Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1. Исследованы вопросы корректности обратных задач об определении потока на границе области с условиями переопределения в виде интегралов от решения с весом по границе области или ее части. Поток (коэффициент теплопередачи) ищется в виде конечного отрезка ряда Фурье с неизвестными коэффициентами зависящими от времени. Были исследованы вопросы существования и единственности решений и наличие оценок устойчивости, а также разработаны численные алгоритмы построения решения по определению потока. Найденные условия корректности задачи локальные по времени получены в виде отличия от нуля некоторого определителя, построенного по данным задачи. Разработаны алгоритмы численного решения задачи об определении потока как в случае размерности по пространству 2 так и в случае размерности 3, проведены численные эксперименты. В качестве пространственной области, в которой рассматривается уравнение, была взята цилиндрическая области. Области такого типа наиболее часто возникают в приложениях и при численном моделировании. Программы предполагается использовать при численном моделировании в задачах определения удельных потоков парниковых газов из почвы методом обратной задачи. Алгоритмы основаны на полученных теоретических результатах а также на методе конечных элементов и методе конечных разностей. 2. В качестве модели для расчета концентраций метана в почке рассматирвалось параболическое уравнение второго порядка. Теоретически исследована задача определения концентрации метана в почве с учетом поглощения метана метонотрофами по данным замеров концентраций в точках области. Задача сводится в решения обратной задачи по определению коэффициента поглощения. Это функция является младшим коэффициентом в параболическом уравнении, который ищется в виде конечного отрезка ряда с неизвестными коэффициентами Фурье. В общем случае получены теоремы существования и единственности (в некотором шаре) решений обратной задачи для малых данных. С целью определения средней величины поглощения была рассмотрена задача об определении числового коэффициента перед коэффициентом поглощения. В этом частном случае получена глобальная по времени теорема существования и единственности решений задачи об определении этой постоянной и распределения концентрации газа. Для всех численных экспериментов был использован метод глобальной оптимизации -дифференциальная эволюция, обеспечивающий устойчивость при поиске решений в задачах с многомерными и негладкими пространствами параметров. Исследование проводилось для одномерного стационарного, одномерного, двумерного и трехмерного нестационарного случаев. Получены и описаны результаты серии численных экспериментов, направленных на решение обратной задачи восстановления параметров функции скорости переноса газа в пористой среде. В одномерном стационарном случае и в одномерном и двумерном нестационарном случае обратная задача решается с высокой точностью. Метод дифференциальной эволюции показывает устойчивость и способность находить глобальный минимум, несмотря на скачкообразный характер оптимизации. В четырёхмерной постановке (время + пространственная переменная) точность заметно снижается, что указывает на необходимость увеличения числа измерений концентрации, усложнения параметризации функции $g(x,t)$ и применения гибридных схем. 3. Исследованы вопросы коррректности обратных задач определения коэффициента теплопередачи на границе раздела двух сред. Коэффициент теплопередачи ищется в виде конечного отрезка ряда Фурье с неизвестными коэффициентами зависящими от времени. В качестве условий сопряжения используются условия неидеального контакта. В качестве условий переопределения используются набор средних – интегралов от решения с весом по пространственной области. Условия переопределения в виде задания набора некоторых средних величин в литературе используются редко. Кроме всего прочего, такие данные могут быть использованы как приближения точечных условий переопределения, для построения приближенного решения обратных задач с точечными условиями переопределения. Получены оптимальные условия существования и единственности решений а также наличие оценок устойчивости. Все рассмотрения проводятся в пространствах Соболева. Доказательство основано на получаемых априорных оценках и теореме о неподвижной точке. Разработан алгоритмы построение решения таких задач основанный на методе конечных элементов и конечных разностей (неявная схема). Проведены численные эксперименты. Описаны результаты численных экспериментов. Они показывают хорошую сходимость алгоритма, его точность и устойчивость при случайном возмущении данных. 4. Для квазилинейного параболического уравнения исследвана рассмотрена задача определения коэффициентов старшей части уравнения, которая нелинейным образом зависит от решения. Задача в частности, возникает при описании теплдовых режимов почв северных территорий. Получены теоремы существования и единственности в случае когда неизвестные функции входящие в нелинейный коэффициент теплопроводности зависят о времени. Работа сейчас в стадии оформления. Рассмотрены интегральные условия переопределения. 5. Разработана новая динамическая математическая модель, учитывающая процессы конвекции и диффузии газов в почвах, поглощение газов растениями, а также влияние температурных режимов на интенсивность этих процессов. Модель основана на физически обоснованном разделении процессов трансформации органического вещества и явно учитывает влияние уровня грунтовых вод на переход между аэробными и анаэробными условиями в почвенном профиле. Модель описывает углеродные потоки в болотных экосистемах с использованием двух основных пулов органического углерода: Live (относительный запас углерода в живой растительной биомассе) и Mort (относительный запас углерода в отмерших органических материалах). Модель включает расширенный метановый цикл, детализирующий процессы метаногенеза в анаэробных зонах и последующее окисление метана (метанотрофию) как в аэробном поверхностном слое почвы, так и в ризосфере растений. Особое внимание уделено механизмам переноса газов, включая молекулярную диффузию, конвективный перенос с почвенными растворами и критически важный растение-опосредованный транспорт метана через аэренхиму, который является доминирующим путем эмиссии CH4 в атмосферу. Ключевым элементом модели является функция контроля уровня грунтовых вод, которая нелинейно регулирует соотношение объемов аэробной и анаэробной зон и тем самым перераспределяет потоки углерода между процессами аэробного дыхания и метаногенеза.