Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Разработан математический аппарат исследования новых краевых и экстремальных задач для нелинейных моделей массопереноса, обобщающих приближение Буссинеска. В основе доказательства глобальной разрешимости краевых задач с неоднородным условием Дирихле для концентрации вещества лежит применение принципа Лере-Шаудера и лифтингов для концентрации вещества с малой L4-нормой. Разработан универсальный метод, позволяющий установить принцип максимума и минимума для концентрации вещества, а также температуры среды для нелинейных уравнений тепломассопереноса в случае наиболее распространенных граничных условий для концентрации вещества и температуры. С использованием данного математического аппарата, доказана глобальная разрешимость и локальная единственность решений краевых задач для нелинейных моделей массопереноса в случае, когда коэффициент реакции и коэффициент массового расширения нелинейно зависят от концентрации вещества. Установлены достаточные условия на исходные данные рассматриваемых краевых задач, при которых имеет место локальная единственность их решений, и условия, при которых справедлив принцип максимума для концентрации вещества. Получил дальнейшее развитие математический аппарат исследования экстремальных задач для нелинейных моделей массопереноса. Применив этот аппарат, мы доказали разрешимость задач граничного управления для нелинейной модели массопереноса для функционалов качества общего вида, а также в случае, когда коэффициент реакции достаточно произвольно зависит от концентрации вещества. В свою очередь, для нелинейного уравнения реакции-диффузии-конвекции, в случае степенной зависимости коэффициентов реакции и массобмена, для экстремальных задач выведены системы оптимальности. На основе анализа данных систем получены оценки локальной устойчивости оптимальных решений для конкретных функционалов качества. Разработана математическая технология решения задач дизайна устройств невидимости, экранирования и других специальных устройств, служащих для управления физическими полями, для стационарных моделей тепломассопереноса и электромагнетизма. Разработанная технология была применена для решения двух рассматриваемых в проекте задач. Первой задачей является обратная задача для трехмерной модели теплопереноса, связанная с проектированием маскировочного устройства сферической формы. В рамках разработанной технологии доказана разрешимость прямой и обратных экстремальных задач, построена система оптимальности, описывающая необходимые условия экстремума, установлены некоторые свойства оптимальных решений, являющиеся следствием структуры системы оптимальности. Второй задачей является задача дизайна многослойных цилиндрических радиально-анизотропных и изотропных экранирующих оболочек. С использованием оптимизационного метода упомянутая задача дизайна сведена к конечномерной экстремальной задаче, для решения которой разработан эффективный численный алгоритм, основанный на методе роя частиц. Вычислительные эксперименты показали, что предложенный метод позволяет спроектировать многослойную экранирующую оболочку, обладающую высокой эффективностью и простотой технической реализации.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Исполнителями сформулированы задачи управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики при смешанных граничных условиях для магнитного поля и неоднородном граничном условии Дирихле для скорости. Роль управлений играют нормальная и тангенциальная составляющие магнитного поля на разных частях границы и плотность сторонних электрических токов внутри области течения. Целью исследования является построение математического аппарата изучения локальной единственности и устойчивости оптимальных решений. Достижение этой цели основывается на обобщении подхода, развитого руководителем проекта для исследования устойчивости оптимальных решений для стационарных систем Навье--Стокса и магнитной гидродинамики (МГД) при стандартных краевых условиях для магнитного поля. В этом подходе не требуется определять вторую производную минимизируемого функционала качества, поскольку он основан на анализе фундаментальных свойств системы оптимальности для общей задачи управления для рассматриваемой модели и использовании специальных оценок разности решений исходной и возмущенной задач управления. Метод достаточно прост, естественен и применим к моделям гидродинамики, тепловой конвекции, массопереноса и другим гидродинамическим моделям, основанным на системе Навье-Стокса. Использование данного подхода позволяет получить оценки устойчивости оптимальных решений по отношению к малым возмущениям как функционала качества, так и одной из заданных функций, входящих в уравнение состояния, в явном и достаточно простом для интерпретации виде. Исполнителями был выполнен теоретический анализ описанных выше задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики, рассматриваемых в ограниченной области трехмерного пространства, при смешанных краевых условиях для электромагнитного поля. Роль управлений в рассматриваемых задачах управления играют нормальная и тангенциальная компоненты магнитного поля, заданные на разных частях границы области течения, и плотность сторонних электрических токов, сосредоточенных внутри области течения. В качестве функционалов качества были выбраны квадратичные функционалы для скорости, магнитного поля или давления. Разработана общая теория (или математическая технология) исследования сформулированных задач управления, которая была применена для доказательства локальной единственности и устойчивости оптимальных решений рассматриваемых задач управления для конкретных функционалов качества. Применение этой теории позволило доказать разрешимость задач управления для широкого класса слабо полунепрерывных снизу функционалов качества, вывести системы оптимальности и на основе их анализа доказать теоремы о локальной единственности и устойчивости оптимальных решений для квадратичных (tracking–type) функционалов относительно скорости, магнитного поля или давления. Одной из особенностей проведенного исследования является доказательство разрешимости задач оптимального управления при минимальных требованиях к нормальной и тангенциальной компонентам магнитного поля, заданных на разных частях границы и играющих роль граничных управлений. Этот результат позволяет использовать простые L^2-нормы для нормальной и тангенциальной компонент магнитного поля вместо норм обычно используемых пространств следов на соответствующих частях границы в качестве регуляризаторов Тихонова, служащих для обеспечения корректности рассматриваемых некорректных задач управления. Уникальность и универсальность разработанной технологии состоит в том, что она одинаково применима для решения как задач управления, так и задач идентификации параметров для рассматриваемой модели МГД, которые сводятся к задачам управления с помощью оптимизационного метода. Отметим, что наличие смешанных граничных условий для магнитного поля существенно усложняет исследование не только задач управления, но и исходной неоднородной краевой задачи для системы МГД. Ввиду этого, разработанная технология существенно использует авторскую находку, доказывающую возможность ослабления гладкости магнитной компоненты решения при негладких граничных данных для магнитного поля с сохранением фундаментального свойства единственности решения. Именно использование этой находки позволило доказать единственность и устойчивость решений рассматриваемых задач управления при минимальных требованиях на используемые граничные управления. Исследованы задачи управления для нелинейного уравнения реакции-диффузии-конвекции, рассматриваемого при смешанных краевых условиях для концентрации вещества. Роль управлений в рассматриваемых задачах управления играют две функции, зависящие от пространственных переменных: коэффициент диффузии и множитель при коэффициенте распада реакции, зависящем от концентрации. В качестве функционалов качества выступают L^2 либо H^1-норма отклонения искомой концентрации от заданной концентрации, измеряемой в некоторой подобласти области, где изучается процесс распространения вещества. В случае степенной зависимости коэффициентов модели от решения для экстремальных задач выведены системы оптимальности. С их помощью получены оценки локальной устойчивости решений конкретных задач управления относительно малых возмущений как функционалов качества, так и одной из заданных функций краевой задачи. В рамках направления 3) п 1.2 плана работ разработанная исполнителями в прошлом году математическая технология решения задач дизайна устройств невидимости была применена для решения задачи сопряжения и экстремальных задач для 3D модели магнитостатики. Указанные задачи связаны с дизайном трехмерных магнитных маскировочных оболочек. В качестве маскировочной среды был выбран эллиптический материал, заполняющий область, топологически эквивалентную сферическому слою. Доказана разрешимость краевой и экстремальных задач, построена система оптимальности, описывающая необходимые условия экстремума, установлены некоторые важные свойства оптимальных решений Разработанная исполнителями математическая технология была применена для решения задач проектирования многослойных цилиндрических и сферических анизотропных и изотропных маскировочных устройств для двумерных моделей электропроводности и магнитостатики и трехмерной модели магнитостатики. С помощью упомянутой математической технологии и оптимизационного метода рассматриваемые задачи проектирования были сведены к конечномерным экстремальным задачам, для решения которых разработаны эффективные численные алгоритмы, основанные на методе роя частиц. Вычислительные эксперименты позволили сделать вывод об эффективности разработанной математической технологии и предложенных алгоритмов. С их помощью были установлены важные геометрические и физические свойства оптимальных решений, в частности, принцип релейности. Их применение дает возможность проектировать высокоэффективные маскировочные оболочки, обладающие простотой технической реализации для обеих рассматриваемых моделей. Исследована задача идентификации неизвестного коэффициента диффузии для модели массопереноса по дополнительной информации о решении в случае, когда коэффициент диффузии является функцией, зависящей от пространственных переменных. В соответствии с общей теорией экстремальных задач построена система оптимальности, на основе которой разработан алгоритм численного решения указанной обратной экстремальной задачи. Проведено исследование разработанного численного алгоритма с помощью пакета Scilab, в котором решение прямой и сопряженной задач выполняется с помощью метода конечных разностей. Для реализации и апробации численного алгоритма написана программа для ЭВМ "Восстановление коэффициента диффузии для стационарной модели массопереноса". Указанная программа зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ, и на нее получено свидетельство N 2023681974. Правообладатель О.В. Соболева.