Аннотация результатов, полученных в 2017 году
В ходе выполнения проекта в 2017 году проведены работы и получены важные результаты по решению фундаментальной научной проблемы разработки математических методов для задач квантовых технологий и теории управления открытыми квантовыми системами, включая разработку методов вывода динамических уравнений для управляемых открытых квантовых систем, изучение декогеренции многочастичных квантовых систем, установление связи между квантовой неопределенностью, квантовой сцепленностью, и разработку методов контроля квантовых систем сблизкими спектральными свойствами. Рассмотрена динамика открытой квантовой системы с зависящим от времени свободным гамильтонианом. В режиме слабого взаимодействия с резервуаром получены мастер-уравнения, описывающие динамику n-уровневого атома, взаимодействующего с некогерентным и в общем случае нетепловым излучением, и квантового осциллятора, взаимодействующего с фононами, одновременно находящихся под воздействием когерентного управления. Разработан алгоритм синтеза стратегии управления открытой квантовой системой, явно учитывающий заданные ограничения на форму управляющего воздействия. Рассмотрен когерентный контроль динамики квантовых систем электромагнитным излучением и некогерентный контроль термостатом при наичии сильных ограничений на управления. В приложениях как правило очень сложно достичь высокой эффективности управления из-за наличия ограничений на форму управляющего воздействия. В то же время, наличие ограничений на доступные классы управляющих воздействий может приводить к их более дешевой экспериментальной реализации. К примеру, относительно дешевое и надежное телекоммуникационное оборудование обеспечивает генерацию последовательности произвольной длины, состоящей из простых лазерных импульсов. В связи с этой задачей разработаны математические методы управления квантовой системой, использующие сильно ограниченные средства управления, когда контроллер может принимать только конечное число значений, как например, «ноль» и «единица» в телекоммуникационных лазерах. Получены применения алгоритмов синтеза стратегии управления к задаче управления квантовыми системами с близкими спектральными свойствами на примере задачи лазерного разделения изотопов бора посредством использования профилированных лазерных импульсов в рамках метода селективнового торможения конденсации в переохлаждённых газовых струях. Построена целевая функция для задачи оптимального разделения изотопов в рамках этого метода. Проведено моделирование процесса разделения изотопов во внешнем лазерном поле на основе решения системы транспортных уравнений для относительных мольных долей различных типов частиц, присутствующих в потоке. Изучено влияние формы лазерного импульса на эффективноть разделения. Показано, что важную роль играет не только спектр единичного импульса, но также периодичность их следования. Развита квадратичная параметризация множеств квантовых состояний, удовлетворяющих заданным симметриям. При этой параметризации условие положительности матрицы плотности выполняется автоматически; кроме того, эта параметризация сохраняет структуру тензорного произведения составной системы, что важно для исследования декогеренции в многочастичных системах. На основе квадратичной параметризации получено уравнение на границу множества квантовых состояний. Развитая техника проиллюстрирована на различных примерах. В частности, построены множества вернеровских состояний трех кубитов, удовлетворяющих различным дополнительным симметриям, таким как инвариантность относительно обращения времени и инвариантность относительно циклических перестановок. Проведен анализ декогеренции в квантовых интегрируемых и неинтегрируемых системах разных типов. Проверена гипотеза о декогеренции в собственном состоянии. Показано, что эта гипотеза может выполняться в сильном смысле (для всех собственных состояний) и в слабом смысле (для большинства собственных состояний). Для интегрируемой спиновой системы с локализацией найдены состояния, устойчивые к декогеренции. На основе численного анализа показано, что такие состояния выживают и в неинтегрируемой системе с многочастичной локализацией, по крайней мере, для систем конечных размеров. Введена числовая характеристика квантовой неопределенности ансамбля двух чистых неортогональных квантовых состояний размерности два. Изучалась задача извлечения информации из набора неортогональных квантовых состояний. Эта задача связана с приложениями в квантовой криптографии, где легитимные пользователи оценивают информацию перехватчика по состояниям, достигшим приемной стороны. Получены оценки информации перехватчика в случае, когда его действия ограничены варьированием интенсивности когерентных состояний на приемной стороне, изучены информационные ограничения в ситуации, когда пользователи получают части двух чистых неортогональных квантовых состояний и извлекают из них информацию различными способами.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В 2018 году проводились работы по решению задач управления открытыми квантовыми системами, квантовыми системами с близкими спектрами на примере задачи лазерного разделения изотопов бора, исследованию компенсации диссипативной динамики и сохранения когерентности квантовых систем, применению квадратичной параметризации матрицы плотности для решения задач квантовой теории информации и квантовой теории конденсированного состояния, решению задач квантовой криптографии. Семь статей опубликованы, ряд статей отправлены в журналы и находятся на рецензии, другие находятся в процессе подготовки. Результаты представлены на порядка 25 докладах исполнителей проекта. Рассмотрена задача перевода начального состояния открытой квантовой системы в заданное конечное состояние под одновременным воздействием когерентного (то есть в составе гамильтониана) и некогерентного (то есть в составе диссипатора) управлений. Эта задача решена для двухуровневых квантовых систем путем редукции к серии задач оптимального управления, каждая из которых рассматривается со своим фиксированным финальным временем и со своим терминальным целевым функционалом, учитывающим терминальное ограничение с целевой матрицей плотности. Рассматривается убывающая последовательность терминальных времен. Для решения каждой такой задачи с фиксированным терминальным временем был применен принцип максимума Понтрягина и двухпараметрический метод проекции градиента, действующий в функциональном пространстве управлений. Исследована структура оптимального управления, минимальное время, неединственность оптимального управления в зависимости от начальных и конечных состояний. Рассмотрена и решена задача управления квантовыми системами с близкими спектрами на примере нахождения оптимальных термодинамических (давление и температура) и квантовых (форма лазерного импульса) разделения изотопов бора. Форма лазерного импульса является когерентным управлением, в то время как давление и температура, а также геометрия и эксплуатационные характеристики экспериментальной установки являются некогерентным управлением. Рассмотрены ограничения на спектр лазерного импульса, спектр фотопоглощения, резонансное и нерезонансное поглощение в разделительной ячейке, а также на взаимосвязь между геометрией разделительной ячейки, моделью пограничного слоя и скоростью конденсации. Решена задача оптимизации, где целевая функция выражает требование максимальной производительности при минимизации энергопотребления. Получен принцип максимума для этой задачи. Получена новая формула для скорости возбуждения изотопологов лазерным импульсом с произвольным спектром. Показано, что при условии, что положения резонансных пиков, соответствующих различным комбинациям изотопов хлора, совпадают с соответствующими пиками спектра импульса СО2-лазера, непрерывное возбуждение является более оптимальным, чем многомодовое импульсное облучение с режимами возбуждения и поглощения, несоответствие не менее 0,02 см-1. Найдены диапазоны ограничений интенсивности лазерного импульса при многомодовом облучении, соответствующие измерениям спектра фотопоглощения BCl3 в переохлажденном сверхзвуковом потоке газа. Получены параметры вакуумной камеры экспериментальной установки путем решения системы уравнений материи, импульса и баланса энергии. В рамках исследования компенсации диссипативной динамики и сохранения когерентности квантовой системы исследованы подпространства ошибок, порожденных взаимодействием с резервуаром, и проанализировано использование зацепленных состояний для устранения ошибок. Определены приводимые унитарные представления коммутативной группы вращений и некоммутативной группы Гейзенберга-Вейля в тензорном произведении двух гильбертовых пространств произвольной конечной размерности, моделирующие динамику открытой квантовой системы, зацепляющую систему с резервуаром. Найдены ортогональные проекторы, представляющие сумму одномерных сепарабельных состояний, для которых линейная оболочка орбит автоморфного действия группы унитарных операторов содержит тождественный оператор и является, таким образом, операторной системой. Полученная операторная система представляет допустимый набор ошибок, определяемых квантовой динамикой. Для этой операторной системы найдены наборы векторов гильбертова пространства, позволяющие осуществить кодирование, устраняющее ошибки. Показано, что подобное кодирование требует использования зацепленных состояний. Рассмотрены задачи управления открытыми квантовыми системами, когда управление моделируется конечным набором вполне положительных, сохраняющих след отображений (некогерентное управление). Установлено соответствие между такими задачами управления открытыми квантовыми системами и диофантовыми уравнениями. Данное соответствие применено для определения степени сложности задач управления открытыми квантовыми системами. Показано, что некоторые задачи управления небольшим числом квантовых систем, даже двумя системами, являются NP-полными. Проведен анализ квадратичной параметризации матриц плотности квантовых систем и применение этой параметризации для решения задач квантовой теории информации и конденсированного состояния, а именно к диагностике сепарабельности матриц плотности квантовых систем, обладающих симметриями. Под диагностикой сепарабельности понимается вычисление расстояния между матрицей плотности составной системы и пространством сепарабельных матриц плотности. Исследован вопрос о квантовой сцепленности специальных состояний системы нескольких кубит, разделенной на две подсистемы. В рамках исследования связи между симметриями квантового состояния и степенью квантовой сцепленности рассмотрены состояния с определенным значением полного спина, обладающие глобальной SU(2) симметрией и симметрией относительно перестановки кубитов (состояния Вернера). Получена формула для одной из характеристик сцепленности — следа квадрата редуцированной матрицы плотности (степени чистоты квантового состояния, англ. «purity»). Полученная формула позволяет эффективно получать численные значения степени чистоты для достаточно больших систем. Построена атака на протокол B92 с интенсивным реперным состоянием и получена критическая ошибка в линии связи, при которой такая атака возможна. Найдены верхние оценки скорости генерации секретного ключа в зависимости от длины линии связи для этого протокола при произвольном скалярном произведении исходных состояний и для различных ограничений на интенсивность состояний на приемной стороне. Построена модификация атаки активным светоделителем для дифференциально-фазового протокола квантовой криптографии. Для этой атаки построена зависимость скорости генерации секретного ключа от длины канала при произвольных параметрах протокола. Вычислено оптимальное значение интенсивности состояний легитимных пользователей при использовании перехватчиком данной атаки, а также найдена максимальная скорость генерации секретного ключа. Получены значения взаимной информации передающей и принимающей сторон для ансамбля двух неортогональных состояний при использовании кода с повторением произвольной длины, как для индивидуальных, так и для коллективных измерений. Получены оценки степени смешанности состояний в картине, двойственной к ситуации индивидуальных измерений. Доказана стойкость протокола квантового распределения ключей BB84 при детекторах с разной эффективностью и выведены точные оценки на достижимую скорость генерации секретного ключа. Для получения этого результата разработан новый метод, основанный на аналитическом решении задачи минимизации квантовой относительной энтропии когерентности.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В 2019 году проводились работы по решению задач управления квантовыми системами, выводу и исследованию мастер-уравнений для открытых квантовых систем, управлению квантовыми системами с близкими спектрами, исследованию декогеренции и компенсации диссипативной динамики, анализу коммуникационных протоколов передачи публичных данных и распределения секретного ключа одному и нескольким получателям. Девять статей опубликованы либо приняты в печать, в том числе три статьи приняты в печать, ряд статей отправлены в журналы и находятся на рецензии, либо находятся на завершающей стадии подготовки и отправки в журналы. Результаты представлены на 31 докладе исполнителей проекта на конференциях и семинарах, видеозаписи 10 докладов размещены в открытом доступе на Общероссийском математическом портале MathNet.Ru. 25 ноября 2019 года в Математическом институте им. В.А. Стеклова прошел Третий молодежный рабочий семинар «Математические методы в проблемах квантовых технологий», на котором в том числе обсуждались работы по гранту с размещением видеозаписей докладов в открытом доступе на портале MathNet.Ru. Сайт семинара: http://www.mathnet.ru/conf1688 Проведено исследование по выводу мастер-уравнений для открытых квантовых систем из соотношений типа Эренфеста для средних. Проведено рассмотрение для квантовых систем с бесконечномерным гильбертовым пространством на примере дифференциальных уравнений, связывающих средние значения энергии, координаты и импульса квантового осциллятора, находящегося под одновременным воздействием когерентного и некогерентного управлений и взаимодействующего с резервуаром других квантовых осцилляторов. В этой задаче c помощью метода операционного динамического моделирования выведен общий класс мастер-уравнений, приводящих к заданным соотношениям для средних с операторами в диссипаторе, линейными по операторам рождения и уничтожения. Выведено динамическое мастер-уравнение для матрицы плотности с генератором Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада и обобщена теория предела низкой плотности на случай частиц газа с внутренними степенями свободы. Получено упрощенное выражение для лэмбовского сдвига и диссипатора в первом борновском приближении для быстрых частиц. Проведено сравнение полученных результатов с предсказаниями полуклассической модели столкновений в стробоскопическом приближении. Показано, что в пределе бесконечной температуры газа решения совпадают для произвольного потенциала взаимодействия. При конечной температуре решения мало отличаются, если концентрация газа мала (nd^3<<1, где n – концентрация, d – характерный радиус рассеивающего потенциала) и тепловая энергия много больше потенциала взаимодействия и характерной квантовой энергии для рассеивающего потенциала (kT>>U, kT >>h^2/md^2). Показано, что критерий применимости борновского приближения для быстрых частиц эквивалентен критерию применимости стробоскопического предела в модели столкновений. На основе второго порядка теории возмущений получена оценка различия двух решений при конечной температуре. Продолжалось исследование математических задач оптимального управления и развития численных методов для открытых двухуровневых квантовых систем, описываемых динамическим мастер-уравнением для матрицы плотности, с одновременными когерентным и некогерентным управлениями. Исследованы два подхода к решению задачи наискорейшей максимизации среднего между целевой матрицей плотности и финальной матрицей плотности, получаемой для управляемой динамики. Проведено численное построение множеств достижимости, управляемости, трубок достижимости в шаре Блоха для открытой двухуровневой квантовой системы, находящейся под одновременным воздействием когерентного и некогерентного управлений. Для построения аппроксимаций множеств достижимости и управляемости проведена адаптация метода сечений, в котором элементарной операцией является решение задачи оптимального управления. Адаптированы и применены численные оптимизационные методы разных типов: (а) редукция к конечномерной стохастической глобальной оптимизации без использования градиентов целевых функций; (б) GRAPE (GRadient Ascent Pulse Engineering) в комбинации с методом проекции градиента и проекционной версией метода тяжелого шарика в конечномерном пространстве поиска; (в) метод Кротова первого порядка с регуляризацией и другие методы, действующие в функциональном пространстве управлений. Проведен анализ сравнительной эффективности методов оптимизации. Построены аппроксимации множеств достижимости в зависимости от финального времени, степени чистоты начального состояния, ограничений на значения когерентного и некогерентного управлений. Исследовано применение машинного обучения для задачи быстродействия для генерации заданной матрицы плотности открытой двухуровневой квантовой системы, динамика которой зависит от кусочно-постоянных когерентного и некогерентного управлений. Исследовалась задача управления квантовыми системами с близкими спектрами на примере задачи разделения изотопов циркония. Определены параметры потенциала Леннарда-Джонса и инфракрасные спектры поглощения изотопологов молекулы (C5H5)2Zr(OCN)2, предлагаемой для разделения изотопов циркония на уровне приближения Хартри-Фока с помощью метода селективного торможения в переохлажденном газовом потоке (SILARC). Выведена формула, связывающая сечение фотопоглощения фундаментальной модой с сечением фотопоглощения первым обертоном через первую и вторую производные дипольного момента. Получены ограничения на интенсивность лазерного излучения, обусловленные применимостью метода SILARC. Критерий оптимизации сформулирован для простой схемы разделения изотопов циркония с учетом ограничений на управляющие переменные. Завершено рассмотрение задачи управления открытыми квантовыми системами, когда управление моделируется конечным набором вполне положительных, сохраняющих след отображений. На основе соответствия между диофантовыми уравнениями и такими задачами управления открытыми квантовыми системами показана алгоритмическая неразрешимость задачи управления в случае, когда достаточно приближенной, но достаточно малой точности реализации максимального значения целевого функционала. В частности, рассмотрена задача управления состоянием системы из двух квантовых осцилляторов (двухмодовое когерентное поле), управляемых с помощью операторов сдвига. В связи с описанием декогеренции и исследованием компенсации диссипативной динамики проводилось исследование подпространства ошибок, порожденных взаимодействием квантовой системы с бесконечномерным резервуаром, производился поиск точно решаемых моделей на примере динамики, описывающей систему двух взаимодействующих квантовых осцилляторов, проанализировано использование зацепленных состояний для устранения ошибок в этой системе. Для этой системы с бесконечномерным гильбертовым пространством проводилось изучение динамики, задаваемой уравнением Шредингера с гамильтонианом, описывающим взаимодействие между системой и резервуаром, при которой происходит запутывание исходных сепарабельных квантовых состояний. Явно выписано действие унитарной группы, определённой уравнением Шрёдингера для составной квантовой системы. Изучены орбиты группы *-автоморфизмов, задаваемой этой унитарной группой. Построено семейство бесконечномерных проекторов, для которых действие группы автоморфизмов на них порождает операторное подпространство, содержащее тождественный оператор, так что данное пространство операторов является операторной системой. Показано, как использование когерентных состояний и сжатых когерентных состояний служит для построения примеров операторных систем в бесконечномерных пространствах и соответствующих ортогональных проекторов, действие которых переводит данные системы в одномерное подпространство. Доказано, что найденный проектор максимален в том смысле, что не существует обладающего аналогичным свойством проектора, превышающего его в смысле спектрального порядка. Для построенной операторной системы найдены наборы векторов гильбертова пространства, позволяющие осуществить кодирование, устраняющее ошибки. Рассмотрены коммуникационные протоколы передачи публичных данных и распределения секретного ключа одному и нескольким получателям, где в качестве ресурса выступает сцепленность. Получены оценки на скорость передачи данных для преобразования приближенного клонирования, вещания, а также разбавления сцепленности. Получена оценка на когерентность двойственного ансамбля с хаотическим средним состоянием через неопределенность наблюдаемой с элементами ранга один. Введено понятие слабой неопределенности наблюдаемой, которое рассматривает неопределенность результатов измерения в отношении ортонормированного базиса. Получена оценка на слабую неопределенность двойственной наблюдаемой через когерентность ансамбля чистых состояний с хаотическим средним состоянием. Показано, что когерентность используемого ансамбля и слабая неопределенность наблюдаемой обязательны для такого важного приложения квантовых технологий, как квантовое распределение ключей, при этом слабая неопределенность имеет смысл как учитывающая затухание в линии связи. Завершен анализ стойкости протокола квантового распределения ключей BB84 при несовпадающих эффективностях однофотонных детекторов. В 2018 году была доказана стойкость протокола и выведена формула предельно достижимой скорости генерации секретного ключа в предположении однофотонного источника. На практике же в квантовой криптографии обычно используются не однофотонные источники, а источники когерентных состояний, в которых число фотонов распределено по Пуассону, т.е. могут иметь место многофотонные посылки. Это позволяет противнику проводить различные атаки (например, атаку расщеплением по числу фотонов), которые делают многофотонные посылки ненадежными. Этот фактор необходимо учесть при вычислении достижимых скоростей генерации секретного ключа. В 2019 году рассмотрен случай использования источников когерентных состояний вместо однофотонных. Для этого случая адаптирован метод обманных состояний (decoy state method, другой перевод – «метод состояний-ловушек») для протокола квантовой криптографии BB84 при несовпадающих эффективностях однофотонных детекторов: выведены оценки количества многофотонных посылок и количества ошибок в однофотонных посылках, подробно обоснованы предположения метода.