Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В статье http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=3930&option_lang=rus получены результаты общетопологического характера о пространствах орбит торических действий сложности один. Доказано, что в случае, когда веса представления в каждой неподвижной точке находятся в общем положении, пространство орбит является топологическим многообразием. Подробно описана структура фильтрации пространства орбит по размерности орбит. Введено понятие губки для действия сложности один. Разобраны примеры: многообразие Грассмана G_{4,2}, многообразие полных комплексных флагов F_3. Введено понятие локального класса Эйлера для действия сложности один. Показано, что локальный класс Эйлера определяет характеристическую функцию на многообразии с действием сложности один. Доказана теорема о классификации действий сложности один в терминах пространства орбит и класса Эйлера. Доказано, что действие сложности один, пространство орбит которого гомеоморфно сфере однозначно задается классом Эйлера своей своей свободной части. В совместной с В.М.Бухштабером работе https://arxiv.org/abs/1803.01132 разработана теория подмногообразий-двойников в многообразии полных комплексных флагов. Разобран частный случай: многообразия изоспектральных эрмитовых матриц ступенчатой формы и полупростые регулярные многообразия Хессенберга являются двойниками. Попутно, с использованием потока Тоды доказано, что многообразие изоспектральных матриц ступенчатой формы является гладким многообразием с эквивариантно формальным действием тора. При помощи ГКМ-теории вычислено его кольцо когомологии и эквивариантных когомологий. В работе https://arxiv.org/abs/1803.11433 подробно исследовано пространство периодических трехдиагональных эрмитовых матриц с фиксированным спектром. При помощи потока периодической цепочки Тоды и дискретизации уравнения Шредингера найдены условия, при которых это пространство является многообразием. В общем случае (и для многообразия и для немногообразия) описан топологический тип пространства орбит относительно имеющегося на пространстве действия тора сложности один. В случае многообразия оказалось, что пространство орбит гомеоморфно произведению 4-мерной сферы и (n-3)-мерного тора. В частном случае n=3 это рассуждение дает альтернативное доказательство теоремы, полученной ранее Бухштабером-Терзич, о том что фактор-пространство многообразия флагов в C^3 гомеоморфно 4-мерной сфере. Далее, получено описание "дискриминанта" пространства периодических трехдиагональных матриц, т.е. подпространства, на котором поток периодической цепочки Тоды вырождается в поток открытой цепочки Тоды. Фактор-пространство дискриминанта по действию тора описывается комбинаторной структурой, которая названа в работе "замечательным разбиением тора". Эта структура получается из регулярного замощения евклидова пространства параллельными копиями пермутоэдра факторизацией по некоторой специальной подрешетке. Такой объект был хорошо известен специалистам в кристаллографии, но его связь пространством матриц является новым результатом. Интересно, что двойственное симплициально-клеточное разбиение тора является минимальным по числу вершин. Такие объекты возникали ранее при исследовании алгоритмов на многообразиях: минимальные симплициально-клеточные разбиения многообразий называются кристаллизациями. Таким образом, побочным результатом является явное описание кристаллизаций торов произвольной размерности. В дальнейшем планируется изучать эту кристаллизацию и ее связь с топологией пространства периодических матриц методами комбинаторной геометрии и коммутативной алгебры. Статья, посвященная релевантным методам (правда, мотивированная по большей части действиями тора сложности ноль) принята к печати в Journal of the Mathematical Society of Japan, препринт доступен https://arxiv.org/abs/1607.03889. Про пространство периодических трехдиагональных матриц, на основе комбинаторных результатов получены результаты топологические. Это исследование опирается на предыдущие работы в области действий тора сложности ноль. Получена крайне нетривиальная формула для чисел Бетти такого пространства, а также описание ряда Гильберта для его эквивариантных когомологий. В совместной с В.М.Бухштабером работе https://arxiv.org/abs/1803.10449 доказано, что пространство изоспектральных эрмитовых матриц-стрелок является гладким многообразием, и естественное действие тора на нем - локально стандартно. Пространство орбит, таким образом, является многообразием с углами. Описана комбинаторная структура граней этого многообразия. Введено общее понятие граф-пермутоэдра, обобщающее обычные пермутоэдры и циклопермутоэдр Гаянэ Паниной. В новых терминах грани пространства орбит описываются граф-пермутоэдром, соответствующим графу-звезде. Описан гомотопический тип пространства орбит. Оказывается, пространство орбит гомотопически эквивалентно подкомплексу выпуклого пермутоэдра, состоящему из всех кубических граней этого многогранника. В малых размерностях гомотопический тип можно описать явно (для матриц 4х4 - окружность, для матриц 5х5 - букет семи окружностей). Случай матриц-стрелок 4х4 рассмотрен подробно. В этом случае предыдущие результаты автора позволяют явно описать кольцо когомологий и кольцо эквивариантных когомологий самого пространства матриц (а не только его пространство орбит). Доказано, что фактором многообразия матриц-стрелок по совместному действию тора и группы перестановок является выпуклый многогранник, получающийся из куба срезкой граней коразмерности два. В случае вещественных симметричных матриц это соображение позволяет построить явную и достаточно простую клеточную структуру на пространстве матриц-стрелок. Более подробное исследование действий тора сложности один для отдельных многообразий проведено в работах https://arxiv.org/abs/1903.03460 (действие тора на 6-мерной сфере и кватернионных аналогах торических поверхностей, доказано, что фактор-пространство гомеоморфно сфере во всех случаях), https://arxiv.org/abs/1905.02294 (действие тора сложности один на многообразиях Хессенберга и многообразиях изоспектральных ступенчатых матриц, описан топологический тип пространства орбит), https://arxiv.org/abs/1905.04761 (построены примеры эквивариантно формальных торических действий сложности один с почти произвольными пространствами орбит).

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Исследуются действия компактного (n-1)-мерного тора T на 2n-мерных замкнутых гладких многообразиях X (так называемые, действия сложности один). Предполагается, что действие имеет неподвижные точки, и все неподвижные точки изолированы. Действие называется эквивариантно формальным (над кольцом коэффициентов R), если когомологии пространства X нулевые в нечетных степенях. Мы говорим, что действие сложности один находится в общем положении, если любые n-1 весов касательного представления тора в любой неподвижной точке линейно независимыми над полем рациональных чисел. Действия с описанными свойствами включают в себя следующие важные примерны. (1) Многообразие Грассмана G_{4,2} комплексных 2-плоскостей в C^4 (2) Многообразие полных комплексных флагов F_3 в C^3 (3) Кватернионная проективная плоскость HP^2 (4) Четномерные сферы S^{2n}, в частности 6-мерная сфера с почти комплексной структурой, которая представляется как однородное пространство исключительной группы Ли G_2. В ходе выполнения проекта было доказано, что пространство орбит эквивариантно формального действия сложности один в общем положении является гомологической (над R) сферой. Используя гипотезу Пуанкаре в топологической категории, из этой теоремы можно вывести следующие результаты, которые были доказаны ранее: (1) G_{4,2}/T^3 гомеоморфно S^5, F_3/T^2 гомеоморфно S^4 (впервые доказано Бухштабером-Терзич с помощью теории (2n,k)-многообразий); (2) HP^2/T^3 гомеоморфно S^5, S^{2n}/T^{n-1} гомеоморфно S^{n+1} (доказано в предыдущих работах автора проекта) (3) Пространство орбит гамильтонова действия сложности один в общем положении гомеоморфно сфере (впервые доказано Каршон-Толман методами симплектической геометрии и топологии). Таким образом, наш общий результат покрывает все известные случаи. Также было доказано обратное утверждение: для действия тора сложности один в общем положении сферичность пространства орбит, а также ацикличность фильтрации пространства орбит по типу орбит, влекут эквивариантную формальность действия. Это позволяет говорить о теории действий сложности один, во многом похожей на теории действий сложности ноль, являющейся одной из основных тем в торической топологии. В совместной работе с Д.Гугниным описана топология пространств разориентаций. Эти пространства известны в кристаллографии, но мы подошли к их изучению с позиций специалистов по действиям тора. Пространство разориентаций - это фактор многообразия SO(3) ортогональных матриц по двустороннему действию пары точечных кристаллических групп, где одна действует умножением слева, а другая - умножением справа. Эти пространства являются сферическими орбифолдами и некоторые результаты о них известны специалистам по маломерной топологии. В нашей работе мы получили полный перечень типов гомеоморфизма пространств разориентаций для всевозможных пар кристаллографических групп, в частности, выяснили, что многие пространства разориентаций гомеоморфны 3-мерным сферам, опираясь на гипотезу Пуанкаре. Этот результат подчеркивает аналогию между пространствами разориентаций и пространствами орбит действия тора сложности один. Мы приводим подробный обзор теории периодических трехдиагональных матриц размера 3 в вещественном случае. Этот пример возникает одновременно как частный случай пространства разориентаций и как пример действия вещественного тора сложности один. Мы надеемся, что описанные нами координаты на пространствах разориентаций могут быть полезны в прикладных задачах, связанных с анализом физических свойств поликристаллических материалов. Совместно с М.Масудой, Х.Абе и Х.Цзэнем проведены исследование о связи алгебраических многообразий Хессенберга и их матричных двойников. Понятие пространств-двойников было предложено автором проекта в совместной работе с В.М.Бухштабером, подготовленной в рамках работы над проектом. Это понятие заинтересовало многих наших коллег. В новой работе мы доказываем, что полупростое регулярное многообразие Хессенберга не диффеоморфно своему матричному двойнику, хотя эти пространства и имеют изоморфные группы когомологий. Также мы развиваем общую теорию подмногообразий-двойников в многообразии полных флагов: мы доказали, что (при определенных технических условиях) эквивариантная формальность многообразия влечет эквивариантную формальность его двойника, и описали связь между ГКМ-графами многообразий-двойников. Мы планировали описать действие группы перестановок на когомологиях полупростых регулярных многообразий и их двойников. В случае вещественных коэффициентов эта задача была решена нашими коллегами из США. В настоящее время мы работаем над действием группы перестановок на целочисленных когомологиях.