КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 23-41-00070

НазваниеПодходы нелинейной математической физики для изучения процессов в волоконных лазерах и нелинейного управления и возбуждения новых солитонных локализованных мод

РуководительКудряшов Николай Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2023 г. - 2025 г.

Конкурс№74 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными коллективами» (NSFC).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-218 - Математическое моделирование физических явлений

Ключевые словаПодходы нелинейной математической физики; новые оптические солитоны; солитонные возбуждения; нелинейное управление; волоконные лазеры

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Использование лазеров в волоконной оптике является чрезвычайно важным направлением современных научных исследований в связи с их широким применением в линиях оптической связи. В рамках данного проекта планируется провести исследование обобщенных локальных и нелокальных нелинейных уравнений Шредингера, уравнения Гинзбунга-Ландау и связанных с ними ряда других математических моделей с использованием методов численного моделирования процессов распространения оптических солитонов в нелинейной среде включая волоконные световоды и фотонные кристаллы. Основным направлением проекта российской исследовательской группы являются разработка численных методик на основе, как спектральных методов, так и нейросетевого моделирования, учитывающего законы сохранения и возможные аналитические решения для ряда обобщений нелинейного уравнения Шредингера. Предполагается также провести численное моделирование процессов распространения оптических солитонов используя разработанные в процессе выполнения проекта как спектральные, так и разностные методы, а также сравнить результаты математического моделирования, используя различные методики и оценить их достоинства и недостатки. В ходе выполнения проекта планируется изучить вопрос универсальности, разнообразия возбуждений и устойчивого распространения солитонных молекул, солитонных дождей, солитонных взрывов, «невидимых» солитонных пульсаций и вихревых узлов при использовании волоконных лазеров. Кроме того, будет проанализировано влияние дисперсии, нелинейности, усиления / потерь и эффектов их насыщения, эффекта спектральной фильтрации и эффекта нелинейного преломления и насыщения на интенсивность, ширину, скорость, временной сдвиг и фазу солитона. Это позволяет установить динамические свойства и осуществить нелинейное управление новыми солитонными возбуждениями. Китайская исследовательская группа имеет опыт проведения экспериментального возбуждения оптических солитонов, это позволит оптимизировать теоретические модели. Полученные результаты позволят обеспечить процесс обработки и передачи информации полностью в оптической области. Кроме того, эти результаты будут способствовать появлению новой полностью оптической технологии модуляции.

Ожидаемые результаты
При выполнении данного проекта планируется объединить классические и недавно разработанные нейросетевые методы для построения новых локализованных мод, возбуждения солитонных состояний и исследования динамических характеристик, а также изучить нелинейные механизмы управления для таких математических объектов как солитонные молекулы, солитонные дожди, солитонные взрывы и невидимые солитонные пульсации и вихревые узлы. Это будет способствовать созданию новой полностью оптической технологии модуляции, которая, как ожидается, окажет важное влияние в области нелинейной оптики и сверхбыстрых лазерных технологий. В ходе выполнения проекта ожидается получить следующие результаты: I. Аналитическое исследование: 1. Математические модели, учитывающие степенные нелинейности, а также обобщенные локальные и нелокальные особенности нелинейных уравнений Шредингера. 2. Аналитические решения задач нелинейной математической физики, описываемых обобщенными нелинейными уравнениями Шредингера. 3. Законы сохранения для обобщенных нелинейных уравнений Шредингера с локальными и нелокальными типами нелинейностей. 4. Развитие модели ромбической решетки волноводов, в которой учитываются конкурирующие нелинейности третьего и пятого порядков. Стационарные решения соответствующей системы уравнений и результаты изучения их устойчивости. 5. Формулировка модели гиперболического нелинейного уравнения Шредингера с учетом нелинейностей третьего и пятого порядков и дисперсии групповых скоростей высших порядков. Результаты исследования модуляционной неустойчивости однородных решений полученного уравнения. Развитие обобщения гиперболического нелинейного уравнения Шредингера на случай поляризованного излучения. 6. Зависимость параметров решетки волноводов от координат бинарной решетки волноводов, которая обеспечивает локализацию в ней электромагнитной волны. 7. Частные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера и системы двух нелинейных уравнений Шредингера с конкурирующими нелинейностями. Характеристики модуляционной неустойчивости пространственно-однородного решения этого уравнения. 8. Периодические и локализованные решения нелокального нелинейного уравнения Шредингера с конкурирующими нелинейностями в неоднородной среде. Условия образования стационарных локализованных волн, описываемых данной моделью, полученные с помощью вариационного метода. 9. Периодические и локализованные решения обобщенного нелинейного уравнения Шредингера, описывающего распространение волн в нелинейных киральных средах с учетом высших порядков дисперсии и нелинейности более третьего порядка. II. Численные методы и машинное обучение: 1. Программный код для численного моделирования распространения импульсов в оптических линиях связи для различных типов обобщений нелинейного уравнения Шредингера. 2. Результаты верификации программного кода для описания распространения импульсов в оптических линиях связи при учете периодических граничных условий. 3. Результаты численного моделирования распространения солитонов в оптических линиях, описываемых нелинейными уравнениями Шредингера при учете периодических граничных условий. 4. Результаты исследования влияния параметров обобщенных нелинейных уравнений Шредингера на распространение импульсов в линиях оптической связи. 5. Результаты исследования устойчивости оптических солитонов обобщенных нелинейных уравнений Шредингера при распространении импульсов с учетом различного типа и уровня возмущений. 6. Формализация постановки задач нейросетевого решения нелинейных уравнений Шредингера для различных типов обобщений. 7. Результаты анализа возможностей управления при распространении импульсов в оптических линиях для математических моделей, описываемых обобщенными нелинейными уравнениями Шредингера. 8. Разностные схемы, позволяющие выполнить численное моделирование распространения уединенных импульсов в оптических линиях, учитывающих обобщенные локальные и нелокальные законы. 9. Программный код для численного моделирования распространения импульсов, описываемых обобщенными нелинейными уравнениями Шредингера с учетом краевых условий первого и второго типа. 10. Результаты тестирования программного кода численного моделирования распространения импульсов в оптических линиях связи с учетом краевых задач первого и второго типа. 11. Результаты исследования влияния краевых условий и параметров дифференциальных уравнений при моделировании распространения импульсов, описываемых обобщенными нелинейными уравнениями математической физики. 12. Результаты численного моделирования брэгговских солитонов при изменении показателя преломления нелинейной среды от длины волны. 13. Методика численного моделирования распространения пространственно-временных солитонов с учетом эффектов высших порядков. 14. Методы нейросетевого моделирования распространения импульсов в оптических линиях с учетом обобщенных локальных и нелокальные типов нелинейности, описываемых неинтегрируемыми нелинейными уравнениями математической физики, включая: выбор методов нормализации и кодирования входных данных; подбор топологии нейронной сети, функций активации и конкретного вида параметров Loss функции, а также выбор метрики оценки точности результатов. 15. Выборки примеров для обучения нейросетевых методик. 16. Выбор оптимальных гиперпараметров нейросетевых методик, в том числе с использованием автоматизированных методов их подбора. 17. Обучение нейросетевых методик для описания процессов распространения оптических импульсов на основе точных решений нелинейных математических моделей и найденных законов сохранения. 18. Обучение нейросетевых методик, описывающих процессы распространения оптических солитонов на основе численного моделирования взаимодействия импульсов. 19. Результаты численного моделирования распространения оптических солитонов, описываемых обобщенными нелинейными уравнениями математической физики с учетом ограниченных законов сохранения. 20. Расчетные эксперименты по тестированию программного кода для численного моделирования оптических солитонов, разработанного на основе нейросетевого моделирования. 21. Результаты численного моделирования распространения оптических солитонов, описываемых обобщенными нелинейными уравнениями математической физики на основе нейросетевого моделирования процессов взаимодействия импульсов. 22. Методы управления распространения оптических солитонов в линиях передачи информации с учетом коэффициентов, зависящих от времени и координаты обобщенных нелинейных уравнениях Шредингера. 23. Результаты сравнения результатов численного моделирования распространения оптических импульсов, полученных с использованием псевдо-спектральных методов с результатами нейросетевого моделирования распространения оптических солитонов на основе выбранных метрик. Оценка временных затрат на получение результата обоими методами. 24. Формулировка достоинств и недостатков методик численного моделирования распространения импульсов в оптических линиях, построенных на основе псевдоспектральных методов и нейросетевого моделирования. III. Эксперимент (на площадке китайской исследовательской группы): 1. Экспериментальная платформа для верификации и оптимизации теоретической модели. 2. Результаты проверки нелинейного механизма управления возбуждением различных новых солитонных локализованных мод с использованием волоконного лазера. 3. Набор экспериментальных данных для оптимизации и верификации математических моделей. Исследовательская значимость ожидаемых результатов заключается в следующем: 1. В проекте планируется изучить различные обобщённые нелинейные уравнения Шрёдингера и связанные с ними математические модели и построить приближённые решения задач, описывающих различные виды новых локальных солитонных мод с использованием методов машинного обучения. Результаты исследований позволят расширить область применения нейросетевых методов. С другой стороны, эти результаты исследований позволят найти новые идеи для изучения сложного нелинейного поведения солитонов в оптических системах. 2. Результаты исследования могут способствовать созданию новой технологии полностью оптической модуляции, которая может быть использована для разработки нового поколения полностью оптических устройств, заменяющих традиционные электрооптические и оптоэлектронные устройства. Эти результаты обеспечивают условия и средства для распространения информации полностью в оптической области. Ожидается, что результаты окажут важное влияние в области нелинейной оптики и сверхбыстрых лазерных технологий. 3. Управляющие уравнения, рассматриваемые в проекте, связаны с нелинейным уравнением Шредингера, описывающим распространение лазерного импульса в волоконном лазере. Кроме того, эти уравнения описывают различные физические структуры, такие как уединенные возмущения среды в бозе-эйнштейновском конденсате, солитонную волну в плазме и магнитный солитон в спинтронике. Таким образом, исследовательская работа этого проекта также будет способствовать развитию смежных дисциплин, таких как физика конденсированного состояния, физика плазмы, спинтроника и других областей исследований.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Как правило, для моделирования лазерных импульсов в нелинейной волоконной оптике используется нелинейное уравнение Шредингера, которое учитывает керровскую нелинейность показателя преломления среды. Главным преимуществом этого уравнения по сравнению со многими другими математическими моделями является то, что задача Коши для этого уравнения может быть решена методом обратной задачи рассеяния. Однако моделирование реальных оптических сред приводит к более сложным неинтегрируемым уравнениям со сложной зависимостью показателя преломления и учётом дисперсии высокого порядка. Это приводит к трудностям, как при построении аналитических решений математических моделей, так и при разработке методов численного моделирования. В данном проекте основной задачей российской исследовательской группы является совершенствование как классических методов аналитического и численного моделирования задач нелинейной оптики, так и разработка новых подходов, использующих методы нейросетевого моделирования и машинного обучения, основанных на возможных аналитических решениях и основных законах сохранения для ряда обобщений нелинейного уравнения Шрёдингера. Так, при выполнении первого этапа проекта был разработан алгоритм построения законов сохранения для ряда обобщённых нелинейных уравнений Шрёдингера с использованием прямых вычислений. В работе [Kudryashov N.A., Mathematics, 11, 2304, (2023)] рассмотрены некоторые типы обобщенных нелинейных уравнений Шрёдингера второго, четвертого и шестого порядков. Задача Коши для этих уравнений не может быть решена методом обратной задачи рассеяния. Для обобщенного нелинейного уравнения Шрёдингера второго порядка с произвольной интегрируемой нелинейностью получены общие выражения для трех законов сохранения, характеризующих мощность, импульс и энергию волны. Получены общие выражения для гамильтониана обобщенных нелинейных уравнений Шрёдингера четвертого и шестого порядков с произвольной нелинейностью. При выполнении проекта также получен закон сохранения для обобщенного уравнения Каупа-Ньюэлла с произвольной нелинейностью. Разработанный метод применён для построения гамильтонианов для шести широко известных обобщений нелинейного уравнения Шрёдингера. При выполнении проекта изучено обобщённое нелинейное уравнение Шрёдингера четвертого порядка с произвольным показателем преломления [Kudryashov N.A., Optik, 286, 170993, (2023)]. Найдены законы сохранения мощности, импульса и энергии волны для обобщенного нелинейного уравнения Шрёдингера четвёртого порядка с произвольным показателем преломления. Получены аналитические решения обобщенного нелинейного уравнения Шрёдингера четвёртого порядка с произвольным показателем преломления в виде светлых оптических солитонов. Посредством вычисления интегралов рассчитаны сохраняющиеся величины для найденных солитонных решений. При выполнении первого этапа проекта изучено комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау [Kudryashov N.A., Physics Letters A, 481, 128994, (2023)]. Показано, что этому уравнению соответствуют три закона сохранения. Эти законы сохранения находятся с помощью метода прямых преобразований. Найден яркий оптический солитон комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. Рассчитаны сохраняющиеся величины, соответствующие мощности, импульсу и энергии оптического солитона. При выполнении первого этапа проекта был предложен метод управления хаосом в динамических системах, соответствующих ряду редукций к переменным бегущей волны обобщённых нелинейных уравнений Шрёдингера. В работе [Lavrova S.F., Kudryashov N.A., Optical and Quantum Electronics, 55:903, (2023)] рассмотрено обобщение комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. При помощи метода Мельникова получено необходимое условие возникновения гомоклинического хаоса для редукции к переменным бегущей волны периодически возмущенного обобщенного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. В систему дифференциальных уравнений, соответствующую периодически возмущенному обобщенному комплексному уравнению Гинзбурга-Ландау, введены малое затухание и подавляющее хаос периодическое возмущение. При помощи метода Мельникова проведена оценка промежутков значений параметров, подавляющих гомоклинический хаос в полученной системе. Для проверки полученных предсказаний были построены бассейны притяжения аттракторов системы. Проведенное численное моделирование хорошо согласуется с аналитическими оценками, полученными при помощи метода Мельникова. В совместной работе с зарубежной исследовательской группой рассмотрена также другая модификация комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау, связанная с учётом антикубической нелинейности [Kudryashov N.A., Zhou Q., Dai Ch-Q., Phys. Lett. A, 490 129172, (2023)]. С использованием модифицированного метода простейших уравнений для нахождения точных решений нелинейных уравнений в частных производных для данного уравнения получены новые решения в виде уединенных волн с произвольными скоростью и амплитудой. Для нахождения точных решений комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау с антикубической нелинейностью был также применён другой подход, связанный с вычислением первого интеграла и дальнейшими прямыми расчётами. Для найденного решения в виде уединённой волны вычислена сохраняющаяся величина, характеризующая мощность волны. Помимо построения законов сохранения обобщённой модели Каупа–Ньюэлла, позволяющей описывать распространение фемтосекундных импульсов в сильно нелинейном оптическом волокне, рассмотренных в работе [Kudryashov N.A., Mathematics, 11, 2304, (2023)], при выполнении проекта проведено исследование этой модели с целью нахождения аналитических решений [Kutukov A.A., Kudryashov N.A., Optik, 293, 171437, (2023)]. Методом прямых преобразований построено общее решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, соответствующего обобщённому уравнению Каупа–Ньюэлла, выраженное с помощью эллиптических интегралов первого и третьего рода. С помощью метода неявных функций для обобщенного уравнения Каупа–Ньюэлла найдены двоякопериодические решения на комплексной плоскости и оптические солитоны.

Публикации

1. Кудряшов Н.А. Hamiltonians of the Generalized Nonlinear Schrödinger Equations Mathematics, Volume 11(10), 2304 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.3390/math11102304

2. Кудряшов Н.А. Conservation laws and Hamiltonian of the nonlinear Schrödinger equation of the fourth order with arbitrary refractive index Optik, Volume 286, 170993 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2023.170993

3. Кудряшов Н.А. Conservation laws of the complex Ginzburg-Landau equation Physics Letters A, Volume 481, 128994 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1016/j.physleta.2023.128994

4. Кудряшов Н.А., Чжоу Ц., Дай Ч.-Ц. Solitary waves of the complex Ginzburg-Landau equation with anti-cubic nonlinearity Physics Letters A, Volume 490, Article number 129172 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1016/j.physleta.2023.129172

5. Кутуков А.А., Кудряшов Н.А. Analytical solutions of the generalized Kaup–Newell equation Optik, Volume 293, Article number 171437 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2023.171437

6. Лаврова С.Ф., Кудряшов Н.А. Suppression of chaos in the periodically perturbed generalized complex Ginzburg–Landau equation by means of parametric excitation Optical and Quantum Electronics, Volume 55, Article number 903 (год публикации - 2023) https://doi.org/10.1007/s11082-023-05194-w

7. В.А. Медведев, Н.А. Кудряшов Численное исследование солитонных решений нелинейного уравнения Шрёдингера с тройной нелинейностью ЛАЗЕРНЫЕ, ПЛАЗМЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И ТЕХНОЛОГИИ - ЛАПЛАЗ-2023. Сборник научных трудов IX Международной конференции. Москва., с. 125 (год публикации - 2023)

8. Карачурин Р.Н., Ладыгин С.А., Рябов П.Н., Шильников К.Е., Кудряшов Н.А. Exploring the Efficiency of Neural Networks for Solving Dynamic Process Problems: The Fisher Equation Investigation Studies in Computational Intelligence, volume 1130 (год публикации - 2023)

9. Кутуков А.А., Кудряшов Н.А. Применение системы компьютерной алгебры для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений с использованием логистической функции СБОРНИК ТЕЗИСОВ XXVIII ВСЕРОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ, с. 56-58 (год публикации - 2023)

10. Лаврова С.Ф., Кудряшов Н.А. Controlling Chaos in the Perturbed Generalized Ginzburg-Landau Equation AIP Conference Proceedings, - (год публикации - 2024)

11. Сбоев А.Г., Кудряшов Н.А., Молошников И.А., Нифонтов Д.Р., Завертяев С.В., Рыбка Р.Б. Application of machine learning to construct solitons of generalized nonlinear Schrödinger equation Studies in Computational Intelligence, volume 1130 (год публикации - 2023)