Аннотация результатов, полученных в 2019 году
1. Показано, что распространенная формулировка гипотезы термализации собственного состояния (ETH) не обязательно влечет термализацию (в некотором смысле) наблюдаемой изолированной квантовой системы многих тел. Чтобы получить такую термализацию, нужно постулировать ее в ETH-анзаце. Существуют векторные состояния особого вида, такие что математическое ожидание наблюдаемой в этих состояниях приблизительно равно среднему по каноническому распределению. 2. Случайная полугруппа определяется как измеримое отображение пространства с мерой в локально выпуклое пространство сильно непрерывных операторнозначных функций, значениями которого являются сильно непрерывные полугруппы. Математическое ожидание случайной полугруппы определяется поточечно интегралом Петтиса, но при этом усредненная операторнозначная функция может не быть полугруппой. Предложена процедура обобщенного усреднения случайной полугруппы, основанная на рассмотрении итераций независимых одинаково распределенных случайных полугрупп с помощью формул Фейнмана. Такой способ усреднения сохраняет полугрупповое свойство. Развитый подход представляет интерес для изучения операторов случайного сдвига на векторы бесконечномерного банахова пространства, что актуально как для изучения случайных процессов со значениями в бесконечномерных пространствах, так и для исследования регуляризаций сингулярных начально-краевых задач. Значительный интерес для изучения этих задач представляют меры на банаховых пространствах, инвариантные относительно сдвигов. Показано, что при изучении преобразований пространства функций, квадратично интегрируемых по трансляционно инвариантной мере, возникают полугруппы операторов, не являющиеся сильно непрерывными. Дано полное описание полугрупп сжимающих линейных преобразований гильбертова пространства. 3. Описан стохастический предел для квантовой частицы, взаимодействующей с квантовым бозонным полем нелинейным образом. Получены выражения для перестановочных соотношений для коллективных степеней свободы поля и частицы в стохастическом пределе (или мастер-поля), показано, что статистика таких коллективных степеней свободы становится свободной (квантовой больцмановской). Описан аналог конструкции температурного дубля в свободном случае, показано, что для двух полей температурного дубля в данной модели перестановочные соотношения будут различными. Описан свободный фоковский модуль для возникающего в данной модели квантового температурного дубля. 4. Базовой моделью для многих физических систем является набор гармонических осцилляторов. В данной работе рассматривается такой набор, взаимодействующий с окружением. Динамика небольшого количества осцилляторов, взаимодействующих с резервуаром, который быстро релаксирует к своему равновесному состоянию (это соответствует так называемому марковскому приближению), хорошо исследована и находит широкие приложения в физике. Однако, современные задачи требуют рассмотрения произвольного числа осцилляторов и резервуаров более общего вида, которые «помнят» историю взаимодействия с системой (т.е. взаимодействие с которыми выходит за рамки марковского приближения). Описание динамики такого рода систем и было проделано в данной работе. 5. Описание непрерывного распределения спинов в трехмерной среде (например, в ферромагнетике) в традиционном подходе проводится с помощью n-поля, которое является основной переменной в моделях таких сред. Особенности n-поля, если такие имеются, называются дисклинациями. При наличии одной или нескольких дисклинаций можно использовать традиционный подход, если для n-поля поставить соответствующие граничные условия. В случае большого числа дисклинаций граничные условия существенно усложняются, и решение соответствующих задач становится чрезвычайно сложным. В предельном случае непрерывного распределения дефектов традиционный подход становится неприменимым, так как n-поле имеет особенности в каждой точке и, следовательно, не существует. Для решения этой проблемы в геометрической теории дефектов вводится новая переменная – SO(3)-связность, которая имеет существенно меньше особенностей при наличии дисклинаций, чем n-поле. В тех областях среды, где дисклинации отсутствуют, кривизна равна нулю, SO(3)-связность является чистой калибровкой и выражается через частные производные поля углов поворота. При замене n-поля на поле угла поворота в геометрической теории дефектов возникает дополнительная степень свободы. Показано, что эта степень свободы является калибровочной и соответствует локальным SO(2)-вращениям вокруг n-поля. Доказано, что произвольное выражение для свободной энергии, записанное в терминах n-поля, после перехода к полю углов поворота приводит к эквивалентной калибровочной модели, которая инварианта относительно локальных SO(2)-преобразований, но тем не менее не содержит калибровочного поля. Найден явный вид калибровочных преобразований в общем виде, а также соответствующее линейное приближение. В качестве примера построена калибровочная модель ферромагнетика Гейзенберга в терминах поля угла поворота, которая имеет прямое обобщение в геометрической теории дефектов. 6. Лапласиан Леви – это среднее Чезаро n-мерных лапласианов при стремлении n к бесконечности. Предложено ковариантное определение лапласиана Леви (определение, не зависящее от выбора системы координат на бесконечномерном многообразии). Обнаружена связь между квазилинейными уравнениями теплопроводности Янга-Миллса на конечномерном многообразии и линейным уравнением теплопроводности для лапласиана Леви на бесконечномерном многообразии. А именно, теорема Аккарди-Джибилиско-Воловича об эквивалентности уравнений Янга-Миллса и уравнения Лапласа для лапласиана Леви обобщена следующим образом. Показано, что связность в конечномерном расслоении, зависящая от времени, является решением уравнений теплопроводности Янга-Миллса тогда и только, когда соответствующий поток параллельных переносов является решением теплопроводности для лапласиана Леви. 7. В рамках данного проекта проводились исследования двухмерной квантовой гравитации Джакива-Тейтелбойма (JT), а именно исследование непертурбативных эффектов связанных с вкладами от двухмерных геометрий с нетривиальными топологиями. Используя матричное представление для двухмерной JT гравитации исследовано поведение вселенных со сложной топологической структурой, так называемых “детских вселенных”. JT гравитации тесно связаны с квантовомеханической фермионной моделью Сачдева-Йе-Китаева. Для нуль-мерной версии этой модели показано наличие недиагональных квази-средним в пределе большого N. Этот эффект является аналогом спонтанного нарушение симметрии в модели Хиггса, который лежит в основе Стандартной модели элементарных частиц. 8. Проводились иследования двухмерной квантовой гравитации. Основным инструментом в данном исследовании является квантовомеханическая модель Сачдева-Йе-Китаева (SYK), которая голографически дуальна определенной двухмерной гравитационной теории. Ключевым аспектом является исследование непертурбативных эффектов в гравитационной теории, в частности вкладов от двухмерных геометрий с нетривиальными топологями. С точки зрения модели SYK эти эффекты соответствуют нетривиальным седловым точкам 1/N-разложения модели. В рамках данного проекта получены новые аналитические решения, описывающие данные эффекты, в модели SYK в пределе большого порядка взаимодействия. Важным вопросом является построение наблюдаемых в гравитационной теории, которые имеют прямую интерпретацию в терминах SYK и чувствительны к непертурбативным эффектам. В качестве первичных кандидатов на роль таких наблюдаемых исследовались голографические двухточечные корреляционные функции полей материи на фоне двухмерной геометрии с нетривиальной топологией.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
1. Показано, что с помощью аналога условий скейлинга Боголюбова–ван Хова, используемого в теории стохастического предела, можно решить проблему большого повышения температуры и излучаемой энергии испаряющихся по Хокингу черных дыр для случаев черных дыр Керра и Рейсснера–Нордстрема. Аналог условий скейлинга предполагает специальную связь массы и параметров перечисленных черных дыр. 2. Введены классы Соболева к классы гладких функций, заданных на снабженном трансляционно инвариантной мерой вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве. Получены условия вложения и плотного вложения пространства гладких функций в пространства Соболева, в случае нарушения которых обнаружен эффект М.А. Лаврентьева о различии минимумов функционалов задачи Дирихле для уравнения Пуассона на пространстве гладких функций и пространстве Соболева. Исследована сходимость последовательности композиций независимых случайных операторнозначных процессов и получены эволюционные уравнения, соответствующие предельному процессу. 3. Изучалась статистика коллективных степеней свободы для нелинейного взаимодействия квантового поля с квантовой частицей. Показано, что в пределе слабой связи такие коллективные степени свободы имеют некоторый вариант свободной статистики. Рассмотрена модель биологической эволюции как модели теории обучения, обсуждалась связь универсального скейлинга в геномике и универсальной регуляризации в рассмотренной модели обучения вида оценки для колмогоровской сложности (как в модели Ю.И.Манина для описания закона Ципфа «сложность как энергия»). 4. Использовано действие Черна-Саймонса для описания точечных дисклинаий в рамках геометрической теории дефектов. Найдена наиболее общая плоская SO(3)-связность и соответствующее распределение n-поля. Рассмотрено два примера точечных дисклинаций. 5. Лапласиан Леви – это среднее Чезаро n-мерных лапласианов при стремлении n к бесконечности. Ранее было известно об эквивалентности уравнений Янга-Миллса и уравнения Лапласа для лапласиана Леви на параллельный перенос вдоль контура. Лапласиан Леви не инвариантен относительно действия группы вращений. Это действие порождает семейство модифицированных лапласианов Леви. Доказано, что связность является инстантоном тогда и только тогда, когда порожденный связностью параллельный перенос является решением системы, состоящей из трех уравнений Лапласа для модифицированных лапласианов Леви. 6. Проводится дальнейшее исследование моделей квантовой динамики систем, обладающих памятью. Оказывается, что некоторые такие модели корректно описывают динамику открытой системы в произвольном диапазоне времён. Это связано с тем, что эти модели приближённые и те предположения, которые в них заложены, могут на некоторых временах нарушаться. Было показано, что требование корректности данных моделей на произвольных временных диапазонах приводит к вполне определённым ограничениями на коэффициенты уравнений, возникающих в рассматриваемых моделях 7. В рамках данного проекта проводились исследования двухмерной квантовой гравитации. Основным инструментом в данном исследовании является квантовомеханическая модель Сачдева–Йе–Китаева (SYK), которая голографически дуальна определенной двухмерной гравитационной теории. Одним из критериев этой дуальности является тот факт, что модель SYK является максимально хаотической квантовой теорией. В рамках данного проекта исследовался физический смысл непертурбативных эффектов, полученных ранее, в контексте квантового хаоса. 8. Рассматривалась проблема придания строгого смысла так называемым микроскопическим решениям кинетического уравнения Больцмана–Энскога, открытых Н.Н.Боголюбовым, которые имеют вид сумм дельта-функций и соответствуют обратимой динамике твердых шаров. Однако непосредственная подстановка таких решений в уравнение приводит к формально неопределенным произведениям дельта-функций. В предыдущих работах одного из участников проекта предлагались необходимые регуляризации. В отчетном году была предложена еще один способ регуляризации интеграла столкновений уравнения Больцмана–Энскога, который не требует ни регуляризаций самих дельта-функций, ни представление решений уравнений Больцмана–Энскога в виде рядя теории возмущений (что было необходимо в предыдущих работах). Таким образом, предложен наиболее простой метод придания строгого смысла этим решениям. Значение этого результата для общей тематики гранта, связанной с проблемой необратимости, состоит в том, что эти решения в некоторым смысле примиряют обратимую и необратимую динамику в рамках одного уравнения. А именно, обратимость или необратимость зависит от рассматриваемого класса решений: обратимость и рост энтропии в случае регулярных решений и необратимость в случае сингулярных микроскопических решений.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1. Одна из центральных проблем математической физики - проблема потери информации черной дырой. Подход к решению информационной проблемы черных дыр недавно был предложен на основе так называемой "формулы островов" для энтропии зацепленности излучения Хокинга. Хотя этот рецепт был предложен в рамках голографического подхода, правило острова предполагалось применять к черным дырам в более общих теориях. Черные дыры в четырехмерном асимптотически плоском пространстве-времени рассматривались в работах [Hashimoto и др., arXiv:2004.05863] и др. и в них предлагался вывод кривой Педжа. Однако в работе участников проекта такое поведение было опровергнуто, т.е. для испаряющейся черной дыры энтропия островных конфигураций со временем стремительно растет при подходе к критической массе. В проекте показано, что если рассматривать эту энтропию с точки зрения некоторой ускоренной системы то рост энтропии подавляется. 2. Найдено общее решение уравнений Богомольного для SO(3)-калибровочной модели с триплетом скалярных полей в фундаментальном представлении, зависящее от двух постоянных и одной произвольной функции. Показано, что в частных случаях оно дает известные ранее решения Богомольного-Прасада-Зоммерфельда и Синглетона. В рамках геометрической теории дефектов вычислено распределение спинов в упругой среде для решения Богомольного-Прасада-Зоммерфельда. Доказана глобальная теорема существования конформной калибровки для римановой метрики, заданной на топологически тривиальном двумерном многообразии. 3. Проводилось исследование генома как программы с функциональной архитектурой и биологической эволюции как задачи машинного обучения для функциональных программ. Генная регуляция рассматривалась как монадическое вычисление в функциональном программировании. Такой подход выражает идею генома как программы, написанной на подобном языку Хаскель языке программирования, рекурсивное применение списка генов как аппликативного функтора описывает параллельные процессы в клетке и генная регуляция описывается как монадические вычисления. 4. Рассмотрена модель динамики матрицы плотности квантовой системы с взаимодействиями между населённостями и когерентностями и диссипацией, причём диссипация и декогеренция зависят от состояния системы. Эта зависимость описывается моделью квантового управления. Поток для квантового переноса в этой модели будет направленным (прямой и обратный потоки для динамики отличаются). 5. Были исследованы модели динамики открытых квантовых систем с памятью, в которых эта память экспоненциально затухает со временем. Кроме того, были рассмотрены модели с памятью для холодных резервуаров. 6. Доказаны предельные теоремы для композиций независимых случайных линейных операторов в банаховом пространстве, являющиеся некоммутативными аналогами закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Описаны свойства случайных блужданий в пространстве координат и в пространстве импульсов квантовой системы с бесконечномерным конфигурационным пространством. Изучены генераторы полугрупп, описывающих математические ожидания функционалов от случайных блужданий и удовлетворяющие уравнению диффузии с самосопряженным лапласианом типа Гросса-Вольтерра. 7. Лапласиан Леви – это бесконечномерный лапласиан, не имеющий конечномерного аналога. Интерес к этому оператору обусловлен его связью с уравнениями Янга-Миллса. Семейство модифицированных лапласианов Леви порождено действием бесконечномерных вращений на лапласиане Леви. Найдены условия на геометрию 4-мерного многообразия, при которых решению уравнения Лапласа для модифицированного лапласиана Леви на многообразии путей соответствует инстантон на 4-мерном многообразии.