Новости

13 октября, 2017 14:40

Российские математики обобщили знания о глобальной оптимизации

Источник: Газета.ru
В издательстве Springer при поддержке Российского научного фонда (РНФ) вышла книга «Детерминированная глобальная оптимизация: введение в диагональный подход». Ее авторы — профессор кафедры математического обеспечения и суперкомпьютерных технологий Института информационных технологий, математики и механики Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского, д.ф.-м.н. Ярослав Сергеев и научный сотрудник того же университета, к.ф.-м.н. Дмитрий Квасов. Последние результаты по данной теме были представлены на Молодежной научной школе «Высокопроизводительные вычисления, оптимизация и приложения», которая прошла с 7 по 10 сентября 2017 года в Нижнем Новгороде.
На фото: Ярослав Сергеев. Фото из личного архива

Книга посвящена одной из интереснейших областей математического программирования – глобальной оптимизации. Задачей глобальной оптимизации называют поиск оптимальных решений в различных областях человеческой деятельности. Оптимизировать функцию – значит найти ее минимум, то есть минимальное значение, в определенном интервале или во всей области определения. Традиционные методы оптимизации, которым учат в курсе высшей математики, обычно сводятся к поиску локальных минимумов функций и зачастую не позволяют найти глобальный.

В реальном мире при решении многих прикладных задач (инженерных, математических, задач управления) часто возникает необходимость отыскания именно глобального, а не локального оптимума. Хорошо изученные и широко описанные в литературе методы локального поиска обычно не могут быть использованы для решения таких задач в силу наличия многих локальных минимумов и недифференцируемости целевой функции, то есть функции, подлежащей оптимизации. Именно поэтому в мире постоянно растет интерес к глобальной оптимизации, занимающейся теорией и численными методами отыскания глобального оптимума.

«Представим, что у нас есть модель некой сложной структуры, например моста, — поясняет профессор Сергеев, — и есть программа, которая, например, считает его вес. При этом есть ограничения, что мост должен не сломаться, иметь определенную длину, и множество других ограничений. Тогда можно поставить задачу оптимизации веса моста, при этом его стоимость не должна превысить определенную границу, а прочность должна сохраниться высокой. Либо наоборот: нам все равно, какой вес, но нужна максимальная прочность и так далее».

В подобных задачах математикам приходится за минимальное количество вычислений целевой функции искать наилучшее решение, и одним из путей решения является диагональный подход. В случае одномерной функции для нее на отрезке всегда можно построить нижнюю огибающую (в этом случае – кусочно-линейную функцию), с помощью которой легко оценить минимум целевой функции на интересующем участке. «Идея диагонального подхода состоит в том, что если параметров много, то вместо того, чтобы исследовать весь многомерный гиперкуб параметров, мы исследуем функцию на его диагонали и находим ее минимум как в одномерном случае, — рассказал профессор Сергеев. – Теория говорит, что если этот минимум умножить на определенный коэффициент, то мы получим оценку минимума функции на всем многомерном гиперинтервале». Таким образом, задача поиска минимума многомерной функции на гиперинтервале сводится к задаче поиска минимума на отрезке.

Задачи глобальной оптимизации решаются с помощью суперкомпьютеров, поскольку их численное решение связано с огромным количеством вычислений. Преимущество диагонального подхода перед иными методами в его быстроте. «Мы многих обыгрываем, у нас есть много рекордов по скорости вычислений, и за этот метод мы получали несколько премий», — рассказал Сергеев, который минувшей весной был избран президентом Международного общества глобальной оптимизации.

Изначально диагональный подход был предложен Яношем Пинтером в 1996 году, при этом 20 лет Сергеев и его сотрудники работали над его совершенствованием. Сергеев — лауреат международных премий Пифагора (Италия, 2010 г.) и Хорезми (Иран, 2017 г.), а также ряда других российских и международных премий.

Книга посвящена вопросам разработки теории и численных методов решения широкого класса задач глобальной оптимизации, удовлетворяющей условию Липшица, то есть тех случаев, когда скорость изменения целевой f(x) на любых участках отрезка [a, b] ограничена некоторым числом. Книга дает введение в предмет и обобщает ряд последних научных достижений авторов, развивающих традиции Нижегородской школы глобальной оптимизации. Результаты исследований, вошедшие в книгу, были опубликованы в ведущих международных научных журналах, получили международные премии и используются более чем в 40 странах мира. Книга рассчитана на широкий круг научных и инженерных работников, аспирантов и студентов, интересующихся теоретическими и прикладными аспектами глобальной оптимизации.

14 июня, 2024
Обнаружен эффективный способ предсказания развития отдаленных метастазов при раке молочной железы
Ученые НИИ онкологии Томского национального исследовательского медицинского центра РАН обнаружили ...
14 июня, 2024
Природная аптека: ученые открыли способность растительных пигментов усиливать действие противогрибкового препарата
Российские ученые выяснили, что природные растительные пигменты флавонолы способны в несколько раз у...