Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Производные некоммутативные многообразия обладают различными свойствами, которыми обладают и обычные коммутативные многообразия, однако в некоммутативном мире имеются такие операции, которых нет в коммутативном мире. Одна из таких операций — это скрученное тензорное произведение. Было определено скрученное тензорное произведение двух конечномерных дифференциально-градуированных (ДГ) алгебр с одинаковой отщепимой полупростой частью. Было показано, что для таких ДГ алгебр гладкость равносильна тому, что полупростая часть является совершенным модулем. Было доказано, что любое скрученное тензорное произведение двух гладких ДГ алгебр также является гладкой ДГ алгеброй с такой же группой Гротендика как и у сомножителей. Кроме того, было показано, что билинейная форма на группе Гротендика скрученного произведения получается как произведение билинейных форм для сомножителей. Была построена операция гиперболического расширения квадратичных форм – обратная операция к хорошо известной операции гиперболической редукции. Было установлено, что для существования гиперболического расширения квадратичных форм необходима изотропность расширения векторных расслоений, по которому строится гиперболическое расширение. При этом было доказано, что множество всех гиперболических расширений данной квадратичной формы относительно данного изотропного расширения расслоений является главным однородным пространством над некоторой естественной абелевой группой. Также было введено новое отношение эквивалентности на множестве квадратичных форм определенных на векторных расслоениях на данной схеме, порожденное гиперболической редукцией и гиперболическим расширением, названное гиперболической эквивалентностью и изучены его основные свойства. Было доказано, что соответствующие семейства квадрик в случае равенства размерностей бирациональны над базой и имеют равные классы в кольце Гротендика многообразий, а в случае разных размерностей была установлена связь между классами семейств квадрик в кольце Гротендика. Было доказано, что для обратных последовательностей Миттаг-Леффлера дуализируемых представимых ДГ категорий K-теория коммутирует с обратным пределом. Для этого в частности было доказано, что функтор из обычного обратного предела в обратный предел категорий Калкина является гомологическим эпиморфизмом. Данные результаты и их модификация были применены к формальным схемам. В частности, было доказано, что для категории ядерных модулей (построенная Клаузеном и Шольце) на формальной схеме K-теория эквивалентна обратному пределу спектров K-теории инфинитезимальных окрестностей. Было доказано, что для нестандартной категории пучков на топологическом многообразии (с краем) со значениями в дуализируемой категории, K-теория отождествляется с гомологиями Бореля-Мура со значениями в спектре K-теории от категории значений. Было получено более простое доказательство теоремы Каспровского и Вингеса о том, что K-теория стабильных бесконечность-категорий коммутирует с прямыми произведениями. Был построен пример последовательности триангулированных ДГ категорий над несовершенным полем, таких, что гомологии Хохшильда произведения не изоморфны произведению гомологий Хохшильда. Были исследованы два возможных выбора объектов из полных исключительных наборов Кузнецова–Полищука–Фонарева, образующих первый блок минимального лефшецева исключительного набора в ограниченной производной категории когерентных пучков на лагранжевых грассманианов. Были получены критерии полуортогональности подкруток данных объектов для различных выборов. С использованием данных критериев в ряде случаев была доказана полуортогональность соответствующих лефшецевых наборов. С использованием техники лагранжевых ступенчатых комплексов в ряде случаев была доказана полнота предложенных наборов, а также проверена гипотеза Дубровина в уточненной формулировке Кузнецова–Смирнова. В рамках проекта метод компаткификации лог-Калаби–Яу торических моделей Ландау–Гинзбурга был обобщен на некоторые взвешенные полные пересечения, торические вырождения которых не являются рефлексивными. С помощью предложенного обобщения для этих торических моделей Ландау–Гинзбурга было показано существование компактификации лог-Калаби–Яу. А именно, были построены бирациональные перестройки задающихся ими пучков в пучки многообразий Калаби–Яу, антиканонический класс которых линейно эквивалентен слою. С помощью программы минимальных моделей показано, что в этом случае для построенных моделей Ландау–Гинзбурга не существует гладких проективных моделей, антиканонический класс которых линейно эквивалентен слою. Исследованы свойства лагранжевых сфер в проективизации кокасательного расслоения к проективной плоскости. Установлено, что конструкция лагранжевой сферы в многообразии флагов в C^3 может быть естественным образом обобщена на случай проективизации кокасательного расслоения к проективному пространству любой размерности. Вместе с лагранжевыми сферами в таких проективизациях построены родственные примеры, представляющие гладкие лагранжевы подмногообразия топологического типа фактора прямого произведении пары нечетномерных сфер по диагональному действию U(1). Построены новые примеры многообразия модулей специальных бор - зоммерфельдовых циклов фиксированного типа для алгебраических многообразий. Развита дифференциальная геометрия многообразия модулей бор-зоммерфельдовых циклов фиксированного типологического типа. Построена естественная функция расстояния от точного лагранжева подмногообразия до скелета Вейнстейна дополнения алгебраического многообразия к обильному дивизору и исследованы ее свойства. Построены новые примеры лагранжевых подмногообразий в проективизации касательного расслоения к торическому многообразию. Показано, что имеется порядка n/2 топологически различных таких лагранжевых подмногообразий. Изучены когомологии и мотивы Андрэ неприводимых гиперкэлеровых орбифолдов. Доказано, что операторы Лефшеца, действующие на когомологиях гиперкэлеровых орбифолдов порождают ортогональную алгебру Вербицкого-Лоенги-Лунца. Изучена конструкция Куга-Сатаке для гиперкэлеровых орбифолдов и доказано, что когомологии гиперкэлеровых орбифолдов вкладываются как структуры Ходжа в когомологии абелевых многообразий. Дано определение мотивов Андрэ комплексных орбифолдов и доказан принцип деформации для мотивированных классов когомологий. Показано, что если мотив Андрэ гиперкэлерова орбифолда абелев, то мотив Андрэ любой деформации данного орбифолда также абелев. Рассмотрены примеры гиперкэлеровых орбифолдов, возникающие как частичные разрешения особенностей факторов схем Гильберта пар точек на К3-поверхностях и обобщенных куммеровых многообразий по действию симплектических инволюций. Доказано, что мотивы Андрэ таких орбифолдов абелевы. Был построен лефшецев набор на гладкой проективной компактификации симметрического пространства для группы G_2 с одномерной группой Пикара. Была доказана полнота этого набора. Кроме того, на этом многообразии были построены эквивариантные относительно действия группы G_2 векторные расслоения, а также расслоения на квадрики в их проективизациях. Для данной компактификации была проверена обобщенная гипотеза Дубровина, а именно было показано, что вычетная подкатегория построенного лефшецева набора порождена полностью ортогональным исключительным набором. Была изучена схема Гильберта прямых на этом многообразии. Показано, что множество семейств гладких хорошо сформированных взвешенных полных пересечений Фано допускает естественное разбиение по отношению к отклонению – разности коиндекса и коразмерности. В качестве приложения была получена классификация гладких хорошо сформированных взвешенных полных пересечений Фано малого отклонения. Также показано, что антиканоническая линейная система на гладком хорошо сформированном взвешенном полном пересечении Фано антиканонической степени 1 никогда не является свободной от базисных точек.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Было найдено более общее определение скрученного тензорного произведения двух ДГ алгебр над третей ДГ алгебройю Данная конструкция позволила получить новые ДГ алгебры с хорошими свойствами. Были доказаны теоремы, которые позволяют утверждать гладкость скрученного тензорного произведения при достаточно общих условиях на сомножители и ту ДГ алгебру над которой происходит произведение. Данные теоремы были применены к конечномерным ДГ алгебрам и было показано, что таким образом получаются новые неизвестные ранее классы гладких конечномерных ДГ алгебр. Более того, даже для случая конечномерных алгебр с двумя простыми модулями были построены новые гладкие алгебры, которые не были известны ранее. Было также показано, что данная конструкция позволяет получать все ранее известные примеры гладких алгебр, применяя конструкцию скрученного тензорного произведения к очень простым алгебрам типа Дынкина. В дополнении к этому было показано, что некоторые примеры, получаемые данной абстрактной конструкцией, имеют наглядный геометрический смысл. Например, было установлено, что такие категории являются некоммутативными разрешениями особенностей для рациональных кривых с особыми точками. Таким образом, были построены некоммутативные гладкие схемы, которые являются минимальными разрешениями особенностей для обычных коммутативных многообразий, в то время как обычные коммутативные разрешения не обладают данным свойством. Была звершена классификация классов гиперболической эквивалентности для плоских расслоений на квадрики над проективными пространствами. В частности, было показано, что два таких расслоения на квадрики гиперболически эквивалентны тогда и только тогда, когда их пучки коядер изоморфны (причем изоморфизм должен быть согласован с их сдвинутыми квадратичными формами), классы их общих слоев в группе Витта равны, а также классы их средних когомологий (при условии, что размерность проективного пространства четна, а линейное расслоение, в котором принимат значения квадратичные формы имеет нечетну степень). Была построена явная изотривиальная деформация, в которой специальный слой изоморфен орисферическому многообрази типа G2, а все остальные слои изоморфны изотропному ортогональному грассманиану двумерных подпространств в векторном пространстве размерности 7. Одна из приведенных конструкций использует явное бирациональное преодьразование тривиальной деформации изотропного ортогонального грассманиана, а вторая использует семейство расширений расслоения ранга 1 с помощь расслоения ранга 2 на пятимерной квадрике параметризованное аффинной прямой. Обе конструкции опиратся на вложение присоединенного грассманиана группы G2 в изотропный ортогональный грассманиан, а также описание его раздутия как проективного расслоения над пятимерной квадрикой. Было введено определение искючительного набора, индексированного частично упорядоченным множеством. Для случая, когда частично упорядоченное множество конечное и градуированное, была дана конструкция градуированных левого и правого двойственного исключительного набора. Для соответствующих градуированных двойственных исключительных наборов были построены соответствующие спектральные последовательности, сходящиеся к когомологиям объекта. Были построены градуированные двойственные наборы для наборов Кузнецова–Полищука–Фонарёва в ограниченных производных категориях когерентных пучков на лагранжевых грассманианах. При помощи полученных градуированных левых двойственных наборов были построены явные резовьвенты для неприводимых эквивариантных расслоений, получающихся применением функтора Шура, соотвествующего диаграмме Юнга с суммой сторон не превосходящей половины размерности пространства, к двойственным тавтологическим расслоениям. Было показано, что два определения хорошо сформированности не эквивалентны. Кроме того, показано, что оба понятия совпадают для квазигладких взвешенных полных пересечений размерности не меньше трех. Это позволяет использовать в этом случае утверждения, использующие оба понятия. Была исследована задача построения лагранжевых подмногообразий в симплектическом многообразии, допускающим гамильтоново действие группы. Было построено соответствие лагранжевых подмногообразий на исходном многообразии и на редуцированном симплектическом многообразии. Это позволило максимально широко обобщить конструкцию А. Миронова лагранжевых циклов в проективном пространстве. Эта конструкция была применена для построения лагранжевых подмногообразий в грассманиане Gr(1, n) прямых в проективном пространстве размерности n, на котором имеется стандартное действие n-мерного тора кэлеровыми изометриями. Посредством этого была получена нижняя оценка на число типов лагранжевых подмногообразий в Gr(1, n) в виде (n-2)(n-3)/2. При этом показано, что на самом деле эта оценка не является эффективной: в рассмотренном примере грассманиана Gr(1,4) показано, что кроме лагранжева 6-тора реализуется еще один тип 4-тор х 2-сфера (и конечно же имеется еще один топологический тип, поскольку вещественный грассманиан всегда представляет лагранжево подмногообразие в Gr(1, n)). Для любого гладкого 3-многообразия Фано X было показано, что поляризация его общего антиканонического сечения решёткой Pic(X) двойственна по Долгачёву—Никулину к поляризации общего слоя ручной компактификации торической модели Ландау—Гинзбурга Z над P^1 (явно построенной) решёткой инвариантов монодромии. Более того, доказано, что если антиканонический класс многообразия X является очень обильным, то пространство деформации пар (Z, F) образует полное семейство Pic(X)^*-поляризованных K3 поверхностей. Как следствие, получено, что для любого такого 3-многообразия Фано X соответствующее пространство модулей Pic(X)^*-поляризованных K3 поверхностей унилинейчато. Для любого гладкого 3-многообразия Фано вида X = P^1 x S, где S — поверхность дель Пеццо с очень обильным антиканоническим классом, явно построена торическая модель Ландау—Гинзбурга для пары (X, D), где D — произвольный дивизор на X. Проверено, что решётка инвариантов монодромии такого семейства не зависит от выбора дивизора D. Показано, что сильные неф-разбиения для гладких хорошо сформированных взвешенных полных пересечений Фано могут не существовать в случае любой коразмерности, большей 3. Доказано достаточное комбинаторное условие для существования сильных неф-разбиений, зависящее только от весов проективного пространства. Были описаны две общие конструкции с расслоениями квадрики. С помощью этих конструкций были изучены разные G_2-эквивариантные расслоения на квадрики на грассманиане Кэли и доказана самодвойственность некоторых G_2-эквивариантных векторных расслоений на грассманиане Кэли. Построены некоторые самодвойственные G_2-эквивариантные длинные точные последовательности на грассманиане Кэли. Описанные конструкции с расслоениями на квадрики позволяют геометрически доказать полноту построенного исключительного набора в ограниченной производной категории когерентных пучков на грассманиане Кэли. Были проведены исследования, связанные с гомологической проективной двойственностью для грассманиана двумерных плоскостей в чётномерном векторном пространстве. В качестве разрешения особенностей было рассмотрено семейство пар: 2-форма на чётномерном пространстве и двумерное пространство в её ядре. На нём были построен конкрентный список когерентных пучков. Было доказано, что каждый из этих пучков является исключительным объектом. Кроме упомянутого выше разрешения особенностей пфаффового многообразия можно рассмотреть семейство X_1 других пар: 2-форма на чётномерном пространстве и одномерное подпространство в её ядре. На многообразии X_1 был построен аналогичный исключительный набор когерентных пучков, и здесь удалось полностью доказать полуортогональность этого набора.