Новости

22 апреля, 2021 17:40

Получено точное решение неоднородной задачи теории упругости в «прямоугольнике»

Источник: Коммерсант
Ученые нашли точное решение для класса сложных инженерных задач, впервые использовав соотношение ортогональности Папковича вместо обычно применяемого интегрального преобразования Фурье. Исследования поддержаны грантом президентской программы Российского научного фонда (РНФ).
Общая схема неоднородной задачи. Фиолетовыми стрелками показана нагрузка, действующая внутри области. Источник: Александр Кержаев

Чтобы избежать трещин, деформаций и разрушения элементов сложных конструкций, инженерам необходимо учитывать то, как объект поведет себя при нагрузке. Это, в свою очередь, требует сложнейших математических расчетов при проектировании. Один из открытых вопросов инженерии связан с решением прикладных задач для того случая, когда нагрузка приложена не на границах, а внутри области. Такие случаи называются неоднородными краевыми задачами теории упругости. В них нужно найтиточные решения неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющие тем или иным условиям на границе области. Одна из таких задач — передача нагрузки от упругого элемента, расположенного внутри области, к тонкому листу. На практике она реализуется, например, при взаимодействии стрингера (продольный элемент каркаса) самолета и его обшивки.

«В 1960–1980-х годах этим задачам уделялось огромное внимание многих выдающихся ученых, но сейчас их работы в значительной степени забыты. Отчасти это связано с тем, что формулы, описывающие решение, достаточно сложны и требуют от исследователя значительных математических навыков. Вторая и главная причина состоит в том, что все решения были приближенными. Поэтому от статьи к статье подходы сильно отличались, что сказывалось и на результатах»,— рассказывает руководитель проекта по гранту РНФ Александр Кержаев, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Ученые из Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН (Москва) предложили метод построения точных решений неоднородных задач теории упругости в полуполосе. С точки зрения инженерии полуполосой является прямоугольник, у которого длина значительно больше ширины — например, достаточно длинная бетонная балка. Закрепим эту балку горизонтально, полагая, что внутри нее действует массовая нагрузка, передаваемая к ней через металлический каркас. Концы этой балки могут быть, например, свободными или жестко закрепленными. Для безопасности и долговечности конструкции необходимо знать, как внутри нее распределяются напряжения. Точное решение этой задачи всегда представляло большой прикладной и теоретический интерес.

Предложенный учеными метод построения состоял в следующем: вначале они решили неоднородную задачу для бесконечной полосы, впервые применив для этого соотношение ортогональности Папковича. Затем к нему добавили соответствующее решение однородной задачи для полуполосы (полученное авторами ранее), с помощью которого удовлетворяются граничные условия на торце. Использование соотношения ортогональности вместо классического способа — интегрального преобразования Фурье — быстро приводит к цели. Полученное решение является точным, так как коэффициенты разложений в ряды по собственным функциям Папковича—Фадля определяются в явном виде. Это решение базируется на принципиально новом математическом аппарате, разработанном авторами в предыдущих работах.Ученые продемонстрировали метод на примерах точных решений двух неоднородных краевых задач теории упругости для полуполосы со свободными длинными сторонами. В первом случае торец полуполосы свободен, а во втором он жестко защемлен.

«Соотношение ортогональности Папковича остается справедливым и для других типов однородных граничных условий на сторонах полосы, в частности, когда ее стороны жестко защемлены. Поэтому данным методом можно находить простые точные решения для широкого круга неоднородных краевых задач в полосе с различными однородными граничными условиями на ее длинных сторонах. Эти решения также будут представляться рядами по собственным функциям Папковича—Фадля»,— прокомментировал Александр Кержаев.

Исследования проводились совместно с коллегой из Технологического университета Циндао (Китай).

29 апреля, 2021
Нейронные сети научились лучше искать сужения кровеносных сосудов
Международный коллектив ученых разработал алгоритм, который находит сужения кровеносных сосудов серд...
25 февраля, 2021
Профессор ИТМО Александр Бухановский ― о том, как искусственный интеллект может помочь экономике в условиях кризиса
Недавно проект директора мегафакультета трансляционных информационных технологий Александр...