Новости

12 декабря, 2017 18:59

Математики Державинского университета подводят итоги работы по проекту Российского научного фонда

Три года назад научный коллектив, в который вошли математики ТГУ имени Г.Р. Державина, МГУ имени М.В. Ломоносова и Российского университета дружбы народов, получил крупный грант Российского научного фонда на проведение исследований. Итоги трехлетней работы по этому проекту подводит его руководитель: директор Научно-исследовательского института математики, физики и информатики ТГУ профессор Евгений Жуковский.
Фото: scienews.com/

Проект, финансируемый Российским научным фондом, называется «Разработка математического аппарата исследования непрерывных и дискретных задач оптимизации». В коллектив вошли известные российские математики: профессор МГУ, заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации РУДН Арам Арутюнов и профессор МГУ Алексей Измаилов. В это же время наибольшее количество исследователей – молодые ученые и аспиранты. Для участия в проекте в ТГУ начали работать недавно защитившие кандидатские диссертации два выпускника аспирантуры МГУ имени М.В. Ломоносова Евгений Усков и Алексей Куренной. В научную команду также вошли выпускники Державинского, проходящие обучение в аспирантуре Норвежского университета естественных наук Евгений Бурлаков и Илья Забродский. В сентябре этого года Евгений окончил обучение в Норвегии, защитил PhD-диссертацию «Методы функциональ­ного анализа в теории нейронных полей» и вернулся в Тамбов. Сейчас он работает научным сотрудником в ТГУ имени Г.Р. Державина.

Научные проблемы, которые решают исполнители проекта, касаются одних из самых востребованных практикой математических задач нахождения экстремальных значений различных отображений. Экстремальные задачи приходится решать в любых видах человеческой деятельности. От качества их решения зависит эффективность любой работы и конкретного человека, производственных коллективов и любых общественно-экономических объединений. Такие задачи многообразны не только на практике. С точки зрения математических методов, используемых для их решения, это и функциональный анализ, и дискретная математика, и теория дифференциальных уравнений, и численные методы. В научном коллективе есть специалисты в разных областях математики, и объединяет эти далекие математические исследования единая цель  – применение к проблемам оптимизации.

За три года коллективом получены результаты, получившие признания коллег. Для изучения функциональных, дифференциальных, интегральных уравнений многими исследователями теперь используются результаты участников проекта о точках совпадения отображений в метрических и упорядоченных пространствах. Точки совпадения – это естественное обобщение классического математического понятия неподвижной точки. Что означают эти термины? Пусть задан некоторый закон F преобразования элементов множества X (в математике принято называть этот закон F оператором на множестве X); его неподвижной точкой будет такой элемент x из множества X, который не изменяется в результате этого преобразования, то есть x является решением уравнения x=F(x). Оказывается, что к задаче о неподвижной точке сводятся самые разные уравнения, включая дифференциальные, а это мощнейший инструмент изучения динамики самых разных явления и процессов. В 1922 году польский математик Стефан Банах доказал теорему о существовании единственной неподвижной точки в случае, если X – это метрическое пространство, то есть в нем установлено расстояние между любыми двумя элементами, а под действием оператора F это расстояние сокращается. Эта теорема является одним из наиболее используемых утверждений анализа, широко применяется во многих разделах математики, ее модификациям и обобщениям посвящается огромное число научных публикаций. Точкой совпадения двух операторов F,G называется решение уравнения G(x)=F(x). Теорему о существовании точки совпадения для отображений метрических пространств получил Арам Владимирович Арутюнов. Если G – простейшее отображение, не изменяющее никаких элементов множества X, то теорема Арутюнова превращается в теорему Банаха.

Участникам проекта удалось получить теорему о точке совпадения в упорядоченных пространствах. Важно, что из этого результата можно вывести и большинство известных утверждений о точках совпадения и неподвижных точках в метрических пространствах, а также новые перспективные для приложений утверждения. С помощью этих результатов в проекте удалось добиться продвижений в исследовании неявных дифференциальных уравнений. Такими уравнениями описываются некоторые задачи небесной механики, задачи управления сложными техническими системами, включая робототехнические системы и др. Теоретические исследования неявных дифференциальных уравнений встречают серьезные трудности. К таким уравнениям неприменимы теоремы о неподвижной точке. В исследовании таких уравнений можно использовать утверждения о точках совпадения, полученные участниками проекта. В результате получены новые результаты о краевых задачах, задачах управления для неявных дифференциальных уравнений, найдены оценки решения, предложены численные схемы.

– Это лишь одно из научных направлений проекта, – говорит профессор Евгений Жуковский. – Участники нашего коллектива провели очень интересные исследования нейронных сетей, моделирующих высшую мозговую деятельность. Модели представляют собой системы функционально дифференциальных уравнений, к которым также можно применять разрабатываемые нами методы анализа. Результаты этих исследований активно используют в биологических исследованиях в Норвежском университете естественных наук. В проекте также были проведены очень интересные исследования дискретных задач оптимизации. Эти задачи связаны с теорией вероятности, статистикой, логикой. Мы рассмотрели свойства так называемых «случайных графов». Это один из самых молодых разделов математики, его развитие связано с созданием телекоммуникационных сетей и интернета.

По словам Евгения Семеновича, главное в научной работе – это думать о задаче везде: и дома, и на работе, и на прогулках. Для математиков также очень важен научный обмен. Для этого во всех математических коллективах организуются семинары, на которых математики обсуждают полученные результаты. Действует такой семинар и в ТГУ – это Тамбовский городской семинар по функционально-дифференциальным включениям и уравнениям. В работе семинара принимают участие преподаватели, аспиранты и студены, сотрудники других вузов. В 2018 году в Державинском пройдет восьмая международная конференция «Колмогоровские чтения». Традиционно на родине великого математика Андрея Колмогорова, в Тамбове, отечественные и зарубежные ученые обсудят актуальные математические проблемы.

27 мая, 2024
Засоление воды угрожает выживанию планктонных рачков
Красноярские ученые обнаружили негативное влияние повышенной солености на планктонных рачков. Иссл...
27 мая, 2024
Создана лазерная технология защиты драгоценностей из серебра от подделок
Российские и зарубежные физики разработали подход, позволяющий наносить при помощи лазера сложно у...