В современных электронных устройствах — от GPS-навигаторов и смартфонов до приборов спутниковой связи и медицинского оборудования — широко используются системы фазовой автоподстройки частоты. Это электронные схемы, которые можно сравнить с дирижером в мире радиосигналов. Их основная задача — синхронизировать частоту и фазу сигнала, поступающего на устройство (например, для GPS-навигатора — сигнала со спутника), и сигнала, генерируемого непосредственно на устройстве. Это важно сделать, поскольку навигатор получает сигналы со спутника с небольшой задержкой, но ошибка даже в одну микросекунду дает погрешность определения местоположения в 300 метров. Когда же автоматические системы подстраивают частоту навигатора под частоту спутника, задержка исчезает, и местоположение определяется точно.
Однако до сих пор оставалось не до конца понятно, при каких условиях системы фазовой автоподстройки частоты еще работают стабильно, а когда начинают сбоить. Основная сложность заключается в том, что поведение таких систем зависит сразу от нескольких параметров — полосы удержания, полосы захвата и полосы быстрого захвата. Полоса удержания — это максимальная разница частот, при которой система может поддерживать синхронизацию. Полоса захвата — это максимальная разница, при которой система может войти в синхронизацию из несинхронизированного состояния. Полоса быстрого захвата — это максимальная разница, при которой система переходит в синхронизированное состояние практически мгновенно, без задержек. До настоящего момента не существовало точного математического описания условий, при которых значения всех трех параметров совпадают — эта проблема известна как «задача Витерби».
Участники проекта. Источник: Николай Кузнецов
Ученые из Санкт-Петербургского государственного университета и Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), основываясь на строгих математических определениях полос удержания, захвата и быстрого захвата, вывели формулы, описывающие состояние системы, при котором эти три параметра совпадают. Для этого авторы с помощью математических инструментов (в частности функций Ляпунова, используемых для исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений) проанализировали модельную систему фазовой автоподстройки частоты.
Расчеты позволили определить условия совпадения полос удержания, захвата и быстрого захвата, а также разработать новые точные формулы для вычисления диапазонов стабильности и доказать, что многие используемые в инженерной практике приближенные оценки могут приводить к ошибкам и потере синхронизации. Полученные аналитические результаты исследователи подтвердили с помощью компьютерного моделирования.
Принцип работы систем фазовой автоподстройки; сферы их применения и авторы исследования. Источник: Николай Кузнецов
Проведенное исследование позволит усовершенствовать системы синхронизации в ряде ключевых областей. Во-первых, в спутниковой навигации (GPS, ГЛОНАСС), где ошибка синхронизации даже в наносекунды приводит к метровой погрешности позиционирования. Во-вторых, в системах мобильной связи 5G/6G, где требуется точное согласование тысяч базовых станций. И в-третьих, в синхронизации датчиков автономного транспорта, где рассинхронизация может привести к аварийной ситуации.
«Применение строгих математических подходов для проектирования систем фазовой автоподстройки позволяет не только существенно уточнить границы применимости таких схем в практических приложениях, но и приводит к изобретению и патентованию принципиально новых блок-схем фазовой синхронизации. Актуальность этих работ связана с программой импортозамещения в российской электронике и широким спектром инженерных приложений», — рассказывает участник проекта, поддержанного грантом РНФ, Николай Кузнецов, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор, заведующий кафедрой прикладной кибернетики СПбГУ, заведующий лабораторией информационно-управляющих систем ИПМаш РАН.
Авторы планируют применить полученные результаты к анализу более сложных нелинейных систем фазовой автоподстройки частоты, включая модели с JK-триггером — устройством, используемым в вычислительной технике для организации компонентов вычислительных систем, например регистров, счетчиков и процессоров, — а также трехфазные модели, активно используемые в электроэнергетике.
