Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В основе квантовых технологий лежит использование свойств отдельных квантовых систем атомных, молекулярных и наноскопических размеров. Данная область представляет высокий фундаментальный и практический интерес, связанный с широким кругом приложений, от задач квантовой информации, квантовых вычислений, криптографии и метрологии до задач синтеза материалов с заданными свойствами и лазерного управления химическими реакциями и процессами. Развитие квантовых технологий требует разработки математических методов управления замкнутыми и открытыми, то есть взаимодействующими с окружением, квантовыми системами. Одной из важных задач, необходимых для развития квантовых технологий, является разработка методов управления квантовыми системами с использованием модулируемых лазерных импульсов либо иного внешнего воздействия, и исследование эффективности таких методов. В текущем году проводилась работа по решению поставленных на этот год задач по управлению квантовыми системами, включая исследование локальных свойств целевых функционалов квантового управления, развитие методов построения управлений для задач оптимального управления открытыми конечно-уровневыми квантовыми системами, применение методов когерентного и некогерентного управления квантовыми системами к задаче лазерного и некогерентного управления диссоциацией молекул. В ходе выполнения проекта в рамках исследования локальных методов построения оптимальных управлений проведен строгий вывод аналитических выражений для старших вариаций целевого функционала в задаче максимизации среднего значения наблюдаемой для когерентного управления некоторым классом многоуровневыми замкнутыми квантовыми системами. Показано наличие ловушек произвольного порядка для ряда систем. Исследована управляемость для некоторого класса возникающих при этом анализе квантовых систем, доказано, что некоторые системы являются полностью управляемыми, некоторые системы напротив, не являются полностью управляемыми. Получены аналитические и численные результаты по управляемости для четырехуровневых квантовых систем с трехкратно вырожденным одним из уровней для любых комплексных значений гамильтониана взаимодействия с управлением, и для трех четырех-уровневых систем с двукратно вырожденным верхним уровнем и с запрещенным переходом между нижним и средним уровнем. В рамках изучения вопросов управления открытыми квантовыми системами проводилось рассмотрение задач оптимального управления открытыми N-уровневыми квантовыми системами (при разных N>2), находящимися под одновременным воздействием когерентного и некогерентного управлений, c ограничениями на управления. Для таких квантовых систем рассматривались задачи оптимального управления с терминальными целевыми функционалами, описывающими минимизацию расстояния Гильберта–Шмидта между финальной и заданной целевой матрицами плотности и максимизацию скалярного произведения Гильберта–Шмидта между финальной и целевой матрицами плотности без учета ограничений на эволюцию матрицы плотности в течение всего времени. Для этих задач с учетом ограничений на управления построены адаптации двух- и трехшаговых методов проекции градиента для кутрита, для задач с линейным функционалом построены нелокальные методы улучшения управлений на основе метода Кротова. Построены аналитические выражения для используемых в этих методах конструкций. Проведена оценка эффективности методов и численный анализ для различных квантовых систем, в том числе для трехуровневых открытых квантовых систем. В рамках применения методов управления проводилось построение математической модели, описывающей диссоциацию связи молекул на поверхности с помощью одновременного использования методов когерентного контроля на основе специально подобранной серии лазерных импульсов и некогерентных методов контроля на основе задания условий на границе, включая вычисление скорости десорбции протонов. Использовались уравнения Кона-Шэма и зависящий от времени метод функционала плотности для нахождения скорости десорбции протонов с поверхности под воздействием специально подобранной последовательности лазерных импульсов заданной формы в приближении гармонического переходного состояния. Актуальность решения этих задач определяется растущей необходимостью развития методов управления квантовыми системами, в том числе открытыми, то есть взаимодействующими с окружением. Актуальность исследования ландшафтов управления определяется необходимостью оценки эффективности методов локального поиска построения управлений, которая зависит от свойств ландшафта. Актуальность развития методов построения управлений для открытых квантовых систем, находящихся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, определяется тем, что в реальных условиях управляемые квантовые системы как правило взаимодействуют с окружением, и этим взаимодействием нельзя пренебречь, и более того, в некоторых случаях можно использовать как полезный ресурс. В данных областях имеются открытые задачи, которые составляют основу данного проекта, решение которых позволит внести вклад в область разработки математических методов для задач квантовых технологий.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Квантовые технологии основаны на использовании свойств отдельных квантовых систем атомных, молекулярных и наноскопических размеров. Данная область представляет высокий фундаментальный и практический интерес, связанный с широким кругом приложений, от задач передачи информации, квантовых вычислений, криптографии и метрологии до задач синтеза материалов с заданными свойствами и лазерного управления химическими реакциями и процессами. Развитие квантовых технологий требует разработки математических методов управления замкнутыми и открытыми квантовыми системами. Одной из важных задач является развитие, исследование и применение различных методов оптимизации для задач управления квантовыми системами. В текущем году проводилась работа по решению поставленных на этот год задач по управлению квантовыми системами, включая исследование локальных свойств целевых функционалов задач квантового управления, развитие методов построения управлений для задач оптимального управления открытыми конечно-уровневыми квантовыми системами, применение методов когерентного и некогерентного управления квантовыми системами. В рамках исследования локальных методов построения оптимальных управлений исследовались локальные свойства целевых функционалов задач управления конечно-уровневыми квантовыми системами. Ловушка – это точка локального, но не глобального экстремума целевого функционала задачи управления квантовой системой. В более общем смысле ловушка в ландшафте задачи управления квантовой системой – это критическое управление, замедляющее работу алгоритмов локального поиска. Ловушка конечного порядка определяется разложением Тейлора целевого функционала в окрестности этого управления. Проводилось исследование ландшафта задачи максимизации среднего квантово-механической наблюдаемой на наличие ловушек в общем смысле. Рассматривался класс квантовых систем, для которого свободный гамильтониан, начальное состояние и квантовая наблюдаемая попарно коммутируют. Для управляемых систем из такого класса получены достаточные условия того, что нулевое постоянное управление является ловушкой конечного порядка. Для трехуровневых и четырехуровневых квантовых систем проведено исследование аналитическими методами порядка ловушки. Численно проведен анализ влияния ловушек высших порядков на трудность задачи оптимизации для ряда трехуровневых и четырехуровневых квантовых систем с ловушками различных порядков. Кроме того, исследован порядок ловушки для N-уровневой квантовой системы со специальной симметрией в свободном гамильтониане и “цепным” гамильтонианом взаимодействия. Установлено наличие ловушек второго порядка для специального случая не являющейся полностью управляемой трехуровневой системы с одним запрещенным переходом. Полностью описаны все управляемые трехуровневые квантовые системы типа лямбда-атома, которые возникают при построении квантовых ландшафтов с ловушками высших порядков. В рамках исследования методов управления открытыми квантовыми системами рассматривались задачи оптимального управления открытыми конечно-уровневыми квантовыми системами, находящимися под одновременным воздействием когерентного и некогерентного управлений, c ограничениями на управления, с целевыми функционалами типа Майера, представляющими скалярное произведение и расстояние Гильберта–Шмидта между финальной и заданной целевой матрицами плотности, а также подобные задачи типа Майера–Больца. Для задач типа Майера получены аналитические и численные результаты для различных локальных методов оптимизации в том числе с использованием градиента. Для задач типа Майера–Больца модифицированы одно- и -двух- и трехшаговые методы проекции градиента, регуляризованный метод Кротова, получены численные результаты, в том числе для кутритного канала Вернера–Холево. Предложен способ модификации метода Кротова за счет комбинации максимизирующего и проекционного отображений, построены ключевые математические конструкции. В рамках изучения вопросов применения методов квантового управления к задаче диссоциации молекул проводилось решение системы уравнений в частных производных по времени и нормали к поверхности электрода с краевыми условиями третьего рода с целью нахождения распределения электрического поля и концентрации водорода как на поверхности так и в поровом пространстве электрода в модели диссоциации молекулы водорода на поверхности карбида димолибдена во внешнем поле когерентного излучения различного вида, например в виде последовательности мгновенных импульсов. Скорость диссоциации изучалась в приближении теории линейного отклика. Актуальность решения этих задач определяется растущей необходимостью развития методов управления квантовыми системами, в том числе открытыми, то есть взаимодействующими с окружением. Актуальность исследования ландшафтов управления, то есть локальных свойств целевых функционалов задач управления квантовыми системами, определяется необходимостью оценки эффективности методов локального поиска построения управлений, которая зависит от свойств ландшафта. Актуальность развития методов построения управлений для открытых квантовых систем, находящихся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, определяется тем, что в реальных экспериментальных условиях управляемые квантовые системы как правило нельзя пренебречь взаимодействием управляемых квантовых систем с окружением. Кроме того, в некоторых случаях окружение можно использовать как полезный ресурс. В данных областях имеются открытые актуальные теоретические задачи, некоторые из которых составляют основу предлагаемого проекта, реализация которого позволит внести вклад в область разработки математических методов для задач квантовых технологий.