Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Мы ввели новые координаты для метрики Шварцшильда, называемые термальными координатами, которые зависят от массы черной дыры M и параметра b. Термальные координаты регулярны в пределе М, стремящемся к нулю, когда метрика Шварцшильда сводится к метрике Минковского. Мы также рассмотрели более общие сферически-симметричные метрики и решив задачу Коши, установили, что свойство иметь температуру не ограничивается случаями черных дыр или постоянного ускорения, а справедливо для широкого класса сферически-симметричных метрик, записанных в термальных координатах [1]. 2. Построена модель несекулярной динамики с критической зависимостью скорости квантового переноса от параметров системы. Обсуждается применение такой модели к модели квантового фотосинтеза, где виброны описываются классически. При этом критическая зависимость скорости переноса от параметров модели (то есть разрыв для скорости переноса, которая при определённых параметрах, близких к параметрам для максимальной скорости переноса, падает почти до нуля) отвечает наблюдаемому экспериментально для квантового фотосинтеза эффекту [2]. 3. Был предложен метод описания эволюции многочастичных открытых квантовых систем, учитывающий усреднение по быстрым осцилляциям. При этом предполагалось, что данные быстрые осцилляции связаны с динамикой таких систем без учёта взаимодействия. Такое описание приводит к существенным упрощением по сравнению с тем, которое данное усреднение не учитывает [3]. 4. Важным для понимания динамики открытых квантовых систем вопросом является релаксация резервуара. Соображения о релаксации резервуара часто используются при рассуждениях о необратимой динамике открытых квантовых систем. Однако при унитарной динамике не может происходить релаксации в строгом смысле, т.е. сходимости к одному фиксированному конечному (например, тепловому) резервуару для всех начальных состояний из определенного класса. Сходимость может иметь место только в слабом смысле. В отчетном году доказана термализация резервуара из континуума свободных квантовых гармонических осцилляторов, когда начальное состояние - смещенное тепловое состояние, а наблюдаемая непрерывно зависит от моды осциллятора. Скорость термализации оказывается связанной со степенью гладкости соответствующей функции. 5. Необратимость квантовой (как и классической) динамики часто связывают с бесконечностью системы или бесконечностью резервуара, с которым система взаимодействует. В том числе это используется в предыдущем пункте. Поэтому в этом контексте представляет интерес исследование динамики бесконечных систем и развитие соответствующего математического аппарата. Гамильтоновы потоки в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве, снабженном трансляционно инвариантной симплектической формой, изучаются с помощью мер, обладающих следующим свойством инвариантности. Вводятся в рассмотрение конечно-аддитивные меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно группы симплектоморфизмов, преобразующих в себя двумерные симплектические подпространства. С помощью введенных мер случайные гамильтоновы потоки в фазовом пространстве представлены случайными унитарными группами в пространстве функций, интегрируемых по инвариантной мере. Описаны свойства средних значений операторов сдвига вдоль случайных векторных полей [4]. 6. Для сферически симметричных решений SO(3)-калибровочной модели найдено распределение спинов в геометрической теории дефектов, которое соответствует непрерывному распределению дисклинаций. Показано, что для решения Богомольного-Прасада-Соммерфельда распределение спинов особенностей не имеет, а на больших расстояниях становится автомодельным. 7. Рассматривается бесконечномерный лапласиан, определяемый как среднее Чезаро производных по направлениям второго порядка на многообразии. Этот лапласиан задается выбором бесконечномерного вращения, т.е. кривой в группе ортогональных вращений. Показано, что при определенных условиях на кривую этот оператор связан с инстантонами на четырехмерном многообразии [5]. [1] I. Aref'eva, I. Volovich, “Quantum Explosions of Black Holes and Thermal Coordinates”, Symmetry, 14:11 (2022), 2298, 30 pp. https://dx.doi.org/10.3390/sym14112298 [2] S.V. Kozyrev, “Landau-Zener formula and non-secular transitions”, International Journal of Modern Physics A 37:20-21 (2022), 2243015, arXiv:2201.07223 https://dx.doi.org/10.1142/S0217751X22430151 [3] A. E. Teretenkov, “Effective Heisenberg equations for quadratic Hamiltonians”, Int. J. Mod. Phys. A, 37:20-21 (2022), 243020, 13 pp., arXiv: 2202.00826   https://dx.doi.org/10.1142/S0217751X22430205 [4] V.M. Busovikov, V.Z. Sakbaev, “Invariant measures for Hamiltonian flows and diffusion in infinitely dimensional phase spaces”, International Journal of Modern Physics, 37:20-21 (2022), 2243018 https://dx.doi.org/10.1142/S0217751X22430187 [5] B. O. Volkov, “Modified Lévy Laplacian on manifold and Yang–Mills instantons”, Int. J. Mod. Phys. A, 37:20-21 (2022), 2243022, 15 pp  arXiv: 2205.14351 https://dx.doi.org/10.1142/S0217751X22430229

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Проводились исследования открытых квантовых систем, в частности, применительно к проблеме потери информации при излучении черных дыр. Была рассмотрена проблема полного испарения черной дыры Шварцшильда, поставленная Хокингом и заключающаяся в том, что когда масса черной дыры исчезает, происходит взрыв температуры. Мы рассмотрели черную дыру Райсснера-Нордстрема, и показали, что если масса и заряд удовлетворяют определенному соотношению, то для малых масс возможно полное испарение черных дыр без взрыва температуры. В этом случае энтропия излучения следует кривой Пейджа и обращается в нуль в конце испарения. Были рассмотрены аналогичные результаты для вращающихся черных дыр Керра, Шварцшильда де Ситтера и Райсснера–Нордстрема-(анти) де Ситтера. Было проведено изучение поведения энтропии зацепленности излучения Хокинга для малых масс черных дыр Шварцшильда в рамках формализма островной формулы. Было показано, что при таком рассмотрении возникает проблема взрыва энтропии, что в свою очередь приводит к неограниченному росту энтропии фон Неймана и нарушению унитарной динамики. Разработан механизм, который позволяет разрешить эту проблему. А именно, механизм связи центрального заряда алгебры Вирасоро двумерной конформной теории поля, описывающей безмассовые поля материи вокруг черной дыры, с массой черной дыры. Это обеспечивает кривую Пейджа для вечных черных дыр и также позволяет получить полное испарение черной дыры без использования островной формулы в предположении адиабатического испарения. Этот результат является важным шагом для разрешения проблемы потери информации в черных дырах. 2. Построена модель популяционной генетики типа Лотки-Вольтерры с мутациями, связанная с моделью GAN (порождающих соревновательных сетей, generative adversarial networks) теории обучения. Для введённой модели описан эффект избирательного подавления узких пиков популяции, для модели GAN такой эффект отвечает подавлению эффекта переобучения в подходе алгоритмической устойчивости (в котором переобучение было связано с попаданием модели обучения в узкий минимум эмпирического риска в пространстве гипотез). Тем самым объяснен известный эффект подавления переобучения для модели GAN. 3. Открытые квантовые системы на больших временах по сравнению со временем распада корреляций с окружением часто имеют существенно более простую динамику по сравнению с динамикой на малых временах, которые меньше времени распада корреляций. В случае, когда корреляции с окружением не просто распадаются, но и быстро меняются за время распада, мы показали, что на больших временах это также приводит к упрощённой динамике, однако это для это требуется компенсация большой энергии этих быстрых изменений, большой энергией в системе. Кроме того, мы показали, что возникают дополнительные артефакты в начальных условиях, связанные с этими быстрыми изменениями и они могут конкурировать с артефактами, связанными со сложной начальной динамикой, которые мы обнаружили ранее. 4. Проводились исследования, посвященные развитию глубоких идей Н.Н. Боголюбова в кинетической теории в направлении их математически строгого обоснования. А именно, исследовался процесс возникновения «кинетического» состояния в двух широко использующихся моделях открытых квантовых систем: модели чистой декогеренции и модель «спин-бозон» при нулевой температуре резервуара в приближении вращающейся волны. В обоих случаях гипотеза о формировании кинетического состояния была подтверждена. Доказаны теоремы о формировании кинетического состояния, а также об ослабления корреляций при свободной динамике резервуара, в которых строго указано, для какого класса наблюдаемых данные эффекты имеют место. 5. Получены обобщения теоремы Якоби и Вейля на линейные потоки на бесконечномерном торе. Подобно классическим теоремам о линейном потоке конечной системы осцилляторов на конечномерном торе, получены условия для периодичности, транзитивности и эргодичности линейных потоков бесконечной системы осцилляторов на инвариантном торе. Доказано свойство неблуждания произвольной точки в фазовом пространстве бесконечномерного линейного потока счетной системы гармонических осцилляторов. Показано, что в бесконечномерном фазовом пространстве существует новый тип линейных потоков (отсутствующий в конечномерном случае). Траектория линейного потока такого типа не является периодической, но ее проекция на любое конечномерное симплектическое подпространство является периодической. Трансляционно-инвариантная мера в гильбертовом пространстве построена таким образом, что эта мера инвариантна относительно группы сдвигов вдоль бездивергентных векторных полей из широкого класса. Основным инструментом для построения меры является прямой предел бесконечномерных блоков с n-мерными измеримыми гранями. Введенная мера является (в некотором смысле) произведением счетного семейства мер Лебега на конечномерных евклидовых пространствах произвольной конечной размерности. В частности, найдены меры шаров произвольного радиуса. Случайные гамильтоновы потоки в бесконечномерном фазовом пространстве представлены случайными унитарными группами в гильбертовом пространстве. С этой целью фазовое пространство снабжено мерой, инвариантной относительно некоторой группы симплектоморфизмов. Полученное представление случайных потоков дает возможность применить методику усреднения по Чернову к случайным процессам со значениями в группе нелинейных операторов. Описаны свойства случайных унитарных групп и предельное распределение для композиций таких независимых одинаково распределенных операторнозначных процессов. 6. В рамках геометрической теории дефектов найдено распределение тензора деформаций в упругой среде для произвольно расположенных прямолинейных параллельных дефектов, каждый из которых представляет собой комбинацию клиновой и винтовой дислокации со своими углами дефицита и векторами Бюргерса. Эта задача решена впервые, что показывает преимущество геометрического подхода. 7. Лапласиан Леви – это дифференциальный оператор на пространстве функций на бесконечномерном гильбертовом многообразии. Такой лапласиан можно определить как среднее Чезаро вторых производных по направлениям. Модифицированный лапласиан Леви – это результат действия бесконечномерного вращения на лапласиане Леви. Определение модифицированного лапласиана Леви было перенесено на решения некоторых стохастических уравнений на четырехмерном компактном многообразии. Было найдено значение полученного оператора на стохастическом переносе. Были найдены соотношения на стохастический параллельный перенос, которые выполняются тогда и только тогда, когда порождающая параллельный перенос связность является инстантоном или антиинстантоном.