Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Теория "квантового хаоса" связывает явления классической динамики, такие как сложное непредсказуемое поведение системы во времени, чувствительность к начальным условиям и т. д., с явлениями квантовой динамики и свойствами квантовых систем. К настоящему времени такая связь установлена для систем, которые полностью изолированы и не взаимодействуют с окружающей средой, т.е., для гамильтоновых систем. Нашей задачей на первом этапе проекта было формирование «фундамента» теории диссипативного квантового хаоса т.е., иными словами, теории, связывающей классические диссипативные системы и открытые (т.е., взаимодействующие с окружающей средой) квантовые системы. Таким фундаментом в случае гамильтонового квантового хаоса является спектральная теория генераторов эволюции, т.е., гамильтонианов. Краеугольными камнями этого фундамента являются понятие ансамбля случайных гамильтонианов и их соответствие различным ансамблям случайных матриц. Именно концепция этих ансамблей позволяет различать «регулярные» и «хаотические» гамильтонианы. Такие понятия, как "Гауссов унитарный ансамбль" и "Гауссов ортогональный ансамбль" играют важную роль во многих областях современной физики, от ядерной физики до квантовых вычислений. Понятия "случайного ансамбля" не существовало для генераторов диссипативной квантовой эволюции, которые управляют эволюцией открытых систем, так называемых "Линдбладианов". В нашей совместной публикации с коллегами из Ягеллонского университета (Краков) и университета им. Коперника (Торунь) в журнале Physical Review Letters [1], впервые предложено определение случайного ансамбля Линдбладианов. Нами обнаружены универсальные спектральные особенности членов таких ансамблей, в том числе форма их спектров в комплексной плоскости, которая была найдены нами сначала в результате масштабных численных экспериментов, а затем аналитически, используя теорию случайной матриц и методы теории "свободных вероятностей". Наша публикация представляет, таким образом, как точные аналитические результаты, так и результаты масштабных численных экспериментов. Проведение этих экспериментов стало возможным только благодаря поддержке нашего проекта Фондом и полученному доступу к суперкомпьютеру "Ломоносов-2" (МГУ). Наша статья была опубликована в октябре 2019 и к настоящему времени процитирована в работах двух независимых научных групп, из университета г. Любляна (Словения) [2] и Института физики сложных систем общества им. Макса Планка (Дрезден, Германия) [3]. Работа [3] использует наши результаты для построения новой теории; при этом наша статья цитируется сразу в абстракте данной работы. Наши результаты были использованы - как средство анализа - в дипломной работе Лукаса Са (LucasSá), университет г. Лиссабон (Португалия) [4]. Таким образом, мы можем утверждать, что наши статья и наши результаты сразу же привлекли внимание исследователей, работающих в области физики открытых квантовых систем. Численное исследование случайных ансамблей Линдбладианов представляет собой нетривиальную вычислительную проблему; именно поэтому большинство существующих на сегодняшний день результатов для открытых систем ограничены двухуровневыми моделями, т.е. моделями с N=2 состояниями (отдельный спин или кубит). Нами был разработан оптимизированный кластерный алгоритм генерации случайных Линдбладианов [2], который позволил нам достигнуть размерности N=200,что является абсолютным рекордом на сегодняшний день. Дальнейшее увеличение размерности модели ограничено стремительно возрастающей вычислительной трудоемкостью и требованиями к объему оперативной памяти. Таким образом, нами в течение первого года реализации проекта сделан значительный шаг в направлении категоризации диссипативного квантового хаоса. [1] S. Denisov, T. Laptyeva, W. Tarnowski, D. Chruscinski, and K. Zyczkowski, Universal spectra of random Lindblad operators, Phys. Rev. Lett. 123, 140403 (2019) [2] I. Meyerov, E. Kozinov, A. Liniov, V. Volokitin, I. Yusipov, M. Ivanchenko, S. Denisov, Transforming the Lindblad equation into a system of linear equations: Performance optimization and parallelization, arXiv:1912.01491 (2019) [3] L. Sá, P. Ribeiro, and T. Prosen, Complex spacing ratios: a signature of dissipative quantum chaos, arXiv:1910.12784 (2019) [4] K. Wang, F. Piazza, and D. Luitz, Hierarchy of relaxation timescales in local random Liouvillians, arXiv:1911.05740 (2019) [5] L. Sá, Dissipation and decoherence for generic open quantum systems, https://arxiv.org/abs/1911.02136 (2019)

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Нами было сделано еще несколько шагов в понимании механизмов и манифестации Диссипативного Квантового Хаоса. Анализ спектральных характеристик генераторов диссипативной квантовой эволюции, так называемых Линдбладианов, является наиболее эффективным методом, позволяющим отличить “хаотические” режимы от “регулярных”. С использованием многочастичных моделей нами было найдено соответствие между паттернами, образуемыми комплексным отношением расстояний между ближайшими собственными значениями Линдбладианов (так называемое complex spacing ratio) и дихотомией “эргодическая фаза / многочастичная локализация”. Нами была реализована оптимизированная кластерная версия алгоритма сэмплинга случайных Линдбладианов, используя которую мы достигли беспрецедентной размерности N=350 на суперкомпьютере “Ломоносов-2”. Нам был разработан и реализован алгоритм, позволяющий получить ответ на вопрос “Существует ли Линдбладиан?” для моделей размерности N <=8. Алгоритм решает задачу целочисленного нелинейного программирования в пространстве целочисленных переменных размерности 32, что является беспрецедентным результатом. Используя данный алгоритм, нами были обнаружены сложные нерегулярные структуры, разделяющие зоны “Да/Нет”, в пространстве параметров модельных систем размерности N=4 (например, двух взаимодействующих спинов). Нами была предложена концепция “супердекогеренции”, т.е. декогеренции, действующей в пространстве Линдбладианов. Механизм супердекогеренции позволяет реализовать непрерывный переход от универсального ансамбля случайных квантовых генераторов открытой эволюции к универсальному ансамблю случайных генераторов классической Марковской эволюции и, тем самым, связать квантовую и классическую манифестации Диссипативного Хаоса.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Нами было сделано несколько существенных шагов в направлении развития теории Диссипативного Квантового Хаоса (ДКХ). А именно: Нами был получен ответ на вопрос о непротиворечивости двух мер ДКХ, квантовых ляпуновских показателей и спектральных характеристик генераторов открытой квантовой эволюции, так называемых Линдбладианов. Тем самым была продемонстрирована интегральная связь между различными подходами к квантификации хаоса в открытой квантовой эволюции [1]. Нами были разработаны концепции “супердекогеренции” и “суперкогеренции”, представляющие собой обобщения квантовых концепций “декогеренции” и “когеренции” на пространство генераторов марковской эволюции. Нами были продемонстрированы связи между случайными ансамблями генераторов и сохранение универсальностей спектральных свойств последних, под действием супердекогеренции (суперкогеренции) . а так же была найдена скейлинговая зависимость точки “фазового перехода” между двумя ансамблями как функция размерности системы. Таким образом, нами был установлен “мост”, соединяющий непрерывную во времени марковскую эволюцию в классическом и квантовом мирах [2]. Нами был исследован вопрос о существовании Флоке-Линдбладианов в рамках пертурбативных разложений (по обратной частоте модуляций). Мы показали, что данные техники плохо подходят для этой цели, и результаты соответствующих попыток не могут служить основанием для заключения о существовании эффективного стробоскопического генератора. Мы также показали, что Флоке-Линдбладиан все же может быть получен, используя технику высокочастотных разложений, если делать такое разложение во вращающейся системе отсчета. В рамках этого подхода мы описали переход к фазе на более низких частотах возбуждения, где не существует Флоке-Линдбладиана, и показали, что возникающая немарковская характеристика генератора Флоке может полностью объясняться микродвижением (micromotions), не унитарным аналогом эффекта, исследованного в рамках теории Флоке-Гамильтонианов [3]. Таким образом, нами был новый шаг в исследовании “Флоке-инжиниринга” открытых квантовых систем. [1] I. Yusipov and M. Ivanchenko, Quantum Lyapunov exponents and complex spacing ratios: two measures of Dissipative Quantum Chaos, https://arxiv.org/abs/2112.06214 (2021) [2] W. Tarnowski, I. Yusipov, T. Laptyeva, S. Denisov, D. Chruscinski, and K. Zyczkowski, Random generators of Markovian evolution: A quantum-classical transition by superdecoherence, Phys. Rev. E 104, 034118 (2021). [3] A. Schnell, S. Denisov, and A. Eckardt, High-frequency expansions for time-periodic Lindblad generators, Phys. Rev. B, 104, 165414 (2021).

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Нами была продолжена линия исследований, связанная с развитием методов численного описания и изучения свойств квантового диссипативного хаоса. С использованием многочастичных моделей с беспорядком нами была исследована зависимость ляпуновских показателей от величины беспорядка. Таким образом, нами была установлена связь между “днамическими” квантификаторами квантовго хаоса и эффектами многочастичной локализации. Эти результаты были опубликованы в журнале Q1 Yusipov, I.I., Ivanchenko, M.V., Quantum Lyapunov exponents and complex spacing ratios: Two measures of dissipative quantum chaos, Chaos, 2022, 32(4), 043106. Результаты по итогам этой части проекта также были обобщены в обзоре, принятом к печати: И.И. Юсипов, М.В. Иванченко, С. Денисов «Бифуркации и хаос в открытых квантовых системах», Изв. вузов. Радиофизика (2022). Нами была реализована серия масштабных вычислительных экспериментов для открытых двух- и трехкубитных систем. Целью экспериментов являлось исследование физических механизмов, определяющих существование Флоке-Линдбладиана. Был обнаружено, что Флоке-Линдбладиан в модельных системах существует при достаточно больших значениях частоты модуляций и локализован на принципиальной ветви логарифма диссипативного Флоке-отображения. Граница области существования Флоке-Линдбладиана сдвигается в область все более высоких частот при увеличении размерности системы, так что, вероятно, в термодинамическом пределе, Флоке-Линдбладиан не существует и динамика соответствующих систем является принципиально немарковской при сколь угодно высокой частоте модуляций. Данные соображения позволили исследовать системы размером до 6 кубитов. Нами были проведены исследования в направлении построения генераторов Линдблада (“Линдбладианов”) с заданными стационарными состояниями и предложен алгоритм синтеза таких операторов. Нами было определено понятие “случайного оператора Дэвиса” и предложена процедура синтеза такого генератора для данного асимптотического состояния. Нами были исследованы спектральные свойства ансамбля случайных генераторов Дэвиса (операторы этого типа обладают чисто вещественными спектрами) и показано, что спектральная плотность ансамбля носит универсальный характер. Нами также были рассмотрены Линдбладианы с контролируемым нарушением детального баланса, что позволило определить непрерывный переход от генераторов Дэвиса к чисто диссипативным случайным Линдбладианам.