотропной среды (Алиева--Панфилова), воспроизводящей основные электрофизиологические свойства миокарда. Были проведены численные эксперименты на различных вариантах модели, соответствующих разной «склонности» среды к разрывам волн и появлению новых спиральных волн (что является аналогом фибрилляции в реальном миокарде). В ходе экспериментов мы варьировали расположение, количество, размер электродов, период стимуляции и её фазу. В качестве результатов мы рассматривали: время, необходимое для полного вытеснения спирали, факт появления новых спиралей из-за внешней стимуляции, траекторию начала спирали. Результаты показали, что: 1) время вытеснения спиральной волны существенно росло с ростом периода внешней стимуляции и слабо зависело от «склонности» среды к разрыву волн; 2) при периоде стимуляции, слишком близком к периоду спиральной волны, стимуляция оказывалась неэффективной; 3) "окно" эффективных периодов стимуляции относительно периода спиральной волны имеет границы 0.8...0.97; 4) стимуляция с периодом, близким к левой границе "окна", может быть небезопасной (в расчетах возникали разрывы волн), а с периодом, близком к правой границе - неэффективной (то есть время, необходимое для вытеснения спирали, существенно возрастает с ростом периода); 5) фаза стимуляции оказывала лишь незначительное влияние на время вытеснения спирали. Было проведено сравнение с теорией вынужденного дрейфа спиральных волн (Кринский, Агладзе), которое показало хорошее количественное совпадение скорости дрейфа. Итак, наши результаты показывают, что стимуляцию целесообразно проводить с периодом около 0.85...0.9 периода спиральной волны. Из проверенных нами расположений электродов на границе квадрата самое эффективное - два электрода в серединах противоположных сторон квадрата. По сравнению с конфигурациями электродов на границе, помещение электрода в центр квадрата резко снижает время стимуляции до исчезновения спиральной волны. (Бабенко А.Г., Наум Т.З.) Решена задача полиномиального приближения снизу в интегральной метрике на на единичном шаре многомерного евклидова пространства конкретной радиальной функции F. А именно, функции F, через свертку с которой определяется потенциал Ньютона. (Ямковой Д.А.) Разработан метод экстраполяции функций 2k-гладких в некоторой окрестности границы [a1, a2] × [b1, b2] на всю плоскость с сохранением гладкости порядка k и со свойством компактности носителя. Также, в рамках проделанной работы показано с помощью численных экспериментов, что применение алгоритмов сжатия с потерями, основанных на всплесках, для таким способом экстраполированных изображений дает улучшение основных показателей сжатия по сравнению с существующими методами.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
(Бердышев В.И.) Найдены характеристические свойства траектории движущегося в двумерном пространстве объекта, наиболее удаленной от набора недружественных наблюдателей, расположенных в теневых зонах местности, при условии, что объект имеет скоростное средство подавления наблюдателей. (Шевалдин В.Т.) В соответствии с планом на числовой прямой и на отрезке прямой изучались свойства устойчивости к изменению интерполяционных условий обобщенных локальных сплайнов (построенных автором ранее при выполнении проекта) с равноотстоящими узлами, как операторов, действующих из l в L. При некоторых ограничениях для таких сплайнов (в частности, для параболических, экспоненциальных и тригонометрических сплайнов третьего порядка) на оси и на любом отрезке оси при определенных граничных условиях точно вычислены интегральные константы Лебега (нормы линейных операторов из l в L). Отметим, что найденные константы Лебега даже для классических локальных параболических сплайнов, как на оси, так и на отрезке, являются первыми точными результатами в данной тематике. (Плещева Е.А.) Имея известные, ранее построенные Плещевой Е.А., n-раздельные КМА и соответствующие базисы всплесков, построили биортогональные периодические n-раздельные КМА и соответствующие всплески. (Субботин Ю.Н., Черных Н.И.) Разработан эффективный численный метод решения краевых задач для бигармонических уравнений в круге и кольце с помощью интерполяционных гармонических всплесков (Гриднев М.Л.) Получена равномерная оценка модуля разности непрерывной функции и ее частичной суммы Фурье через выражение, зависящее от модуля непрерывности и модуля фрактальности этой функции. С помощью полученной оценки, в терминах модуля непрерывности и модуля фрактальности, получены признак равномерной сходимости рядов Фурье и оценка роста частичных сумм. Данные результаты уточняют соответствующие классические результаты для некоторых классов функций с ограничением на модуль фрактальности. Кроме того, показана неулучшаемость результата о порядке роста частичных сумм Фурье в данных классах функций. (Антонов Н.Ю.) Для прямоугольных частичных сумм кратных тригонометрических рядов Фурье введено понятие $\Lambla$-сходимости, являющееся промежуточным между известными определениями сходимости по кубам и $\lambda$-сходимости при $\lambda >1$. Доказана теорема о том, что если для некоторого класса Орлича $\varphi (L)$ периодических функций одной переменной ряд Фурье каждой функции из этого класса сходится почти всюду, то для любого натурального числа $d$ для любой функции из класса $\varphi (L) (\log ^+L)^{d-1} $ на $d$-мерном торе ряд Фурье этой функции $\Lambla$-сходится почти всюду. Как следствие получено утверждение о том, что ряд Фурье любой функции из класса $ L (\ln ^ + L) ^ d \ln ^ + \ln ^ + \ln ^ + L $ на $d$-мерном торе $\Lambla$-сходится почти всюду. Построен пример непрерывной функции двух переменных $f$, модуль непрерывности которой удовлетворяет условию $\omega (f, \delta) = O( (\ln (1/\delta ))^{-1})$, а тригонометрический ряд Фурье $\Lambla$-расходится почти всюду при условии, что последовательность $\Lambda = \{ \lambda _{\nu } \} _{\nu =1}^{\infty}$ такая, что $\ln ^2 \lambda _{\nu } = o (\ln \nu)$ при $\nu \to \infty $. (Байдакова Н.В.) Для конечных элементов типа Лагранжа, построенных на тетраэдрах, получены новые оценки сверху величин погрешности аппроксимации производных первого порядка исходной функции производными интерполяционных многочленов первой степени, более точные, чем все известные ранее, в терминах характеристиках, простых для вычисления и ранее не использовавшихся в предлагаемых комбинациях. Оценки близки к оптимальным. (Маринов А.В.) Получен критерий типа Бернштейна–Дойча непрерывности по Хаусдорфу выпуклых и срединно-выпуклых многозначных отображений. Получен критерий типа Бернштейна–Дойча непрерывности и локальной липшицевости по Хаусдорфу выпуклых процессов. (Габдуллин М.Р) Получены нетривиальные оценки сумм характеров в конечных полях порядка $p^n$ по параллелепипедам, имеющим объем не меньше, чем $p^{(1/4+\varepsilon)n}$, для случаев $n=2,3$. (Паюченко Н.С.) Изучается супремум С(n) точной константы в неравенстве Маркова на множестве P_n алгебраических многочленов p степени n и их производных на отрезке по классу интегральных функционалов, порожденных неубывающей неотрицательной функцией, а именно, С(n)= sup_{P_n} m(p’/n^2)/m(p), где m(p) есть мера множества точек отрезка [-1,1], в которых абсолютное значение p больше 1. Получена оценка сверху: C(n)=<7.5 для многочленов равномерная норма которых на [-1,1] не превосходит 1.5 (||P||<1.5) и С(n)=<6n+1 для произвольных многочленов степени не выше n. Для многочленов равномерная норма которых ограничена 1.5<||P||<K справедлива оценка сверху C(n)=<K3/(K-1). (Правдин С.Ф., Незлобинский Т.) Мы изучили явление вытеснения одиночной спиральной волны последовательностью плоских волн от одного и двух источников стимуляции. Были использованы две биофизические модели миокарда как двумерной возбудимой изотропной среды (модель Луо—Руди предсердия морской свинки и модель ten Tusscher—Panfilov, 2006 (ТР06) желудочка сердца человека). Были проведены численные эксперименты на различных вариантах моделей с подавлением ионных токов, которые соответствуют действию лекарственных препаратов для лечения аритмий (антиаритмики различных классов). В ходе экспериментов мы варьировали расположение, количество, размер электродов (точечный или длинный), период стимуляции и её фазу. В качестве результатов мы рассматривали: время, необходимое для полного вытеснения спирали, факт появления новых спиралей из-за внешней стимуляции, траекторию и скорость смещения спиральной волны. Результаты показали, что: 1) скорость смещения спиральной волны падала с ростом периода внешней стимуляции и росла при подавлении Na тока (это действие антиаритмиков I класса); 2) при периоде стимуляции, слишком близком к периоду спиральной волны, стимуляция оказывалась неэффективной – спиральная волна смещалась слишком медленно; 3) "окно" эффективных периодов стимуляции относительно периода спиральной волны имеет границы 0.86...0.97 для модели Луо—Руди и 0.96…0.99 для модели ТР06; 4) большое значение имеет площадь электрода – электрод слишком малой площади работает неэффективно даже при «правильном» периоде стимуляции; 5) уменьшение проводимости для К тока в 2 и 4 раза (эффект антиаритмиков III класса) в модели Луо—Руди приводит к распаду спиральной волны, что очень опасно для пациента. Сравнение с теориями вынужденного дрейфа спиральных волн [Кринский, Агладзе, Physica D, 1983; Ермакова и др., Биофизика, 1986] показало, что в эксперименте скорости дрейфа на 1-2 порядка выше, чем в теории. Итак, наши результаты показывают, что стимуляцию целесообразно проводить с периодом, как минимум, 0.85 и, как максимум, 0.99 периода спиральной волны. Если можно выбирать расположение электрода, то целесообразно поместить его близко к центру вращения спиральной волны. Скорость вынужденного дрейфа составила около 2 мм/с для модели желудочков человека, что достаточно для вытеснения волны к основанию сердца, где она должна исчезнуть, за время до 1 минуты. (Бабенко А.Г., Наум Т.З.) Найдено точное решение задачи полиномиального одностороннего приближения важных радиальных (зональных) функций на многомерном шаре (сфере) в интегральной метрике в ряде новых случаев значения размерности. А именно, для радиальной функции, через свертку с которой определяется потенциал Ньютона, и ядра Пуассона для евклидова шара. (Ямковой Д.А.) Получено точное представление решения задачи Неймана в единичном круге в виде ряда по системе интерполяционных ($s = 3$) и интерполяционно-ортогональных ($s = 1,2$) $2 \pi$-периодических всплесков $\{\Phi_{s}^{j,k} (r, x):\ j \in \mathbb{Z}_{+},\ k = \overline{0, 2^{j} - 1},\ 0 \leq r \leq 1,\ 0 \leq x < 2 \pi\}$ яляющихся гармоническими функциями в единичном круге и построенных на основе всплесков Мейера.