Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Была рассмотрена обратная задача об определении потока через границу для систем уравнений тепломассопереноса. Неизвестная функция, входящая в граничное условие, ищется в виде линейной комбинации некоторых базисных функций с неизвестными коэффициентами зависящими от времени. Определению вместе с решением подлежат эти неизвестные функции от времени. В качестве данных были рассмотрены стандартные начально краевые условия и данные переопределения, которыми являлись значения решения в некотором наборе точек, лежащих на границе рассматриваемой пространственной области. Была получена теорема существования и единственности решений в пространствах Соболева. При этом Предполагаются выполненными условия гладкости на коэффициенты: требуется непрерывность старших коэффициентов в уравнении и принадлежность младших коэффициентов некоторому пространству $L_q(Q)$. Условия на коэффициенты граничных операторов стандартные. Тоже самое относится к данным функциям, входящим в начальные и граничные условия. Предполагаются выполненными условия согласования данных. Кроме стандартных условий требуется выполнение дополнительных условий гладкости на все данные задачи в некоторой окрестности точек замеров. Условия гладкости и согласования дополняются условием корректности (некоторый определитель, построенный по данным задачи отличен от 0). Был построен новый метод численного решения задачи и проведены численные эксперименты. Теоретические результаты опубликованы: https://cyberleninka.ru/article/n/identifikatsiya-granichnogo-usloviya-v-zadachah-teplomassoperenosa; https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=chfmj&paperid=283&option_lang=rus. Были подготовлены данные результатов замеров парниковых газов (углекислый газ и метан) и описаний метеоусловий в районе болотного массива Мухрино (Ханты-Мансийский автономный округ) для последующего использования. 2. Была рассмотрена обратная задача об коэффициента теплопередачи для параболического уравнения второго порядка. В качестве данных были рассмотрены стандартные начально-краевые условия и данные переопределения, которыми являлись значения решения в некотором наборе точек, лежащих на границе рассматриваемой пространственной области. В пространствах Соболева мы получаем теорему существования и единственности решений. Предполагаются выполненными условия согласования данных и условия гладкости на коэффициенты: требуется непрерывность старших коэффициентов в уравнении и принадлежность младших коэффициентов некоторому пространству $L_q(Q)$. Условия на коэффициенты граничных операторов стандартные. Тоже самое относится к данным функциям, входящим в начальные и граничные условия. Кроме стандартных условий требуется выполнение дополнительных условий гладкости на все данные задачи в некоторой окрестности точек замеров. Условия гладкости и согласования дополняются условием корректности, которое представляет из себя отличие от нуля некоторого определителя, построенного по данным задачи. На этой основе можно построить и новый метод численного решения задачи, который и был построен и проведены численные эксперименты. Теоретические результаты оформлены и приняты печати в журнале "Математические заметки" (т.113, вып. 1, 2023). Работа с результатами численных экспериментов пока только готовится к печати. Результаты работы по определению коэффициента теплопередачи будут использованы в более сложных моделях в задачах определения температурных режимов почв. 3. Была рассмотрена обратная задача об потока через границу для параболического уравнения с независящими от времени коэффициентами. В качестве данных были рассмотрены стандартные начально-краевые условия и данные переопределения (значения решения в некотором наборе точек, лежащих внутри рассматриваемой пространственной области). Такая задача некорректна по Адамару. Используя преобразование Лапласа и асимптотику функций Грина эллиптических задач с параметром мы получили условия на данные, гарантирующие существование и единственность решений. Последнее позволяет обосновать некоторые из численных методов решения этой задачи. Условия на данные в целом являются стандартными, однако, для данных переопределения в приведенной обратной задаче, (здесь мы привели задачу к задаче с однородными начально-краевыми условиями) требуются уже условия принадлежности значений решения в фиксированных точках, где мы задаем данные переопределения, некоторому классу бесконечно дифференцируемых функций, определяемого при помощи преобразования Лапласа. Полученные результаты опубликованы: https://www.researchgate.net/publication/360422150_Existence_and_Uniqueness_Theorems_in_the_Inverse_Problem_of_Recovering_Surface_Fluxes_from_Pointwise_Measurements; https://www.mdpi.com/2227-7390/10/9/1549. К сожалению, методика сведения подобных задач к уравнению такого типа в случае коэффициентов, зависящих от всех переменных, пока не разработана. Этот факт существенен, поскольку в практически х задачах вычисления потоков парниковых газов, коэффициенты турбулентной диффузии зависят от времени и других переменных. Для решения подобных задач численно ранее обычно использовался метод сведения задачи к задаче управления и затем минимизация соответствующего функционала качества. Работ, посвященных численному решению задачи достаточно много в силу большого количества приложений данной математической модели. Но нельзя сказать, что имеются достаточно хорошие методы для ее решения. Нами был построен численный метод решения этой задачи в двумерном случае, основанный на методе конечных разностей и методе конечных элементов. В частности, при этом были использованы условия существования решений, из теоретических результатов. Эта программа будет далее оформлена и зарегистрирована. 4. Мы получили теоретические результаты (теоремы существования и единственности) по определению источников атмосферного загрязнения по данным замеров концентраций в стационарном случае. Результаты приняты к печати в Lobachevskii Journal of Mathematics. 5. Построена модель динамики круговорота углерода в экосистеме «растение-почва» с учетом антропогенного воздействия в регионах интенсивной нефтедобычи. Предполагается, что содержание углекислого газа в атмосфере и океане велико, и не изменяется в результате круговорота углерода в наземной растительности. Комбинация указанные потоков составляют динамические уравнения круговорота углерода, построенные по схеме модели Холлинга-Тэннера. Произведен анализ разработанных на текущий момент математических моделей в области динамики углерода, произведено их сравнение применительно к задачам исследования. Описаны условия устойчивости стационарных решений, и фазовых портретов для математической модели. Построен численный алгоритм нахождения решений и написана соответствующая программа. Теоретические результаты частично опубликованы http://izvestiya.asu.ru/article/view/%282022%294-16 и частично приняты к печати: Lobachevskii Journal of Mathematics, Вестник Югорского государственного университета. Результаты численного исследования модели опубликованы: http://konf.asu.ru/math-altai/?page=sborniki-mak, http://izvestiya.asu.ru/article/view/%282022%294-16

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Оформлена и зарегистрирована программа по определению потоков парниковых газов по данным замеров концентраций в двумерном случае. Поток газа находился в виде конечного отрезка ряда с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. Использовалась математическая модель тепломассопереноса (параболическое уравнение второго порядка). Алгоритм основан на методе конечных элементов и методе конечных разностей. Задача является некорректной по Адамару, поэтому использовалась регуляризация по Тихонову. Проведены численные эксперименты, которые показали в том числе и устойчивость алгоритма по отношению к малым случайным возмущениям данных. 2. В квазистационарном случае были получены теоремы существования, единственности и оценки устойчивости решений обратной задачи об определении потока, построен и обоснован численный алгоритм, основанный на построении специальных решений сопряженного уравнения и сведении задачи к системе алгебраических уравнений с ненулевым определителем, использовался метод конечных элементов. Задача в этом случае является корректной по Адамару. Проведены численные эксперименты. В модельных случаях трехмерная квазистационарная задача сведена к двумерной задаче об определении источников, записанных в виде в виде конечного отрезка ряда Фурье. Для этой модели получены условия гарантирующие существование решений, их единственность и устойчивость. Результаты получены в общем случае для эллиптической системы уравений с произвольным заданием точек замеров. 3. Рассмотрены вопросы аналитического (в необходимых случаях) и численного исследования задач по определению потоков по интегральным данным. Данные это есть интегралы от решения по области с весом. Теоретические результаты в первом случае, когда данные есть интегралы по оласти с весом, уже известны. Проведены численные эксперименты. 4. Проведено аналитическое и численное исследование задачи об определения коэффициента теплопередачи как в случае одной среды, так и в случае слоистых сред. В результате теоретических исследований (они были начаты еще в 2022 г.) было показано, что задачи с точечным переопределением (т.е. концентрации переносимого вещества или температура дополнительно задаются в точках пространственной области) задача является корректной по Адамару в случае если точки замеров лежат на границе рассматриваемой области. В противном случае задача корректной не является. В первом случае были получены теоремы существования и единственности решений, а также получены оценки устойчивости решений. Была офрмлена программа по численному определению коэффициента теплопередачи в случае двух пространственных переменных была оформлена, проведены численные эксперименты. Полученный алгоритм довольно быстро сходится и устойчив в случайным возмущениям данных. Создана программа по определению коэффициента теплопередачи, входящего в условие сопряжения типа неидеального контакта в случае двух пространственных переменных в слоистых средах также создана, проведен ряд численных экспериментов. 5. Проведен теоретический анализ обратных задач по определению теплофизических характеристик как с смысле теории так и с точки зрения численных методов и предложены и обоснованы в теоретическом плане некоторые новые подходы, прежде всего связанные с определением неизвестных коэффициентов в виде конечных отрезков рядов по известному базису в слоистой среде. Получены теоремы о разрешимости, единственности решений и оценки устойчивости решений в задаче об определении теплофизический характеристик (теплоемкость, теплопроводность) в случае слоистой среды с условиями сопряжения типа неидеального контакта как в случае точечных так и в случае интегральных условий переопределения. 6. Были проанализированы имеющиеся в литературе результаты по определению скорости поглощения метана в среде. С использованием имеющися алгоритмов (работающих в случае большого количества замеров концентраций) проведены численные эксперименты с использованием различных численных методов (такими как метод внутренней точки (численный алгоритм для решения задач оптимизации с ограничениями), алгоритм последовательного квадратичного программирования и генетический алгоритм). Произведен сравнительный анализ результатов. В случае если число замеров недостаточно, т.е. концентрация метана замерена в небольшом количестве точек, коэффициент поглощения строился в виде конечного отрезка ряда (в нашем случае в виде разложения по базисным кусочно-линейным функциям метода конечных элементов). Была предложена другая на наш взгляд более совершенная схема решения задачи, которая сводилась к некоторому нелинейному уравнению и затем решалась численно. 7. В результате проведенных исследований разработана оригинальная математическая модель динамики углерода в болотных экосистемах, учитывающая влияние таких важных факторов, как температура, интенсивность фотосинтеза, скорости деструкции органического вещества. Модель позволяет количественно оценить пространственно-временную динамику потоков углерода между растительным покровом, торфяной залежью и атмосферой. Разработанный инструментарий может быть эффективно применен для расчетно-прогностических оценок эмиссии парниковых газов в зависимости от климатических условий. Получены количественные характеристики потоков метана и углекислого газа имеют в целях уточнения вклада болотных экосистем Западной Сибири в глобальный углеродный бюджет и понимания механизмов регуляции климатических процессов. Разработанная модель предоставляет эффективный инструментарий для исследования чувствительности углеродного обмена к изменениям климатических характеристик, таких как температура воздуха и влагообеспеченность. В разработанной математической модели динамики углерода особое внимание уделено описанию температурных зависимостей скоростей ключевых процессов биотрансформации органического вещества, таких как фотосинтез, автотрофное и гетеротрофное дыхание растительности и микроорганизмов. Использована обобщенная нелинейная параметризация, позволяющая учесть наличие минимальной, оптимальной и максимальной температур для каждого из процессов. Количественные параметры функций определены на основе литературных данных для типичных представителей растительных сообществ болот Западной Сибири. Реализация температурной зависимости скоростей биохимических превращений позволяет моделировать наблюдаемую сезонную и многолетнюю динамику интенсивности фотосинтеза, дыхания и чистой первичной продукции болотных экосистем в зависимости от динамики температурных условий. Проведенный анализ показал существенное влияние динамики температуры на баланс углерода в моделируемых болотных экосистемах Западной Сибири. Реализованный в разработанной модели подход к описанию температурной зависимости биогеохимических процессов является одним из ключевых компонентов, определяющих прогностические возможности модели для оценки отклика углеродного цикла на изменяющиеся климатические условия. Описаны результаты применения полученного программного продукта к известным реальным данным.