Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Проведено подробное исследование кэлеровой геометрии трех классов однородных бесконечномерных комплексных многообразий, а именно, пространств петель компактных групп Ли, бесконечномерных грассмановых многообразий и универсального пространства Тейхмюллера. Эти результаты применяются к теории струн. В задаче о полях Янга-Миллса на четырехмерном евклидовом пространстве (с компактной полупростой группой G) изучены уравнения на отображение двумерной сферы в группу петель LG группы G, которые индуцируются уравнениями Янга-Миллса после продолжения на четырехмерную сферу S^4, перехода к прямому произведению двумерной сферы со сферической метрикой и двумерного диска со стандартной гиперболической метрикой, введения скалярного множителя перед слагаемым в метрике указанного произведения, которое соответствует метрике на диске, формального предельного перехода при стремлении введенного множителя к нулю и проекции из пространства плоских G-связностей на диске в факторпространство, представляющее собой группу петель LG. Показано, что при рассмотрении на группе петель LG стандартной метрики, порождаемой формой Киллинга на группе G, полученные уравнения на отображение сферы в группу LG совпадают с уравнениями гармоничности указанного отображения. Исследовались (локально определенные) биголоморфные отображения комплексного линейного пространства, переводящие части комплексных прямых из некоторых семейств, лежащие в области определения, снова в комплексные прямые. Рассматриваемые семейства включают в себя все прямые, проходящие в определенных направлениях. Показано, что если множество этих направлений достаточно велико, то соответствующее отображение может быть определено глобально и является рациональным. В случае размерности 3 результат уточнен: либо указанное множество направлений конечно, либо почти все они параллельны одной и той же гиперплоскости, либо f рационально. При этом если множество направлений не является коникой, то f проективно. В качестве приложения показано, что локально биголоморфное отображение между двумя гладкими псевдовыпуклыми трубчатыми гиперповерхностями в C^3, форма Леви которых имеет ровно одно нулевое собственное значение, должно быть аффинным, если хотя бы одна из гипервоверхностей не является трубкой над конусом и множество нулевых собственных направлений ее формы Леви не лежит на квадрике. Построена серия новых изотопических типов максимальных вещественных алгебраических и псевдоголоморфных М-кривых степени 9 на проективной плоскости. В частности, впервые найдены М-кривые 9-й степени с тремя гнездами, в двух из которых лежит четное число овалов, что является контрпримером к известной гипотезе, сформулированной А.Б.Корчагиным более 30 лет назад. Разработан новый тест на квазиположительность для кос из четырех нитей, основанный на ранее доказанной С.Ю.Оревковым теореме о том, что действие Гурвица на квазиположительных разложениях кос из трех нитей имеет конечное число орбит. Доказана конечность орбит действия Гурвица в тех случаях, в которых ранее была решена проблема алгоритмического распознавания квазиположительных кос. Показано, что класс всех функций конечной аналитической сложности, зависящих от двух и более переменных, не замкнут относительно операции интегрирования. Для случая трех и большего числа переменных приведены конкретные примеры функций конечной аналитической сложности, первообразные которых имеют бесконечную аналитическую сложность. Установлено, что класс всех функций бесконечной аналитической сложности, зависящих от двух и более переменных, не замкнут относительно операции дифференцирования. Известный результат И.Шура о граничном поведении последовательности подходящих дробей с четными номерами непрерывной дроби Шура с параметрами, по модулю меньшими 1 и такими, что сумма их модулей ограничена, дополнен утверждением о том, что при замене условия ограниченности суммы модулей параметров значительно более слабым условием их сходимости к нулю существуют пределы f и f^* последовательностей подходящих дробей с четными и нечетными номерами соответственно, где функции f и f^* не допускают мероморфного продолжения друг в друга ни через какую сколь угодно малую дугу единичной окружности. Введена в рассмотрение полиномиальная m-система Эрмита-Паде, состоящая из m наборов полиномов, построенных по данному аналитическому ростку f_0. (Наборы нумеруются натуральным числом 0<k<m+1 и называются k-ми полиномами m-системы Эрмита-Паде.) При этом классические полиномы Эрмита-Паде 1-го и 2-го типов включаются во введенную систему, как «крайние» наборы полиномов: при k=m и к=1 соответственно. Предполагается, что в случае, когда f_0 - росток m+1-листной алгебраической функции f, с помощью m-системы Эрмита-Паде будут эффективно восстанавливаться значения f на всех листах наттолловского разбиения ее римановой поверхности, кроме последнего. Это удалось продемонстрировать для некоторого класса 4-листных алгебраических функций f. Новый подход к исследованию предельного распределения нулей полиномов Эрмита-Паде для пары функций, образующих систему Никишина, предложенный в 2018 году, обобщен на более широкий класс функций. Решение даётся в терминах теоретико-потенциальной задачи нового типа, поставленной на гиперэллиптической римановой поверхности. Данная задача сформулирована для частного случая нового класса ядер, введенного Е. М. Чиркой в 2018-2019 годах. Слабая сходимость соответствующих считающих мер устанавливается с помощью GRS-метода. Единственность решения поставленной теоретико-потенциальной задачи показывается с помощью теоремы Е.М.Чирки о позитивности интеграла энергии на нейтральных зарядах. В некотором вполне естественном классе многозначных аналитических функций доказана эквивалентность новой скалярной и традиционной векторной задач равновесия.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В задаче о полях Янга-Миллса на четырехмерном евклидовом пространстве с унитарной группой U(n) изучался подход, использующий параметризацию четырехмерной сферы, полученную С.Джарвисом и П.Норбюри. Указанная параметризация по существу превращает сферу в прямое произведение двумерной сферы и диска, причем метрика на нем конформно эквивалентна метрике прямого произведения. Это обстоятельство позволяет применить метод адиабатического предела, рассмотрев деформацию метрики путем добавления положительного скалярного множителя, стремящегося к нулю, в часть метрики, соответствующую диску. Джарвис и Норбюри предложили способ построить по данной связности на четырехмерной сфере отображение из двумерной сферы в пространство петель унитарной группы U(n). При малых значениях указанного скалярного параметра решение уравнений Янга-Миллса на прямом произведении двумерной сферы и диска с деформированной метрикой ищется как возмущение семейства плоских связностей на дисках, построенного по найденному отображению в пространство петель. Вопрос о нахождении решения при малых значениях указанного скалярного параметра сведен к вопросу о наличии коэрцитивных оценок для дифференциального оператора, определяемого членами первого порядка в уравнениях на возмущение указанного выше семейства. Построено соответствие между G-полями Янга-Миллса на 4-мерной евклидовой сфере и гармоническими отображениями римановой сферы в пространство петель \Omega(G), свободное от калибровочного произвола. Конструкция указанного соответствия основана на параметризации Джарвиса-Норбюри и процедуре адиабатического предела. Начата работа по математической интерпретации теории топологических изоляторов, инвариантных относительно обращения времени, опирающаяся на методы K-теории и некоммутативной геометрии. Полностью исследован вопрос о голоморфных отображениях между гладкими псевдовыпуклыми трубчатыми гиперповерхностями в C^3, форма Леви которых имеет ровно одно нулевое собственное значение. Показано, что либо 2-невырожденная вырожденная по Леви трубчатая гиперповерхность в C^3 аффинно эквивалентна части модельной гиперповерхности, являющейся трубой над световым конусом (границей конуса будущего), и тогда CR-отображения между такими поверхностями, с точностью до аффинных преобразований, сводятся к матрично дробно-линейным автоморфизмам модельной поверхности, либо CR-диффеоморфизм рассматриваемых гиперповерхностей должен быть линейным. Доказательство опирается на установленный в 2019 г. локальный голоморфный вариант фундаментальной теоремы проективной геометрии. Завершена классификация изотопических типов максимальных вещественных алгебраических кривых степени 9 на проективной плоскости с четырьмя гнездами. Доказано, что связная сумма зацеплений в трехмерной сфере квазиположительна тогда и только тогда, когда квазиположительно каждое из них. Построены примеры неквазиположительных С-границ и сильных С-границ, а также описаны все С-границы и сильные С-границы, допускающие проекцию с не более, чем пятью пересечениями. Построены примеры аналитических функций любой наперед заданной конечной аналитической сложности n. Найдены примеры многочленов любой наперед заданной конечной аналитической сложности n. Получена оценка дифференциального порядка дифференциально-алгебраических критериев принадлежности классу Cl_{n} функций аналитической сложности не выше n. Получены равномерные оценки конечных значений d_{n} аналитического спектра {d_{n}} для систем дифференциально-алгебраических уравнений фиксированного дифференциального порядка. Доказана теорема о сходимости предельно периодической непрерывной дроби Шура. Как следствие доказанной теоремы показано, что если параметры непрерывной дроби Шура стремятся к нулю, то функции, к которым сходятся внутри единичного круга подходящие дроби с четными номерами и вне единичного круга подходящие дроби с нечетными номерами, не допускают мероморфного продолжения друг в друга ни через какую дугу единичной окружности. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых для заданного ряда Ньютона, построенного по бесконечной последовательности точек e_1, e_2,… единичного круга, существует функция, голоморфная в единичном круге, принимающая значения, по модулю, не превосходящие единицы, и интерполирующая (n-1)-ю частичную сумму ряда Ньютона в точках e_1,…, e_n с учетом кратностей, n=1,2,… В случае, когда ряд Ньютона является формальным степенным рядом, т.е. когда все точки e_1, e_2,… равны нулю, полученный критерий совпадает с классическим критерием Шура. Получены следующие результаты об асимптотическом поведении полиномов m-системы Эрмита-Паде, построенной по ростку f_0 (m+1)-листной алгебраической функции f, в предположении, что сумма значений функции f на первых k листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности не обращается в тождественный нуль ни в какой окрестности: 1) показано, что отношения некоторых k-х полиномов m-системы Эрмита-Паде сходятся к сумме значений функции f на первых k листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы; 2) оценена скорость сходимости указанных рациональных аппроксимаций; 3) в качестве следствия получен способ эффективного восстановления значений f на всех наттолловских листах ее римановой поверхности, кроме «последнего». Разработана схема применения GRS-метода к новому классу ядер, являющихся частным случаем обобщённых симметричных ядер на римановой поверхности, введённых Е. М. Чиркой для определённых нормировок. Тем самым, в виду эквивалентности векторной и скалярной задачи равновесия для пары функций, образующих систему Никишина, для изучаемого класса функций построен скалярный метод исследования предельных мер полиномов Эрмита-Паде Q_{n,2}. Намечена схема доказательства того, что предельная мера полинома Q_{n,1} совпадает с предельной мерой полинома Q_{n,2}. Она основана на модификации доказательства для плоского случая на случай римановой поверхности. В достаточно характерном классе четырехзначных аналитических функций, основанном на обратной функции Жуковского, проведен сравнительный анализ эффективного решения задачи аналитического продолжения заданного ростка с помощью квадратичных аппроксимаций Шафера и с помощью рациональных функций, построенных явным образом по полиномам Эрмита-Паде первого рода. Доказано, что восстановление заданного ростка с помощью рациональных функций, построенных на основе полиномов Эрмита-Паде, имеет неоспоримые преимущества перед методом, основанным на использовании квадратичных аппроксимаций Шафера. Доказательство этого результата в существенной степени опирается на установленную ранее эквивалентность скалярной и векторной задач равновесия для пары функций, образующих систему Никишина. Получено асимптотическое представление квадратичных аппроксимаций Шафера в терминах, связанных с решением надлежащей краевой задачи Римана-Гильберта, поставленной на трехлистной римановой поверхности. Для явного представления решения этой краевой задачи через граничные условия использовано надлежащим образом модифицированное ядро Вейерштрасса, определенное на римановой поверхности. Изучена структура наттолловского разбиения на листы для некоторого класса четырехлистных римановых поверхностей многозначных функций, порожденных обратной функцией Жуковского. Показано, что в таком классе четырехлистных римановых поверхностей наттолловское разбиение устроено так, что граница между первым и вторым листами этой поверхности вполне характеризуется в терминах экстремальной задачи, поставленной на надлежащей двулистной римановой поверхности.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Рассмотрены топологические диэлектрики, инвариантные относительно обращения времени. Дана математическая интерпретация указанных диэлектриков в терминах кватернионной K-теории и некоммутативной геометрии. Определяется Z_2-индекс, равный четности числа нулевых мод Майорана в неподвижных точках инволюции, и его топологический аналог. Рассмотрены эрмитовы уравнения Янга-Миллса, являющиеся многомерным обобщением уравнений дуальности, описывающих инстантоны. Эти уравнения играют важную роль в дифференциальной и алгебраической геометрии и имеют интересные приложения в теории групп петель и вопросах продолжения CR-структур. Новым обобщением эрмитовых уравнений Янга-Миллса являются деформированные эрмитовы уравнения Янга-Миллса, возникшие в работах Яу с соавторами по теории струн. Они также имеют важные приложения в дифференциальной и алгебраической геометрии. Пусть E есть голоморфное векторное расслоение над строго псевдовыпуклой областью D в n-мерном комплексном пространстве. Тогда на ограничении E на границу области D имеется CR-структура, задаваемая граничным CR-оператором со значениями в E. Показано, что эта CR-структура продолжается до эрмитовой связности Янга-Миллса в расслоении E над D тогда и только тогда, когда указанный CR-оператор голоморфно тривиален. В задаче о полях Янга-Миллса на четырехмерном евклидовом пространстве с унитарной группой G=U(n) продолжалось изучение подхода, использующего параметризацию четырехмерной сферы, полученную С.Джарвисом и П.Норбюри, и основанного на применении адиабатического предела. Указанная параметризация по существу превращает сферу в прямое произведение двумерной сферы и диска с метрикой прямого произведения. На данном прямом произведении рассматривается деформированная метрика, получаемая добавлением скалярного множителя в слагаемое, соответствующее метрике на диске, и этот множитель устремляется к нулю. Уравнения Янга-Миллса для деформированной метрики в пределе дают адиабатические уравнения, решение которых можно построить специальным образом по заданному гармоническому отображению двумерной сферы в группу петель группы G. В рамках проекта по указанному решению адиабатических уравнений построено семейство решений уравнений Янга-Миллса на прямом произведении двумерной сферы и диска с деформированной метрикой при достаточно малых значениях упомянутого выше скалярного множителя, полученное малым возмущением данного решения адиабатических уравнений. Указанное семейство построено с помощью модификации системы уравнений, которая позволяет исключить неопределенность, связанную с действием калибровочной группы, и применения одного из вариантов теоремы о неявной функции на выбранном подходящим образом гильбертовом пространстве. Локальная версия фундаментальной теоремы проективной геометрии использована для исследования CR-отображений и автоморфизмов невырожденных эрмитовых вещественных квадрик коразмерности выше 1 в многомерном комплексном пространстве. Анализ был основан на том соображении, что поверхности Сегре таких квадрик, инвариантные относительно биголоморфных отображений, являются плоскостями. Для стандартных эрмитовых квадрик и общих эрмитовых квадрик коразмерности 2 сформулированы условия, обеспечивающие проективность их локальных CR-автоморфизмов. Построен аналог теоремы Блума-Грэма для ростков вещественно-аналитических многообразий бесконечного типа и описан некоторый стандартный вид (приведенная форма), к которому можно преобразовать такие ростки. Дано уточнение понятия типа по Блуму-Грэму (стратифицированный тип). Показано, что стратифицированный тип также голоморфно инвариантен. Введено понятие квазимодельных поверхностей и доказана их квазилинейная эквивалентность для биголоморфно эквивалентных многообразий. Построенное квазилинейное действие на квазимодельной поверхности снабжает поверхность богатым набором CR-инвариантов. Получен критерий конечномерности алгебры Ли инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов в случае равномерно бесконечного типа (т. е. бесконечного всюду). Вместе с критерием конечномерности для многообразий, чей тип конечен почти всюду, это дает полный критерий конечномерности. Доказано, что в точке общего положения размерность алгебры инфинитезимальных голоморфных автоморфизмов может принимать лишь два значения: ноль и бесконечность. Доказано, что множества фиксированного типа по Блуму-Грэму полуаналитичны. Доказано, что тип общего положения (вне собственного аналитического подмножества) минимален. Получена нижняя оценка скорости сходимости многоточечных аппроксимаций Паде функций, голоморфно продолжаемых с компакта в объединение областей, границы которых обладают определенным свойством симметрии. Установлена нижняя оценка скорости сходимости аппроксимаций Паде в m-точечном аналоге классической теоремы Шталя. Полученные оценки смыкаются с доказанными ранее верхними оценками тех же величин. Получено описание асимптотического распределения нулей сферически нормированных многочленов, удовлетворяющих условиям ортогональности с комплексным голоморфным весом на компакте F, симметричном во внешнем поле и имеющем непустую внутреннюю дугу в каждой связной компоненте дополнения. В 2020 году было показано, что при некоторых дополнительных ограничительных условиях на алгебраическую функцию f порядка m+1 определенные отношения k-х полиномов m-системы Эрмита-Паде сходятся к сумме значений функции f на первых k листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы. В 2021 году было показано, что для указанной сходимости достаточно связности некоторой поверхности R’(k), ассоциированной с римановой поверхностью R функции f. Более того, была продемонстрирована принципиальность наличия связности поверхности R’(k) для используемого в доказательстве метода. Также было показано, что для связности всех поверхностей R’(k) при 0<k<m+1 достаточно, чтобы все точки ветвления функции f были второго порядка и над каждой точкой на сфере Римана лежало бы не более одной точки ветвления f. Отметим, что последнее условие является условием общего положения. Таким образом, в 2021 году было показано, что описанная выше сходимость отношений k-х полиномов m-системы Эрмита-Паде имеет место для функций f общего положения. Продолжено изучение предельного распределения нулей полиномов Эрмита-Паде типа I для пары функций f_1, f_2, образующих систему Никишина, в предположении, что соответствующие паре f_1, f_2 компакты E и F состоят из конечного числа вещественных отрезков, а их выпуклые оболочки не пересекаются. С использованием ряда общих фактов о преобразованиях Коши-Стилтьеса положительных борелевских мер показано, что полиномы Эрмита-Паде удовлетворяют однотипным соотношениям ортогональности, но относительно разных положительных мер. Преобразования Коши-Стилтьеса этих мер связаны между собой. Отсюда с помощью вещественного варианта GRS-метода показано, что слабая асимптотика одного полинома полностью определяется слабой асимптотикой другого полинома. А именно, слабые пределы последовательностей считающих мер нулей обоих полиномов совпадают. Рассматривался также вопрос о геометрической структуре носителя предельной меры. С помощью принципа максимума для гармонических функций на компактных римановых поверхностях доказано, что носитель этой предельной меры совпадает с компактом, на котором рассматривались условия ортогональности для полиномов Эрмита-Паде. Проводилась работа, связанная с дальнейшим развитием нового подхода к задаче конструктивного продолжения ростка многозначной аналитической функции. Этот подход основан на использовании полиномов Эрмита-Паде I типа и предполагает дальнейшее развитие нового метода изучения асимптотических свойств полиномов Эрмита-Паде, основанного на скалярной теоретико-потенциальной задаче равновесия, поставленной на римановой поверхности, а не на римановой сфере. Изучены свойства полиномов Эрмита-Паде типа I для некоторой пары функций, образующей комплексную систему Никишина. Показано, что свойство свободной интерполяции, известное для таких полиномов для случая классической системы Никишина, сохраняется и в комплексном случае. Доказано существование предельного распределения узлов свободной интерполяции и дано теоретико-потенциальное описание соответствующей предельной меры.