Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Общей целью проекта является изучение производных некоммутативных схем их свойств и преобразований, с упором на изучение таких производных некоммутативных схем, которые возникают в классической алгебраической геометрии в качестве допустимых подкатегорий в категориях когерентных пучков на проективных схемах, т.е. имеющих геометрические реализации. В частности изучение некоммутативных схем, возникающих при изучении зеркальной симметрии в качестве Д-бран в сигма моделях и моделях Ландау-Гинзбурга. Среди основных направлений данной программы можно выделить следующие важные конкретные задачи. По всем основным направлениям научной работы, запланированным на 2019 год, получены серьезные продвижения. Опишем полученные результаты более подробно. Одним из самых интересных классов производных некоммутативных схем является класс дифференциально-градуированных (ДГ) категорий совершенных комплексов над конечными дифференциально-градуированными алгебрами. Класс конечных дифференциально градуированных (ДГ) алгебр оказывается естественным обобщением класса конечномерных алгебр. В рамках работы над проектом были введены новые понятия внешнего и внутреннего радикала для ДГ алгебр. Используя данный подход удалось найти обобщение и расширение известной конструкции Аусландера для конечномерных алгебр на случай конечномерных ДГ алгебр. Более конкретно, для любой конечномерной ДГ алгебры R можно построить другую конечномерную ДГ алгебру E, для которой категория совершенных модулей имеет полный полуисключительный набор с одной стороны, а с другой стороны содержит категорию совершенных модулей над R в качестве полной подкатегории. Связанная с Е производная некоммутативная схема является гладкой и дает разрешение особенностей для производной некоммутативной схемы связанной с ДГ алгеброй R. Более того, данная конструкция дает полную характеризацию всех производных некоммутативных схем, связанных с конечномерными ДГ алгебрами. Так, было показано, что любая такая ДГ категория квазиэквивалентна идемпотентно полной ДГ подкатегории с генератором в ДГ категории с полным полуисключительным набором. Другим важным результатом в изучении производных некоммутативных схем, связанных с конечномерными ДГ алгебрами является доказательство наличия геометрической реализации для них. Было доказано, что для любой конечномерной ДГ алгебры R с отделимой полупростой частью существует гладкая проективная схема V с полным полуисключительным набором и совершенный комплекс Е на ней такой, что ДГ алгебра эндоморфизмов данного комплекса квазиизоморфна ДГ алгебре R. Этот факт означает, что категория совершенных модулей над ДГ алгеброй R эквивалентна полной подкатегории категории совершенных комплексов над схемой V. Данные результаты позволяют нам вложить любую производную некоммутативную схему, связанную с конечномерной ДГ алгеброй, в геометрическую категорию, связанную с гладкой проективной схемой. Это позволяет получить геометрическую реализацию для любой такой производной некоммутативной схемы, а также дает другую характеризацию для класса таких схем. В 2019 году также изучались производные категории минифолдов, то есть многообразий Фано, размерность кольца сингулярных когомологий которых на единицу больше размерности. В настоящий момент известны две бесконечные серии минифолдов, два трехмерных примера, и три пятимерных примера. Все эти многообразия обладают полными исключительными наборами. Более того, во всех случаях, когда индекс многообразия делит ранг кольца когомологий, на этих многообразиях существует прямоуголный лефешцев исключительный набор длины равной индексу. Частью этого набора является является исключительная последовательность линейных расслоений длины равной индексу многообразия. В рамках работы были описаны лефшецевы исключительные набора на пятимерных минифолдах индекса 3, а также алгебра эндоморфизмов исключительного набора, порождающего ортогонал к поднабору в производной категории пятимерных минифолдов индекса 3, состоящему из трех линейных расслоений. Также была описана схема Гильберта прямых F(X12). Было показано, что схема Гильберта F(X12) является пятимерным многообразием Гушеля-Мукаи. В рамках изучения многообразий Гушеля–Мукаи, был построен стек их модулей, стек модулей лагранжевых данных, изучена связь между данными стеками, а также получено их представление в виде глобальных факторстеков. Было получено описание грубого многообразия модулей лагранжевых данных и грубого многообразия модулей многообразий Гушеля-Мукаи в виде фактора в смысле геометрической теории инвариантов. В качестве приложения было построено отображение периодов для четномерных многообразий Гушеля-Мукаи, а также были построены интересные примеры неизотривиальных полных семейств гладких многообразий Фано. Также изучалась гипотеза о гомологической зеркальной симметрии для кривых Тейта. А именно, была доказана гомологическая зеркальная симметрия для обобщенных кривых Тейта рода 2. Для этого в том числе были определены категории Фукаи для тривалентных конфигураций двумерных сфер, снабженных некоторыми дополнительными структурами (выборами координат на проективных прямых с некоторыми условиями). Данные дополнительные данные в точности те же, что требуются для стандартной конструкции обобщенных кривых Тейта. Изучались вопросы, связанные с циклическими гомологиями гомотопически конечных ДГ алгебр определенного вида, а именно, получающихся конструкцией деформированной тензорной алгебры от совершенного бимодуля над гладкой компактной ДГ алгеброй. Был построен контрпример к вопросу Тоена о конечномерности периодических циклических гомологий для гомотопически конечных ДГ алгебр, а также пример конечномерной ДГ алгебры с бесконечномерными периодическими циклическими гомологиями. В рамках работы над проектом исследовалась обобщенная гипотеза Дубровина для классических грассманнианов. Во время исследований удалось полностью доказать обобщенную гипотезу Дубровина в форме Кузнецова–Смирнова для всех классических грассманианов. А именно, были построены новые лефшецевы исключительные наборы в их производных категориях, с использованием техники обобщенных ступенчатых комплексов была доказана их полнота, а также проверены ранее предложенные Кузнецовым и Смирновым достаточные условия, из которых следует, что соответствующая вычетная подкатегория распадается на взаимно ортогональные компоненты, порожденные исключительными объектами. В отчетном периоде был разработан метод построения компактификации лог-Калаби–Яу торических моделей Ландау–Гинзбурга для взвешенных полных пересечений Фано. Стандартным условием для построения подобных компактификаций, является то, что торическое вырождение многообразия Фано рефлексивно. Однако, это неверно для случая взвешенных полных пересечений. В рамках работы был предложен метод построения компактификации лог-Калаби–Яу для нерефлексивного случая. Данная процедура была применена для случая двойных пространств индекса один. Был описан пучок, компактифицирующий слои торической модели Ландау–Гинзбурга. Также были получены свидетельства в пользу гипотезы о том, что число слоев над бесконечностью лог компактификации модели Ландау–Гинзбурга является размерностью антиканонической системы многообразия Фано. Продолжались исследования лагранжевых торов в многообразиях Фано. Были получены оценки на периоды экзотических лагранжевых торов типа Чеканова в проективной плоскости CP^2, а также для неторических многообразий Фано в размерности 3. Кроме того, пользуясь новыми методами, включающими в себя построения мультисечений псевдоторических структур и перестроек от стандартных к экзотическим лагранжевым торам, было доказано существование монотонных экзотических лагранжевых торов в торических многообразиях Фано при условии существования монотонных лагранжевых торов. Согласно плану работ, проводилось изучение исключительных наборов из линейных расслоений на поверхностях. Были получены критерии ортогональности и сильной ортогональности слева для дивизоров на слабых поверхностях дель Пеццо, а также критерии исключительности/сильной/циклически сильной исключительности для наборов линейных расслоений на таких поверхностях. Также была изучена ограниченная производная категория когерентных пучков на изотропном грассманиане IGr(3,8) изотропных трехмерных подпространств в симплектическом векторном пространстве размерности восемь. А именно, в в ней был построен полный исключительный набор из векторных расслоений, состоящий из 32 объектов. Была описана вычетная подкатегория для построенного лефшецева набора. А именно, было показано, что данная подкатегория порождается полностью ортогональной парой исключительных объектов.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Общей целью проекта является изучение большого класса производных некоммутативных схем, который по определению включает в себя и весь мир обычных коммутативных многообразий. С одной стороны, этот мир значительно больше и содержит огромное количество новых объектов, которых нет в коммутативном мире. С другой стороны, многие такие производные некоммутативные схемы сами возникают в классической алгебраической геометрии в качестве допустимых подкатегорий в категориях когерентных пучков на обычных коммутативных алгебраических многообразиях. В этом случае мы говорим о геометрической реализации производных некоммутативных схем. Таким образом, производные некоммутативные схемы естественным образом возникают в классической алгебраической геометрии как самые важные части категорий пучков на алгебраических многообразиях. Но кроме этого такие объекты естественным образом появляются и в других областях математики, в частности в симплектической геометрии как категории Фукая и Фукая–Зайделя лагранжевых циклов на симплекстических многообразиях, а также при изучении зеркальной симметрии в качестве Д-бран в сигма-моделях и моделях Ландау– Гинзбурга. По всем основным направлениям научной работы, запланированным на 2020 год, получены серьезные продвижения. Опишем полученные результаты более подробно. Производные некоммутативные схемы определяются как абстрактные дифференциальные градуированные категории, которые в свою очередь являются категориями совершенных дифференциальных градуированных модулей над дифференциальными градуированными алгебрами. Мир производных некоммутативных схем обладает многими свойствами, которых нельзя наблюдать в мире обычных коммутативных многообразий. В частности, данный мир намного «мягче» коммутативного и в нем имеются новые важные конструкции, которых нет в коммутативном мире – в нем возникают новые отображения между схемами и новые операции. Одной из таких операций является операция склейки двух или нескольких производных некоммутативных схем с помощью всевозможных бимодулей. Самыми простыми некоммутативными многообразиями являются алгебры с делением (простые алгебры), которые есть естественные обобщения гладких нульмерных схем (точек) на некоммутативный случай. С помощью операции склейки и беря в качестве кирпичиков алгебры с делением, можно получить большой запас производных некоммутативных схем, которые называются некоммутативными схемами с полуисключительными наборами. С другой стороны, очень естественным и важным классом производных некоммутативных схем является класс дифференциальных градуированных (ДГ) категорий, которые являются категориями совершенных комплексов над конечномерными дифференциальными градуированными алгебрами. Изучение этих двух классов производных некоммутативных схем является несомненно важным и перспективным направлением в изучении производных некоммутативных схем. Естественным вопросом здесь является описание склеек для конечномерных ДГ алгебр. Было показано, что любая склейка конечномерных ДГ алгебр через совершенный бимодуль снова дает категорию, связанную с конечномерной ДГ алгеброй. Кроме того, склейка гладких ДГ алгебр с помощью любого когомологически конечного бимодуля также приводит к конечно мерной ДГ алгебре. Таким образом, было показано, что конечномерность ДГ алгебры является свойством самой категории, т.е. Морита инвариантна, а операция склейки через совершенные бимодули не выводит из класса конечномерных ДГ алгебр. Данные результаты также позволили продолжить изучение геометрических реализаций для производных некоммутативных схем. В частности, была найдена и описана конструктивная процедура построения гладких проективных многообразий, в которых можно реализовывать те производные некоммутативные схемы, которые связаны с конечномерными ДГ алгебрами. Была точно описана и предъявлена процедура построения геометрических реализаций над алгебраически замкнутым полем. Все такие многообразия по построению являются башнями проективных расслоений. Однако, над незамкнутым полем этого класса не достаточно. В этом случае в ответе появляются более сложные многообразия. Были построены соответствующие башни гладких проективных многообразий и в этом случае. При их построения требуется рассмотрение ограничения по Вейлю. Кроме того, в текущем году было показано, что группы Гротендика данных гладких производных некоммутативных схем являются свободными абелевыми группами конечного ранга. Оказывается, что ранг группы может быть любым неотрицательным числом. В частности, он может быть равен нулю, и все фантомы имеет вид конечномерных ДГ алгебр. Была предложена общая гипотеза о связи структуры кольца малых квантовых когомологий многообразия Фано и структуры его производной категории когерентных пучков. Сформулирована гипотеза о строении производных категорий когерентных пучков на коприсоединенных грассманианах простых алгебраических групп. Данная гипотеза проверена для коприсоединенных грассманианов простых алгебраических групп типов A_n и D_n --- а именно, в производных категориях этих грассмананов были построены прямоугольные лефшецевы наборы, а их вычетные категории были отождествлены с производными категориями представлений колчанов типа A_n и D_n (в случае, когда группа имеет тип A_n и n нечетно, или когда группа имеет тип D_n, соответственно) либо с нулевыми категориями (в случае, когда группа имеет тип A_n и n четно). Результаты опубликованы в виде препринта A. Kuznetsov, M. Smirnov, Residual categories for (co)adjoint Grassmannians in classical types, preprint math.AG/2001.04148 и представлены для публикации в рецензируемый журнал. Была доказана рациональность инвариантов Черна-Саймонса для канонических логарифмических продолжений по Делиню плоских векторных расслоений на некомпактных алгебраических многообразиях с унипотентной монодромией на бесконечности. Были построены более общие инварианты Черна-Саймонса (и Чигера-Саймонса) для расслоений со связностью при некотором ослаблении условия плоскости. С использованием техники дуализируемых категорий и их категорий Калкина были построены примеры слабых локализаций малых триангулированных категорий, для которых образ не является триангулированной подкатегорией, но при этом образ (автоматически) карубиево плотен. Был доказан аналог теоремы о препятствии Уолла для ДГ категорий. А именно, в терминах класса диагонального бимодуля в K_0 был получен критерий Морита-эквивалентности гомотопически конечной ДГ категории конечной клеточной ДГ категории. Данный результат имеет массу применений и следствий: было доказано, что все (универсальные) фантомные гладкие собственные ДГ категории вкладываются в категорию с полным исключительным набором, а также получены примеры нерациональных гладких проективных многообразий над замкнутым полем, производные категории которых вкладываются в категорию с полным исключительным набором. Был исследован вопрос построения лефшецева полного исключительного набора в ограниченной производной категории когерентных пучков на лагранжевых грассманианах. В частности, была сформулирована гипотеза о том, что специальном образом выбранные элементы орбит циклического действия на множестве исключительных расслоений Кузнецова–Полищука–Фонарева образуют нулевой блок минимального лефшецева полного исключительного набора, в то время как длины орбит действия в точности равны количеству блоков, в которое каждый заданный представитель входит. Данная гипотеза была проверена для лагранжевых грассманианов малой размерности над полем нулевой характеристики. Кроме того, в изученных случаев для построенных разложений была проверена обобщенная гипотеза Дубровина в формулировке Кузнецова–Смирнова. В частности, было показано, что соответствующая вычетная категория порождается полностью ортогональным исключительным набором, что согласуется с полупростотой малых квантовых когомологий данных многообразий. Были построены модели Ландау–Гинзбурга для лагранжевых грассманианов и построены полные неф-разбиения для них. С помощью этого были найдены явные модели Ландау–Гинзбурга полных пересечений в лагранжевых грассманианах. Были построены явные перестройки этих моделей в модели, тотальные пространства которых являются алгебраическими торами. Были найдены явные формулы для их суперпотенциалов. С помощью этого были вычислены периоды моделей Ландау–Гинзбурга. Была выдвинута и в простейшем случае проверена гипотеза о том, что эти периоды совпадают с I-рядами полных пересечений и, таким образом, выполняется гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Были построены торические вырождения полных пересечений в лагранжевых грассманнианах. Было показано, что веерные пересечения для них совпадают с многогранниками Ньютона для построенных моделей Ландау-Гинзбурга. Благодаря обобщению конструкции Миронова был предложен новый метод построения лагранжевых подмногообразий в широком классе многообразий Фано, включающем в себя многообразия Грассмана, многообразия флагов, комплексные квадрики в любой размерности и многих других. Конкретно для многообразий Грассмана Gr(2, n+1) посредством такого обобщения были построены новые примеры лагранжевых подмногообразий различных топологических типов, число которых не менее чем n+1. Велась работа над гипотезой Хилле и Перлинга о том, что все исключительные наборы линейных расслоений на рациональных поверхностях являются аугментациями. Было введено понятие P-аугментации (где P — некоторое свойство торических систем), с его помощью была получена строгая и удобная для работы формулировка указанной гипотезы. Гипотеза была опровергнута для некоторого сильного исключительного набора на некоторой слабой поверхности дель Пеццо степени 2. Гипотеза была доказана для сильных исключительных торических систем на слабых поверхностях дель Пеццо степени, большей или равной 3. Гипотеза Хилле и Перлинга была доказана для циклически сильных исключительных торических систем на любой поверхности: любая циклически сильная исключительная торическая система есть циклически сильная исключительная аугментация. Изучался вопрос о поведении размерности Рукье производной категории при тензорном перемножении алгебр. Для этого была вычислена размерность Рукье производной категории конечно порождённых модулей над n-ой тензорной степенью алгебры путей в линейном колчане типа A_m при малых m, n. Во всех случаях оказалось, что она равна целой части дробной размерности Серра той же категории, которая равна n(m-1)/(m+1). Отметим, что эти вычисления подтверждают наблюдение: размерность Рукье произведения не менее суммы размерностей сомножителей, причём может быть строго больше. Был описан полный исключительный набор на грассманиане Кэли, который параметризует подалгебры размерности 4 в комплексных октонионах.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Производные некоммутативные многообразия обладают различными свойствами, которыми обладают и обычные коммутативные многообразия. В частности, гладкие компактные многообразия имеют функтор Серра, который осуществляет двойственность для морфизмов между объектами. В коммутативном случае данный функтор имеет дополнительные свойства связанные с тем, что он является подкруткой на линейное расслоение, которое является каноническим классом. Среди некоммутативных многообразий также имеются те, для которых функтор Серра имеет аналогичные свойства и является (квази)унипотентными на категории совершенных комплексов. В текущем 2021 году изучались такие некоммутативные многообразия, которые в плане функтора Серра близки к поверхностям дель Пеццо. В частности, изучались такие некоммутативные поверхности, которые имеют исключительные трехблочные наборы. Условие на унипотентность функтора Серра влечет в этой ситуации, что морфизмы между блоками исключительных объектов удовлетворяют обобщенным уравнениям Маркова. Данные некоммутативные многообразия также естественным образом возникают в квантовых теориях поля, которые связаны с некоммутативными сигма-моделями и моделями Ландау-Гинзбурга. Оказалось, что все возможные обобщенные уравнения Маркова, которые возникают таким образом, можно полностью описать. Среди них появляются все возможные уравнения Маркова, которые возникают на обычных коммутативных поверхностях дель Пеццо и их некоммутативных деформациях. Однако среди этих уравнений появляются и новые ранее неизвестные в коммутативной геометрии уравнения типа Маркова. Каждому такому обобщенному уравнению Маркова можно сопоставить категории представлений соответствующих колчанов, которые будут задавать новые некоммутативные многообразия близкие по свойствам к поверхностям дель Пеццо. В данном году были исследованы и описаны все получающиеся описанным выше образом обобщенные уравнения типа Маркова. Было показано, что все они имеют один из четырех типов и получаются из базовых уравнений типа Маркова по некоторой канонической процедуре. Был получен полный конечный список всех неприводимых обобщенных уравнений типа Маркова, а также описаны все приводимые уравнения, которые получаются естественными заменами переменных. Используя данные обобщенные уравнения Маркова, были рассмотрены соответствующие им колчанные алгебры и производные категории их представлений. Эти производные категории эквивалентны производным категориям когерентных пучков на поверхностях дель Пеццо и их некоммутативных деформациях в случае, когда уравнения типа Маркова соответствуют исключительным наборам на данных поверхностях дель Пеццо. С другой стороны, для остальных уравнений типа Маркова получаются новые ранее неизвестные категории, которые нужно интерпретировать как категории когерентных пучков на некоммутативных поверхностях дель Пеццо, у которых нет коммутативного классического предела. Изучены линейные над базой полуортогональные разложения производных категорий гладких расслений на трехмерные многообразия Фано с относительным числом Пикара 1, описаны их компоненты Гриффитса, установлена их связь с известными критериями рациональности над базой расслений на трехмерные многообразия Фано. Построена категория ядерных модулей над собственной ДГ алгеброй, которая в частном случае дает построенную Клаузеном и Шольце категорию ядерных модулей на формальной схеме. Получено описание внутреннего Hom из локально собственной дуализируемой ДГ категории в произвольную дуализируюмую ДГ категорию. Изучены свойства данного внутреннего Hom, а также тесно связанного с ним обратного предела в категории дуализируемых ДГ категорий. Опровергнуты аналоги гипотезы о конечностной размерности для гладких и для собственных ДГ алгебр. Построен пример собственной ДГ алгебры, для которой левый ортогонал к совершенным комплексам не равен нулю, причем содержит ненулевые ДГ модули с конечномерными когомологиями. Сформулирована гипотеза о способе выбора подмножества объектов из полного исключительного набора Кузнецова–Полищука–Фонарева на лагранжевых грассманианах таким образом, что они образуют первый блок полного лефшецева исключительного набора, вычетная категория которого порождена полностью ортогональным исключительным набором. Гипотеза была доказана для всех лагранжевых грассманианов размерности не превосходящей 36. Показано, что проективные компактификации лог-Калаби-Яу моделей Ландау-Гинзбурга гивенталевского типа для накрытий Фано проективных пространств, имеющих индекс Фано 1, имеют особенность в слое над бесконечностью, если индекс накрытия больше двух. Более точно, они имеют изолированную циклическую факторособенность; порядок группы, по которой берется фактор, на единицу меньше, чем индекс накрытия. Было показано, что для таких компактификаций выполнены следующие две гипотезы. Во-первых, было показано, что двойственный граф пересечения слоя над бесконечностью (который не зависит от конкретной компактификации) гомотопен сфере, размерность которой равна комплексной размерности слоя. Во-вторых, было показано, что число компонент слоя над бесконечностью равно размерности антиканонической линейной системы. Ожидается, что эти два утверждения выполнены в большей общности. Найдено корректное определение многообразия модулей специальных циклов Бора–Зоммерфельда в алгебраических многообразиях. Показано, что это определение согласовано с определением стабильной компоненты многообразия модулей D-точных лагранжевых циклов. Найден новый подход к гипотезе Элиашберга о гомологической нетривиальности гладких точных лагранжевых подмногообразий в многообразиях Вейнстейна. В последние два десятилетия были введены несколько различных понятий размерности для триангулированных категорий. Во многих интересных с точки зрения алгебры и геометрии случаях вычисление размерностей производных категорий модулей/когерентных пучков — нетривиальная задача. В отчётном году нами были вычислены размерности производных категорий в двух случаях. Во-первых, было показано, что размерность в смысле Рукье для производной категории когерентных пучков на орбифолдных проективных прямых равна единице. Наши вычисления подтверждают общее ожидание того, что размерность производной категории для гладкого многообразия или стека равна его размерности. Во-вторых, была вычислена размерность в смысле Серра для категории совершенных комплексов над градуированной алгеброй путей в n-колчане Кронекера: колчана с двумя вершинам и n параллельными стрелками, которые снабжены градуировкой. Верхняя и нижняя размерность в смысле Серра определяются как скорости движения влево левой и правой границ комплекса бимодулей, задающего положительные итерации функтора Серра, относительно количества итераций. Нами были явно вычислены эти комплексы бимодулей для градуированных n-колчанов Кронекера и с помощью этого посчитана верхняя и нижняя размерности Серра. Если w — разница между наибольшей и наименьшей степенями стрелок, то верхняя и нижняя размерности Серра категории совершенных комплексов над градуированным n-колчаном Кронекера равны 1+w и 1-w соответственно. Были описаны геометрические свойства необщих грассманианов Кэли, содержащих пятимерное многообразие Кюхле типа с5.