Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Для каждой бинарной группы многогранника G явно указано счетное множество таких целых положительных чисел d, что существует однородное полиномиальное самосжатие степени d естественного линейного действия группы G на аффинной плоскости, спускающееся до нетривиального самосжатия определяемой группой G группы автоморфизмов проективной прямой. Метод доказательства позволяет находить все указанные самосжатия эффективно. Для любого положительного целого d и любого эффективного линейного действия конечной группы H доказано существование нетривиального однородного полиномиального самосжатия степени, равной произведению d и числа элементов в H. Доказано, что всякое имеющее неподвижную точку эффективное рациональное n-мерное действие конечной группы G получается нетривиальной заменой базы из некоторого n-мерного линейного действия этой группы. Доказано, что в случае абелевой группы G в качестве такого линейного действия можно взять одно из нескольких стандартных, причем оно зависит лишь от инвариантных множителей группы G. Доказано, что эффективные рациональные действия конечных циклических групп получаются нетривиальной заменой базы из неcкольких (явно указанных) стандартных линейных действий. Доказано, что естественный гомоморфизм из кольца Гротендика многообразий в эквивариантное кольцо Гротендика многообразий с действиями конечных групп ком-мутирует с выделенными конечно-определенными степенными структурами на данных кольцах. Из этого выведена гипотеза Галкина–Шиндера, выражающая мотивную дзета-функцию многообразия через его категорную дзета-функцию. При этом существенно использовалась формула, выражающая одну лямбда-структуру в терминах другой лямбда-струкутуры при условии, что они соответствуют одной и той же конечно-определенной степенной структуре. Более того, гипотеза Галкина–Шиндера доказана в усиленном вари-анте, а именно, соответствующее равенство было поднято до эквивариантного кольца Гро-тендика с кольца Гротендика геометрических dg-категорий. Получена классификация вырождений и решеток Пикара кэлеровых К3-поверх-ностей с симплектической группой автоморфизмов, изоморфной либо группе перестановок трех элементов, либо циклической группе порядка 4. В результате полученной классификации для группы перестановок трех элементов описано порядка 200 различных случаев вырождений, порядка 200 различных случаев решеток Пикара и порядка 20 различных случаев, когда при достаточно сильном вырождении группа подстановок из трех элементов увеличивается до больших групп, все из которых явно описаны. В случае циклической группы порядка 4 описано порядка 140 различных случаев вырождений, порядка 140 различных случаев решеток Пикара и около 55 различных случаев подскока цикли-ческой группы порядка 4 до больших групп, все из которых явно также описаны. Получена полная классификация ростков конечных морфизмов гладких поверхностей с точностью до гладких деформаций, сохраняющих типы особых точек ростков кривых ветвления в случае, когда локальная степень накрытия меньше 5. Найдены ко-представления фундаментальных групп дополнений к росткам кривых, найдены ветвления этих ростков накрытий, а также описаны гомоморфизмы монодромии и локальные группы монодромии этих ростков. Изучены группы автоморфизмов поверхностей дель Пеццо над алгебраически не-замкнутыми полями характеристики нуль, не имеющих точек над полем определения. Показано, что для кубической поверхности, не имеющей точек над полем определения, группа автоморфизмов имеет нечетный порядок. В качестве следствия доказано, что слабая константа Жордана для группы автоморфизмов такой поверхности не превосходит 3. Более того, эта оценка является точной для подходящих полей. В случае поверхностей дель Пеццо степени 2 и 4, не имеющих точек над полем определения, получены оценки на константы Жордана для групп автоморфизмов. Для поверхностей дель Пеццо степени 5 и выше показано, что все типы таких поверхностей реализуются над всеми конечными полями. Существование над конечными полями различных типов поверхностей дель Пеццо степени 4, 3 и 2 сведено к исследованию поверхностей дель Пеццо степени 2 определенных типов. Для получившихся типов поверхностей дель Пеццо степени 2 получены ограничения на количество эле-ментов конечного поля, над которыми реализуются соответствующие поверхности. На арифметической поверхности, то есть на целой нормальной двумерной схеме с проективным и сюръективным структурным отображением в спектр кольца целых чисел, явно описана двойственность Гротендика–Серра для локально свободных пучков при помощи адельных методов и двумерных локальных полей. Полученное адельное описание двойственности Гротендика–Серра затем применено к построению тэта-инвариантов на арифметической поверхности, обобщающих известные ранее тэта-инварианты для арифметических кривых. Построен p-адический аналог отображения Блоха для p-адически полных колец, снабженных дельта-структурой, определенный на p-адическом пополненнии K-группы Милнора степени n и принимающий значения в некоторой факторгруппе p-адически по-полненных дифференциальных форм степени n-1. Доказано, что при условии слабой 5-стабильности относительный вариант p-адического отображения Блоха является изоморфизмом для кольца формальных степенных рядов от одной переменной. Ссылки на информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=8831&option_lang=rus http://mr.crossref.org/iPage?doi=10.1070%2FIM8831 https://journals.eco-vector.com/0869-5652/article/view/15951 https://link.springer.com/article/10.1134%2FS1064562419040197

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Рассматривалось эффективное действие ρ конечной группы G бирациональными автоморфизмами неприводимого алгебраического многообразия X над алгебраически замкнутым полем k нулевой характеристики. Пусть rdim(G) минимум размерностей точных линейных представлений группы G над k. Доказано, что (i) если ρ имеет неподвижную точку, то число n, равное размерности многообразия X, больше или равно числа rdim(G); (ii) если число n больше, чем rdim(G), то ρ сжимаемо в эффективное рациональное действие меньшей размерности; (iii) если G обладает точным n-мерным линейным представлением λ над k, то либо ρ сжимаемо в эффективное рациональное действие меньшей размерности, либо ρ получается нетривиальной заменой базы из λ. Когда X---плоскость, а G является абелевой группой ранга 2, это применяется к доказательству следующих утверждений. (i) Если либо порядок группы G не равен 4, либо порядок группы G равен 4 и ρ имеет неподвижную точку, то ρ получается нетривиальной заменой базы из линейного действия группы G на аффинной плоскости, задаваемого гомоморфизмом группы G в полную линейную группу порядка 2 над полем k, таким что образ этого гомоморфизма состоит из диагональных матриц diag (t, r) с условием, что m-ая степень элемента t и l-ая степень элемента r равны 1, где m, l---инвариантные множители группы G; в этих случаях ρ несжимаемо в рациональное действие меньшей размерности. (ii) Если порядок группы G равен 4 и ρ не имеет неподвижной точки, то ρ получается заменой базы из действия группы G на проективной прямой, то есть из гомоморфизма группы G в группу Кремоны ранга 1, при котором образ группы G порожден элементами σ, τ, определенными формулами σ ∙ (a : b) = (a : − b) и τ ∙ (a : b) = (b : a). В частности, любая конечная абелева подгруппа ранга 2 в группе Кремоны ранга 2 над полем k допускает нетривиальное сжатие. Еще одно применение касается неабелевых конечных подгрупп G в группе Кремоны ранга 2 над полем k: доказано, что если G не диэдральна и допускает точное двумерное линейное представление λ, то ρ получается из λ нетривиальной заменой базы. Показано, что эндоморфизм кольца Гротендика многообразий с действием конечной группы, заданный расширенным фактором, сохраняет степенную структуру, заданную дзета-функцией Капранова. Были частично классифицированы вырождения и решетки Пикара кэлеровых К3-поверхностей с симплектической группой автоморфизмов, изоморфной прямому произведению двух групп порядка 2. Были описаны около 350 случаев вырождений кэлеровых К3-поверхностей с симплектической группой автоморфизмов, изоморфной прямому произведению двух групп порядка 2. Описанные случаи соответствуют решеткам Нимейера N_k, где натуральное число k больше 18 и меньше 24. Также отметим, что для симплектической группы автоморфизмов, изоморфной прямому произведению двух групп порядка 2, имеются вырождения коразмерности 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Было доказано, что любой росток конечного морфизма гладких поверхностей может быть задан двумя рациональными функциями с коэффициентами, принадлежащими алгебраическому замыканию поля рациональных чисел. Было определено и исследованы свойства отображения из множества жестких ростков конечных морфизмов, разветвленных в ростках кривых, имеющих ADE типы особенностей, в множество рациональных функций Белого. В частности, было доказано, что ограничение этого отображения на множество жестких ростков конечных морфизмов гладких поверхностей с ростком кривой ветвления, имеющего тип особенности D_4, является сюръективным отображением. Доказано, что группа автоморфизмов любой гладкой кубической поверхности, определенной над полем характеристики нуль и не имеющей точек над этим полем, абелева. С другой стороны, любая конечная подгруппа в группе бирациональных автоморфизмов такой поверхности либо абелева, либо имеет нормальную абелеву подгруппу индекса не больше 3, причем существуют такие поля и гладкие кубические поверхности над ними, что для некоторых конечных подгрупп в группе бирациональных автоморфизмов реализуется последняя возможность. Другими словами, константа Жордана группы бирациональных автоморфизмов гладкой кубической поверхности без точек над полем характеристики нуль не превосходит 3, и для некоторых поверхностей она равна 3. Для каждого типа поверхностей дель Пеццо степени 2 и выше получен полный ответ на вопрос о том, над какими конечными полями этот тип может быть реализован, а над какими нет. Для поверхностей дель Пеццо степени 1 проанализированы методы исследования, применявшиеся к поверхностям дель Пеццо степени не меньше 2, и обозначены проблемы, возникающие при попытке применения этих методов. Большинство из этих методов не работают. Была исследована K- группа Милнора степени n+1 от алгебры n раз итерированных рядов Лорана над произвольным коммутативным кольцом и получено обобщение универсального свойства для n-мерного символа Конту-Каррера и коммутативных групповых схем с некоторыми условиями. Обобщение универсального свойства для многомерного символа Конту-Каррера состоит в следующем. Зафиксируем коммутативное кольцо R, которое не имеет кручения как абелева группа. Пусть G является конечно представимой квазипроективной гладкой коммутативной групповой схемой над кольцом R. Тогда любой морфизм групповых функторов из K-группы Милнора степени n+1 от n раз итерированных рядов Лорана над алгебрами над кольцом R в коммутативную групповую схему G однозначно пропускается через n-мерный символ Конту-Каррера. Это влечет следующее следствие. Пусть существует вложение кольца R в коммутативное кольцо S, такое что для любой замкнутой точки из схемы Spec(S) ограничение коммутативной групповой схемы G на эту точку является групповой схемой с тривиальной группой кохарактеров. Тогда любой морфизм групповых функторов из K-группы Милнора степени n+1 от n раз итерированных рядов Лорана над алгебрами над кольцом R в коммутативную групповую схему G является тривиальным морфизмом. В частности, это выполнено, если вышеописанные ограничения коммутативной групповой схемы G на точки являются расширениями абелевых многообразий унипотентными группами. Было доказано существование p-адического отображения Блоха из n+1-ой группы Милнора p-адически полного дельта-кольца R в факторгруппу производного р-адического пополнения модуля дифференциальных n-форм по образу дифференциала де Рама. Было доказано, что при условии слабой 5-стабильности относительный вариант этого отображения является изоморфизмом для случая свободного расщепимого нильпотентного расширения p-адически полного дельта-кольца S для n=2. Ссылки на информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=9315&option_lang=rus https://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=sm&paper_id=4889 http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ffa&paperid=3&option_lang=rus https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S1071579720301106?via%3Dihub http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=12809&option_lang=rus http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=12907&option_lang=rus https://link.springer.com/article/10.1134/S0001434620090266 http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9948&option_lang=rus https://www.turpion.org/php/paper.phtml?journal_id=rm&paper_id=5219

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Исследована вложимость конечных групп в группы Кремоны, а также вложимость групп Кремоны в другие группы. В случае достаточно большого числа сомножителей доказана невложимость в заданную жорданову группу прямого произведения конечного множества групп, каждая из которых содержит неабелеву конечную подгруппу. Для любого рационально связного алгебраического многообразия и любого простого числа p доказано существование конечной неабелевой p-группы, не вложимой в группу бирациональных автоморфизмов этого многообразия, в частности, для каждой группы Кремоны С доказано существование не вложимой в С конечной неабелевой p-группы. Получен критерий вложимости друг в друга разных групп Кремоны, а также групп автоморфизмов разных аффинных пространств. Найден критерий существования непрерывного эпиморфизма одной группы Кремоны в другую. Доказано несуществование вложения группы Кремоны ранга n в группу гомеоморфизмов связного топологического многообразия, если n превосходит явно указанную константу, зависящую только от размерности и чисел Бетти этого многообразия. Классифицированы такие связные аффинные алгебраические группы, что каждое снабженное регулярным действием этой группы алгебраическое многообразие содержит только конечное число орбит, если одна из них открыта. Получена характеризация указанных групп в терминах модальности действий в смысле В. И. Арнольда. Была рассмотрена классификация вырождений и решеток Пикара кэлеровых К3-поверхностей с симплектической группой автоморфизмов, изоморфной прямому произведению двух групп порядка 2. Рассматривались оставшиеся случаи. В терминах гомоморфизма монодромии рациональной функции Белого и в терминах графа разрешения особой точки ростка кривой ветвления жесткого ростка конечного морфизма гладких поверхностей были найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы этот жесткий росток конечного морфизма отображался в данную рациональную функцию Белого при отображении, полученном в 2020 году в ходе работы над проектом. Кроме того, был получен полный список пар функций, задающих жесткие ростки конечных морфизмов, которые отображаются в функции Белого w=z^n, а также для каждой рациональной функции Белого найден алгоритм восстановления пар функций, задающих ростки конечных морфизмов с ветвлением в ростке кривой, имеющей тип особенности D_4, и отображающихся в данную функцию Белого. Были получены оценки на константы Жордана групп автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени 2 и 4, не имеющих точек над полем определения. В частности, для поверхностей дель Пеццо степени 2 типа III по классификации Долгачева--Исковских было показано, что такая поверхность не имеет автоморфизмов порядка 3, если на ней нет точек над полем определения; отсюда было выведено, что константа Жордана группы автоморфизмов такой поверхности не превосходит 6. Был построен пример поверхности дель Пеццо степени 2 типа II по классификации Долгачева--Исковских над полем вещественных чисел, не имеющей вещественных точек и допускающей действие конечной группы с константой Жордана 6. Также был построен пример поверхности дель Пеццо степени 4 над полем вещественных чисел, не имеющей вещественных точек и допускающей действие конечной группы с константой Жордана 2. Для относительно минимальных расслоений на коники над проективной прямой с 7 геометрическими вырожденными слоями показано, что они могут иметь один из 5 видов. Показано, что один из этих видов не реализуется над конечными полями. Для других видов построены линки Саркисова, перестраивающие такие расслоения в поверхность дель Пеццо степени 1. Показано, что для семи типов поверхностей дель Пеццо степени 1 со структурой относительно минимального расслоения на коники два реализуются над любыми конечными полями, а другие пять реализуются над полями, в которых больше 10 элементов. В некоторых случаях явно показано, что поверхность дель Пеццо не реализуется над конечным полем. Изучался трехмерный символа Конту-Каррера над артиновыми локальными кольцами. Были получены новые целочисленные явные формулы для трехмерного символа Конту-Каррера. Данные формулы также можно проинтерпретировать как следующее утверждение: знаменатели в коэффициентах в рядах для логарифма и экспоненты в формуле для трехмерного символа Конту-Каррера над артиновыми алгебрами над полем рациональных чисел сократятся. Была построена функция Блоха--Вигнера--Артина--Хассе, представляющая собой p-адический аналог комлексной функции Блоха--Вигнера для комплекса Блоха--Суслина. Была обобщена конструкция бар-комплекса для dg-алгебры при помощи определения бар-комплекса, ассоциированного с дифференциально градуированным модулем над такой алгеброй. Было показано, что эта конструкция определяет функтор из категории унипотентных модулей над dg-алгеброй в категорию унипотентных комодулей над алгеброй Хопфа нулевых когомологий бар-комплекса соответствующей dg-алгебры, который является эквивалентностью категорий. Этот результат является естественным обобщением теоремы Чена, так как в силу классического соответствия Римана--Гильберта категория унипотентных представлений фундаментальной группы гладкого многообразия совпадает с категорией унипотентных комодулей над коалгеброй де Рама. Рассматривалась классическая проблема Стинрода о реализации циклов. Для каждого натурального n был построен пример целочисленного класса гомологий x размерности n такого, что минимальная кратность, с которой класс x реализуется гладким замкнутым стабильно комплексным многообразием, равна ([n-1]/2)!. Полученная нижняя оценка на кратность реализации циклов в логарифмической шкале асимптотически совпадет с верхней оценкой, полученной независимо В.М. Бухштабером и Г. Брамфилем в 1969–1971г.г. Таким образом, в логарифмической шкале найдено точное асимптотическое поведение кратности реализации циклов. В размерностях меньше 24 найдено точное значение кратности, с которой целочисленный класс гомологий может быть реализован непрерывным образом гладкого замкнутого ориентированного многообразия, а именно наибольший нечетный делитель числа ([n-1]/2)!. Ссылки на информационные ресурсы в сети Интернет (url-адреса), посвященные проекту: http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=8935 http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?&personid=8935&option_lang=eng https://www.researchgate.net/profile/Vladimir-Popov-17/research http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=30752 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=30137 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=30732 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=30728 http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=30729 https://www.youtube.com/watch?v=0SbHB9h8e7w https://www.lektorium.tv/node/39134