Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Разработана общая стратегия вычисления набора сферических корней сферического однородного пространства G/H связной редуктивной группы G, сводящая исходную задачу к той же задаче для двух других сферических однородных пространств, у каждого из которых число сферических корней строго меньше, чем для исходного пространства. Данная стратегия была успешно реализована для широкого класса сферических подгрупп, включающего в себя разрешимые сферические подгруппы. Данный класс состоит из сферических подгрупп H, регулярно вложенных в некоторую параболическую подгруппу P группы G таким образом, что подгруппа Леви подгруппы H содержит коммутант подгруппы Леви группы P. Для таких сферических подгрупп была получена серия результатов об их структуре и найдены комбинаторные инварианты, однозначно определяющие каждую подгруппу из рассматриваемого класса. Эти результаты обобщают полученные автором ранее результаты о структуре разрешимых сферических подгрупп. С помощью упомянутых выше структурных результатов предъявлены явные конструкции мультипликативных и аддитивных однопараметрических вырождений алгебр Ли сферических подгрупп из рассматриваемого класса. Доказано, что эти вырождения всегда выводят на орбиту коразмерности 1 в соответствующем вложении Демазюра и что два различных вырождения всегда выводят на различные орбиты. Кроме того, получена полная классификация всех так называемых примитивных случаев, когда описанные выше конструкции вырождений не позволяют построить как минимум два различных вырождения алгебры Ли данной сферической подгруппы, и для всех таких случаев найдены соответствующие наборы сферических корней. Совокупность упомянутых выше результатов даёт рекурсивный алгоритм вычисления набора сферических корней для любой сферической подгруппы из рассматриваемого класса, который за конечное число шагов приводит к конечному набору примитивных случаев. Описанные выше результаты положены в основу препринта "Degenerations of spherical subalgebras and spherical roots", опубликованного на сервере arxiv.org, см. https://arxiv.org/abs/1905.01169 Данный препринт сдан в печать.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Предложен эффективный оптимизированный алгоритм для вычисления набора сферических корней для сферических однородных пространств G/H, где подгруппа H регулярно вложена в некоторую параболическую подгруппу P группы G таким образом, что H и P имеют общую подгруппу Леви. Данный результат добавлен в препринт "Degenerations of spherical subalgebras and spherical roots", новая версия которого опубликована на сервере arxiv.org в декабре 2019 года, см. https://arxiv.org/abs/1905.01169. Для произвольных сферических подгрупп получена серия результатов об их структуре и найдены явные конструкции однопараметрических вырождений их алгебр Ли, для которых при некоторых ограничениях доказано, что они выводят на орбиту коразмерности 1 в соответствующем вложении Демазюра. Получено явное описание расширенной полугруппы старших весов произвольного сферического однородного пространства G/H в терминах регулярного вложения H в некоторую параболическую подгруппу P группы G и по модулю набора сферических корней для G/H. На основе этого описания получен явный алгоритм вычисления данной полугруппы в ситуации, когда подгруппа Леви группы H содержит коммутант подгруппы Леви группы P. Также найдено новое доказательство результата Р. Авдеева и Н. Горфинкель о строении расширенной полугруппы старших весов произвольной разрешимой сферической подгруппы. Упомянутые результаты о вычислении расширенных полугрупп старших весов легли в основу препринта "On extended weight monoids of spherical homogeneous spaces", опубликованного на сервере arxiv.org в мае 2020 года, см. https://arxiv.org/abs/2005.05234.