Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Для слабо надкритического ветвящегося процесс в случайной среде (ВПСС) {Z(n), n=0,1,2....} с сопровождающим случайным блужданием {S(n), n=0,1,2....} рассматривался случайный процесс Y(t,n)=Z( [nt])exp( -S( [nt])) при 0≤ t< 1 и Y(1,n) =Z(n). Для такого процесса доказаны функциональная предельная теорема при выполнении условий {u≤S(n), M(n)<0}, где u --отрицательная постоянная, а M(n) - максимум сопровождающего случайного блуждания на отрезке [1,n]. Аналогичная функциональная предельная теорема установлена для случайного процесса, рассматриваемого при условии {S(n)≤u, T(n)=n}, где u -- положительная постоянная, а T(n)-- момент последнего достижения максимума последовательности S(1),...,S(n), Пусть T -- момент вырождения процесса {Z(n), n=0,1,2....}. В случае, когда производящие функции законов размножения дробно-линейны, для процесса {Y(t,n), 0≤ t≤1}, рассматриваемого при условии n<T<+∞, доказана функциональная предельная теорема. Для критического ВПСС исследовано асимптотическое поведение условной вероятности P(Z(n)>0| S(n)≤φ(n)} при n→∞, где {S(n), n=0,1,2,...} - сопровождающее случайное блуждание, φ(n)→∞, φ(n)=o(a(n)). Здесь a(n), n=1,2,... - нормирующие константы, обеспечивающие сходимость по распределению последовательности S(n)/a(n), n=1,2,..., к устойчивому распределению (предполагается, что закон распределения приращений сопровождающего случайного блуждания принадлежит без центрировки области притяжения устойчивого закона). Введено понятие сопровождающего блуждания для двуполого ветвящегося процесса в случайной среде с функцией паросочетания L(x,y), удовлетворяющей определенным условиям. Проведена классификация таких двуполых ветвящихся процессов в случайной среде. Был рассмотрен случай функции L(x,y), зависящей от среды. Найдено представление двуполого ветвящегося процесса в случайной среде в виде случайной линейной рекуррентной последовательности Y(n+1)=A(n) Y(n)+B(n), получены оценки на моменты порядка h величины B(n), где h принадлежит некоторому диапазону. Этот результат является важным шагом в исследовании вероятностей больших уклонений в модели двуполых ветвящихся процессов в случайной среде. Исследовано асимптотическое поведение вероятностей локальных нижних уклонений ветвящегося процесса {Z(n), n=0,1,2,...} в случайной среде с геометрическим условным распределением числа потомков одной частицы (ВПССГ). Для строго надкритических ВПССГ в предположении, что математическое ожидание m приращений сопровождающего случайного блуждание конечно, а номер n наблюдаемого поколения стремится к бесконечности, исследовано асимптотическое поведение локальных вероятностей P(Z(n)=k) во второй зоне уклонений, то есть в случае, когда отношение log(k)/n лежит в некотором компактном подмножестве множества (0, m(-1)), где m(-1)<m. Исследованы также переходные явления в ВПССГ, то есть асимптотическое поведение вероятностей P(Z(n)=k) при приближении отношения log(k)/n к границе между первой и второй зонами уклонений с некоторой скоростью. Для случайного блуждания S(0), S(1), S(2),... в случайной среде исследовались свойства случайной последовательности T(n) = min(k: S(k) = n) моментов первых достижения уровней n. При n→∞ получены такое асимптотическое представление вероятностей больших уклонений в локальной форме P(T(n) = k), которое справедливо равномерно при изменении отношения k/n внутри некоторого компакта. Для параметров, входящих в асимптотическое представление, найдены явные выражения в терминах спектра некоторого оператора. Рассмотрена схема серий {Z(k,n), k =1,..., n} ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическим распределением (ВПССГ) числа непосредственных потомков частиц. Частицы i-го поколения n-й серии производят потомков в соответствии с геометрическим распределением , зависящем от среды и некоторых детерминированных параметров a(i,n) - возмущений. Пусть {Z(k), k =0,1,2,…} - невозмущённый ВПССГ, соответствующий случаю a(i,n) = 0 при всех i и n. При определённых ограничениях на характер роста суммы возмущений n-й серии показано, что при стремлении n к бесконечности отношение вероятностей невырождения P(Z(n,n) > 0) и P(Z(n) > 0) возмущенного и невозмущенного процессов до момента n стремится к единице. Тем самым, выявлены границы, в которых возмущение не меняет асимптотики вероятности невырождения. Исследован ВПССГ, в котором изменение состояний среды происходит не в каждый момент времени, а через промежутки времени, определяемые детерминированной последовательностью T(i), i=1,2,..., элементы которой называются периодами заморозки. Установлена связь между вероятностью невырождения такого ВПССГ и вероятностью положительности сопровождающего случайного блуждания специального вида. Указаны достаточные условия невырождения с положительной вероятностью или вырождения с вероятностью единица указанного ВПССГ. Рассмотрены случайные подстановки, длины циклов которых принадлежат множеству A положительной асимптотической плотности во множестве натуральных чисел. В качестве множеств A взяты либо конечные объединения непересекающихся арифметических прогрессий, в которых шаг прогрессии взаимно прост с первым членом прогрессии, либо состоящие из таких натуральных чисел, каждое из которых не делится ни на одно из s заданных взаимно простых чисел. Доказаны предельные теоремы о распределении средних и крайних слева членов вариационного ряда длин циклов случайных равновероятных подстановок указанного класса, дающие оценку скорости сходимости к предельным распределениям. .

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
(A) Пусть {Z(k), k=0,1,2, …} – надкритический ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС) и {S(k), k=0,1,2, …} – его сопровождающее случайное блуждание. В слабо надкритическом случае (с произвольными законами распределения количества потомков частиц): 1) изучена асимптотика вероятности вырождения ВПСС после момента n; 2) для процесса {Z([nt]/exp(S([nt]), 0≤ t<1}, рассматриваемого при условии вырождения ВПСС после момента n, установлена функциональная предельная теорема о сходимости к невырожденному процессу с постоянными неотрицательными траекториями на интервале (0,1); 3) для случайной величины Z(n), рассматриваемой при условии вырождения ВПСС после момента n, доказана предельная теорема о сходимости по распределению к невырожденной неотрицательной целочисленной случайной величине. В сильно надкритическом случае (в предположении, что законы распределения количества потомков частиц являются геометрическими): 1) изучена асимптотика вероятности вырождения ВПСС после момента n; 2) для процесса {Z([nt], 0≤ t<1}(без какой-либо нормировки), рассматриваемого при условии вырождения ВПСС после момента n, установлена функциональная предельная теорема о сходимости к невырожденному процессу, все сечения которого на интервале (0,1) независимы, одинаково распределены и являются неотрицательными целочисленными случайными величинами. (B) Доказана условная функциональная предельная теорема, описывающая предельное распределение логарифма числа частиц в критическом ветвящемся процессе в случайной среде {(log Z([nt])/a(n)), 0≤ t≤1} при условии {Z(n)>0, S(n)≤ φ(n)} и предположении, что распределение приращений сопровождающего случайного блуждания {S(k), k=0,1,2,...} процесса принадлежит (без центрировки) области притяжения некоторого устойчивого закона. Здесь a(n) – нормирующие константы, обеспечивающие при n→∞ сходимость распределений элементов последовательности {S(n)/a(n), n=1,2,…} к устойчивому распределению, а функция φ(n) стремится к бесконечности при n→∞ и имеет порядок o(a(n)). При тех же предположениях найдено предельное при n→∞ распределение случайной величины (log Z(n))/φ(n) при условии {Z(n)>0, S(n)≤ φ(n)}. (C1) Для ветвящегося процесса {N(k), k=0,1,2,…}, развивающегося в случайной среде и имеющего частицы двух полов, доказана предельная теорема, описывающая интегральные и локальные вероятности больших уклонений чисел частиц в далекий момент времени n. Рассмотрен достаточно широкий класс функций паросочетаний, зависящих от среды, которые аппроксимируются липшицевыми функциями, также зависящими от среды. Описан также ряд условий на функции паросочетаний, обеспечивающий справедливость функциональной предельной теоремы для процесса {(log N(nt)-xt)/√t, 0≤ t≤1}, рассматриваемого при условии x≤log N(n)<x+const. (C2) Для ветвящегося процесса в случайной среде с геометрическими распределениями чисел потомков частиц во всех поколениях (ВПССГ) исследовались локальные вероятности малых уклонений надкритического ВПССГ P(Z(n)=k) в переходной зоне между второй и первой зонами уклонений, то есть в ситуации, когда отношение (logk)/n принадлежит интервалу [a(1,n), a(2,n)], где a(1,n)<m(-1)<a(2,n) и при n→∞ величины a(1,n) и a(2,n) стремятся с определенной скоростью к m(-1)=E[Xexp(-X)] /E[exp(-X)], где X – шаг сопровождающего случайного блуждания. Доказана теорема, описывающая асимптотику локальных вероятностей в указанной зоне, что заполнило имевшиеся пробелы в исследовании асимптотики локальных нижних больших уклонений для ВПССГ. (C3) Для случайного блуждания {S(k), k=0,1,2,…} в случайной среде, стремящегося к +∞ при n→∞, анализировались распределения последовательности несобственных случайных величин {T(-n) = min(k>0: S(k) = -n), n=1,2,…}. Показано, что вероятности P(T(-n)=k) имеют при n→∞ вид n^{-0.5}F(k/n)exp{-L(k/n)n}, где F(x) и L(x) – некоторые функции, задаваемые в терминах спектра и собственных функций вспомогательного интегрального оператора. (C4) Для схемы серий {Z(k,n), k=1,...,n}, n=1,2,…, близких к критическим ВПСС с произвольным распределением числа потомков частиц исследовалась асимптотика вероятности невырождения. Указаны достаточные условия на близость некоторых параметров этой серии к параметрам критического ВПСС {Z(k), k=1,2,…}, при выполнении которых P(Z(n,n)>0)~P(Z(n)>0) при n→∞. (С5) Рассматривался ветвящийся процесс в случайной среде с замораживанием (ВПССЗ), задаваемый последовательностью двумерных векторов (F(n,s), T(n)), n=1,2,…, где F(n,s), n=1,2,…, – последовательность независимых одинаково распределенных производящих функций, отвечающих за состояние среды, а T(n), n=1,2,…, – детерминированная последовательность периодов «заморозки», в которой T(n) – это число поколений, в течение которых частицы ВПССЗ будут производить потомство в соответствии с законом распределения, порождаемым производящей функцией F(n,s). В качестве важной характеристики такого процесса предложено взвешенное сопровождающее блуждание – аналог сопровождающего случайного блуждания для стандартных ветвящихся процессов в случайной среде. Указаны ограничения на распределения случайных производящих функций {F(n,s), n=1,2,…} и длительности периодов «заморозки» {T(n), n=1,2,…,}, при выполнении которых надкритический ВПСЗС либо с положительной вероятностью не вырождается, либо вырождается с вероятностью единица. (C6) Пусть M(n) – максимум случайного блуждания {S(k), k=0,1,2.…} с нулевым сносом на интервале [0,n], и пусть μ(n) – момент последнего достижения этого максимума на этом интервале. Показано, что если для приращений случайного блуждания выполнено условие Крамера, то для значений x лежащих в зоне умеренных уклонений, то есть растущих как n^a, ½<a<1, распределение соответствующим образом нормированной случайной величины μ(n), рассматриваемой при условии M(n)= x (в арифметическом случае) или x≤M(n)<x+const (в нерешетчатом случае) сходится к гамма-распределению. (D) Рассмотрена совокупность S(A,n) отображений множества {1,2,…,n} в себя, объёмы (числа вершин) связных компонент которых принадлежат подмножеству A, имеющему положительную плотность во множестве натуральных чисел. Для множеств A, являющихся либо объединением конечного числа арифметических прогрессий, в каждой из которых шаг прогрессии взаимно прост с первым членом прогрессии, либо состоящих из таких и только таких чисел m, каждое из которых не делится ни на одно из s наперёд заданных взаимно простых чисел, доказаны предельные теоремы о распределениях средних и крайних слева членов вариационного ряда построенного по размерам компонент отображения, выбранного случайно и равновероятно из множества S(A,n). Получены также оценки скорости сходимости в соответствующих предельных теоремах.