КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 14-12-01383

НазваниеБесконечномерные симметрии и интегрируемые структуры в Квантовой теории поля

РуководительБелавин Александр Абрамович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регионФедеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук, Московская обл

Годы выполнения при поддержке РНФ 2014 - 2016 

КонкурсКонкурс 2014 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 02 - Физика и науки о космосе, 02-602 - Квантовая теория поля, квантовая механика

Ключевые словаквантовая теория поля, калибровочная теория поля, конформная теория поля, точно решаемые модели, инстантон, форм фактор, бесконечномерные алгебры, двумерная квантовая гравитация, теория струн

Код ГРНТИ29.05.23


СтатусУспешно завершен


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Целью проекта является использование бесконечномерных симметрий и интегрируемых структур в Квантовой теории поля для изучения Калибровочных теорий поля, двумерных Конформных теорий поля и некритической Теории струн. Такой подход позволяет решить ряд проблем, которые невозможно исследовать в рамках теории возмущений. Хорошо известным случаем нетривиальных точно решаемых теорий, в котором присутствуют бесконечномерные симметрии, являются двумерная Конформная теория поля. Важность двумерной конформной теории поля заключается в том, что она является основой для построения Теории струн, которая, как известно, рассматривается в качестве основного кандидата на роль теории Великого Объединения взаимодействий элементарных частиц. Одной из главных целей проекта является изучение различных моделей двумерной Конформной теории поля и теории струн в пространстве-времени некритической размерности, которая также называется двумерной квантовой гравитацией Лиувилля. В частности будет решаться задача нахождения корреляционных чисел, или амплитуд Венециано, в так называемой минимальной гравитации Лиувилля. При этом мы будем исходить из гипотезы о выполнении в этой теории струнного уравнения Дугласа и наличия интегрируемой структуры. Данная гипотеза была выдвинута и проверена в недавних работах участников группы. Конформная теория поля также описывают ультра-фиолетовое поведение массивных двумерных теорий поля. Некоторые массивные деформации являются интегрируемыми и благодаря этому допускают нахождение S-матриц и корреляционных функций локальных полей. Изучение таких массивных теорий является еще одной задачей данного проекта. Для изучения корреляционных функций локальных полей в моделях конформной теории поля и их интегрируемых деформаций мы будет использовать недавно обнаруженную замечательную связь, так называемое АГТ соответствие, между этими теориями и четырехмерными суперсимметричными калибровочными теориями поля. В частности, конформные блоки в конформной теории поля совпадают с инстантонными статсуммами в суперсимметричных калибровочных теориях. В основе АГТ соответствия лежит тот факт, что как в калибровочных теориях на пространстве инстантонов, так и в конформных теориях поля на пространстве локальных полей действует одна и та же бесконечномерная деформированная квантовая симметриия. Для конформной теории поля это позволяет получить явные формулы для конформных блоков через инстантонные статсуммы, а также определить замечательный базис в пространтсве полей, такой, что структурные константы операторной алгебры принимают простой вид. Этот базис образован собственными векторами системы коммутирующих интегралов движения, которые образуют коммутативную подалгебру соответствующей бесконечномерной алгебры симметрии. Одной из целей проекта является нахождение этой интегрируемой структуры внутри алгебры симметрии. Также мы планируем применить алгебраический анзатц Бете для нахождения собственных векторов интегралов движения.

Ожидаемые результаты
В рамках проекта предполагается получить следующие результаты: 1. АГТ-соответствие между четырехмерными суперсимметричными теориями Янга-Миллса и двумерными конформными теориями поля. Доказательство АГТ-соответствия основано на построении некоторого факторизованного базиса в конформной теории поля, который диагонализует систему коммутирующих квантовых интегралов движения. Уравнения Бете, полученные Литвиновым для диагонализации такой системы, отвечающей калибровочным теориям на плоскости, будут обобщены на случаи, отвечающие калибровочным теориям на различных ALE-пространствах. Планируется найти математически строгое доказательство соответствующих систем уравнений Бете. Будут найдены доказательства гипотезы АГТ для некоторых случаев ALE-пространств. С помощью АГТ-соответствия будут изучены конформные теории поля с внешней SL(2)-симметрией, а также конформные теории, отвечающие теориям Янга-Миллса на некоторых компактных многообразиях. 2. Изучение корреляционных чисел в двумерной лиувиллевской гравитации. Планируется получить производящую функцию для корреляционных чисел двумерной гравитации с минимальной конформной материей на сфере. Будут также получены корреляционные числа для некоторых серий минимальной лиувиллевской гравитации на торе. Предполагается исследовать модели супесимметричной лиувиллевской гравитации, а также изучить возможность обобщения на модели двумерной гравитации с конформной материей с W(N)-симметрией. 3. Формфакторы локальных полей в массивных и безмассовых двумерных интегрируемых теориях поля. Планируется детально изучить формфакторы операторов-потомков уровня 2 в модели sh-Гордон, а также найти представление для формфакторов операторов-потомков в моделях с границей и многослойных моделях. 4. Струнное описание инстантонов. В рамках описания компактифицированной теории струн на основе N=2-суперсимметричных двумерных конформных моделей планируется изучить соответствие между пространством модулей D0-бран и пространством модулей инстантонов. В частности, планируется найти явные выражения для эллиптического рода твистованного кирального комплекса де Рама. Предполагается проверить, что эллиптический род совпадает с эллиптическим родом некоторой двумерной суперконформной теории поля, а также найти обобщения этой конструкции на модели Кадзама-Судзуки. Результаты по данному проекту будут представлены в виде научных статей. Первоначально статьи будут размещены в архиве http://arxiv.org, далее направлены в печать и опубликованы в ведущих по данной тематике научных журналах, индексируемых в системе Web of Science: Journal of High Energy Physics, Nuclear Physics и др. Для внедрения результатов в научно-образовательный процесс, все работы будут докладываться на еженедельных семинарах по квантовой теории поля ИТФ РАН, ИППИ РАН и на Ученом Совете ИТФ РАН. Предполагаются также доклады на соответствующих российских и международных конференциях, семинарах и научных школах. (В частности, группа будет основой организационного комитета международной конференции, посвященной памяти В.Н. Грибова в 2015 году). Ожидается, что часть из докладов сотрудников будет опубликована в форме видеолекций, доступных для изучения всеми студентами и аспирантами (в том числе зарубежными), специализирующимися в области квантовой теории поля и интегрируемых моделей. Ожидается, что часть результатов проекта будет использоваться участниками коллектива на лекциях и семинарах в вузах (НМУ, МФТИ). Важной формой внедрения проекта в образовательный процесс будет являться руководство студентами и аспирантами в процессе научно-исследовательской работы, привлечение в группу новых студентов (обучающихся в настоящее время на младших курсах). Планируется, что в работе над проектом все студенты и аспиранты будут участвовать в исследованиях и станут авторами научных статей высокого уровня; сделают важные шаги в подготовке своих диссертаций и дипломов. Все запланированные по проекту проблемы являются актуальными, находятся в сфере внимания специалистов по квантовой теории поля и интегрируемым моделям из разных стран. Уровень исследований группы соответствует уровню аналогичных работ в ведущих центрах теоретической физики в мире. Коллектив имеет давние связи и опыт плодотворного научного сотрудничества со специалистами из других стран (США, Франция, Япония, Корея, Италия, Германия, Армения, Украина и др.), работающих в направлении исследования.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ


Аннотация результатов, полученных в 2014 году
Исследовались различные алгебраические структуры, возникающие в интегрируемых моделях квантовой теории поля. Получены уравнения Бете, описывающие широкий класс интегрируемых систем, включающих косет-модели конформной теории поля и обобщенные модели Калоджеро-Сазерленда как предельные случаи. Исследованы структуры в конформной теории поля, ответственные за АГТ-соответствие. В частности, доказано АГТ-соответствие для N=1 суперконформной теории. Показано, что класс алгебр, ответственных за АГТ-соответствие для ряда моделей, является пределом алгебры Динга-Иохары. Для суперсимметичных косет-моделей конформной теории поля сформулированы более общие условия, при которых модель обладает N=2-суперконформной симметрией, что важно для применения к теории струн. Получена новая геометрическая конструкция характеров N=2-суперконформных минимальных моделей. Показано, что решения уравнения Дагласа, описывающие модели минимальной лиувиллевской гравитации, можно получить, используя плоские координаты на фробениусовых многообразиях. Эта же техника позволяет найти правильное резонансное преобразование и вычислить корреляционные функции в минимальной лиувиллевской гравитации на сфере и на торе. С помощью алгебраического подхода найдены формфакторы сохраняющихся токов и их произведений в квантовой модели sh-Гордона и sin-Гордона в бризерном секторе.

 

Публикации

1. A.A.Belavin, V.A.Belavin Frobenius manifolds, Integrable Hierarchies and Minimal Liouville Gravity (arXiv:1406.6661) Journal of High Energy Physics, выпуск 1409, публикация 151 (год публикации - 2014).

2. L. Spodyneiko AGT correspondence, Ding-Iohara algebra at roots of unity and Lepowsky-Wilson construction (arXiv:1409.3465) arXiv, 1409.3465 (год публикации - 2014).

3. M. Lashkevich, Y. Pugai Form factors of descendant operators: Resonance identities in the sinh-Gordon model (arXiv:1411.1374) Journal of High Energy Physics, - (год публикации - 2015).

4. M.A. Bershtein, A.I. Shchechkin Bilinear equations on Painleve tau functions from CFT (arXiv:1406.3008) arXiv, 1406.3008 (год публикации - 2014).

5. M.N. Alfimov, A.V. Litvinov On spectrum of ILW hierarchy in conformal field theory II: coset CFT's (arXiv:1411.3313) arXiv, 1411.3313 (год публикации - 2014).

6. S.E. Parkhomenko Kazama-Suzuki models of N=2 superconformal field theory and Manin triples (arXiv:1410.2977) Письма в ЖЭТФ, том 100, вып. 8, стр. 545-548 (год публикации - 2014).

7. Белавин В.А. Unitary minimal Liouville gravity and Frobenius manifolds (arXiv:1405.4468) Journal of High Energy Physics, выпуск 1407, публикация 129 (год публикации - 2014).

8. Сподынейко Л.А. Minimal Liouville Gravity on the Torus via Matrix Models (arXiv:1407.3546) arXiv.org, arXiv:1407.3546 (год публикации - 2015).


Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Рассмотрены три класса задач, связанных с интегрируемыми моделями квантовой теории поля. Во-первых, изучались теории минимальной лиувиллевской гравитации. Было продолжено исследования связи между решениями струнного уравнения Дагласа и структурой фробениусовых многообразий. С точки зрения физики важно найти резонансное соотношение, связывающее КдФ-координаты в пространстве теорий, возникающие при решении уравнения Дагласа, с естественными координатами, в которых статистическая сумма является производящей функцией для корреляционных чисел лиувиллевской гравитации. Теория фробениусовых многообразий позволяет значительно упростить решение уравнений на коэффициенты резонансного соотношения. В частности, в случае унитарной серии минимальных моделей это позволило найти явно трех- и четырехточечные корреляционные числа. Также показано, что пространство версальных деформаций особенности, возникающей в моделях Кадзамы—Судзуки является фробениусовым многообразием. Во-вторых, был решен ряд задач, связанных с так называемым АГТ-соответствием. Это соответствие связывает статистические суммы четырехмерных N=2-суперсимметричных теорий Янга—Миллса с конформными блоками двумерных конформных теорий поля. Исследованы конформные блоки минимальных конформных моделей с W_N-симметрией. Доказаны комбинаторные выражения для конформных блоков, возникающие в силу АГТ-соответствия, и содержащие ограничения Бёрджа в суммах по диаграммам Юнга. Переработано доказательство соотношений Накаджимы и Ёшиоки между инстантонными статистическими суммами, основанное на конформной теории поля. Предложены выражения для статистических сумм (с различными значениями первого класса Черна) теории Янга—Миллса на компактном многообразии CP^2 в виде трилинейных комбинаций инстантонных статистических сумм моделей на плоском пространстве C^2. Найдена q-деформация уравнения Пенлеве 3 в билинейной форме и его тау-функции в терминах обобщенных конформных блоков. Был исследован вопрос о классификации W-алгебр и связанный с ним вопрос об R-матрице лиувиллевских отражений. В-третьих, продолжено изучение формфакторов (квази)локальных операторов в массивных интегрируемых моделях двумерной квантовой теории поля. В рамках алгебраического подхода начато исследование Z_N-симметричных теорий поля Изинга (или «теплового» возмущения конформной теории поля с Z_N-парафермионами). Получено выражение для формфакторов специальной двухбозонной модели, из которых Z_N-симметричные модели Изинга получаются с помощью редукции пространства состояний. Получено компактное условие согласованности квазилокальных операторов с редукцией. Во всех трех направлениях были получены важные новые результаты.

 

Публикации

1. A. Belavin, V. Belavin Minimal Liouville Gravity from Douglas String Equation Moscow Mathematical Journal, т. 15, с. 269 (год публикации - 2015).

2. L. Spodyneiko AGT correspondence: Ding–Iohara algebra at roots of unity and Lepowsky–Wilson construction Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, т. 48, вып. 27, с. 275404 (год публикации - 2015).

3. L. Spodyneiko Minimal Liouville gravity on the torus via the Douglas string equation Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, т. 48, вып. 6, с. 065401 (год публикации - 2015).

4. M. Lashkevich, Ya. Pugai Form factors of descendant operators: reduction to perturbed M(2,2s + 1) models (arXiv:1412.​7509) Journal of High Energy Physics, 04(2015)126 (год публикации - 2015).

5. M.A. Bershtein, A.I. Shchechkin Bilinear Equations on Painlevé τ Functions from CFT Communications in Mathematical Physics, т. 339, вып. 3, с. 1021 (год публикации - 2015).

6. M.N. Alfimov, A.V. Litvinov On spectrum of ILW hierarchy in conformal field theory II: coset CFT’s Journal of High Energy Physics, 1502(2015)150 (год публикации - 2015).

7. Mikhail Bershtein, Boris Feigin, Alexei Litvinov Coupling of Two Conformal Field Theories and Nakajima–Yoshioka Blow-Up Equations Letters in Mathematical Physics, онлайн-публикация (год публикации - 2015).

8. Mikhail Bershtein, Giulio Bonelli, Massimiliano Ronzani, Alessandro Tanzini Exact results for N=2 supersymmetric gauge theories on compact toric manifolds and equivariant Donaldson invariants arXiv.org, arXiv:1509.00267 (год публикации - 2015).

9. V. Belavin Correlation functions in unitary minimal Liouville gravity and Frobenius manifolds Journal of High Energy Physics, 1502 (2015) 052 (год публикации - 2015).

10. Vladimir Belavin, Omar Foda, Raoul Santachiara AGT, N-Burge partitions and W_N minimal models Journal of High Energy Physics, 1510 (2015) 073 (год публикации - 2015).


Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Исследования велись в трех основных направлениях: 1. Изучение двумерной лиувиллевской гравитации, W-гравитации и теория струн. 2. Изучение конформных теорий поля и их деформаций. Изучение АГТ-соответствия. 3. Изучение формфакторов локальных операторов в массивных интегрируемых моделях двумерной квантовой теории поля. По этим направлениям достигнуты следующие основные результаты: 1. Продолжено изучение связи между двумерной минимальной лиувиллевской гравитацией и струнным уравнением Дагласа. Показано, что наблюденное ранее расхождение между результатами в двух подходах к двумерной гравитации связано с тем, что в походе, основанном на конформной теории поля, не учитывались так называемые дискретные вклады в операторном разложении в теории Лиувилля. В сравнительно простом случае серии (2,n) показано, что правильный учет этих вкладов приводит полному согласию между двумя подходами. Одним из ключевых моментов в решении двумерной гравитации на основе струнного уравнения Дагласа является нахождение плоских координат фробениусовых многообразий деформаций некоторых особенностей. Однако особенности, связанные с уравнение Дагласа, имеют очень специальный вид. Рассматривая фробениусовы многообразия, соответствующие более сложным особенностям, мы, как мы думаем, можем описать более сложные теории двумерной гравитации, такие как W-гравитация. С другой стороны, эти фробениусовы многообразия описывают топологический сектор в N=2 суперконформных теориях поля и, тем самым, описывают некоторые компактификации струн. Мы проверили на двух важных примерах SU(3)_k-моделей (k=3,4) ранее разработанный метод нахождения плоских координат в интегральном виде, а также предложили новый метод, основанный на решении рекурсивных уравнений. Рассмотренные примеры важны тем, что в них имеются маргинальные и иррелевантные возмущения, для которых доказательство корректности указанных методов пока отсутствует. Изучена связь между обобщенной кэлеровой геометрией и N=2 суперконформными моделями Весса—Зумино—Новикова—Виттена (ВЗНВ). Показано, как представления свободными полями получаются каноническим квантованием пуассоновых структур в суперсимметричных сигма-моделях. 2. Изучен вопрос об однозначности определения корреляционных функций в моделях с W-алгебрами симметрии в бутстрапном подходе. На двух важных примерах четырехточечных корреляционных функций в W_3-моделях показано, для которых этот вопрос до сих пор оставался открытым, показано, что конформные блоки и корреляционные функции определены однозначно, причем структурные константы могут быть найдены явно. Предложенный метод, хотя и труден для непосредственного обобщения, принципиально дает, как мы полагаем, положительный ответ на этот старый вопрос. Предложена классификация W-алгебр на основе представления конформных моделей свободными полями. Показано, что W-алгебры можно определить как коммутант системы экранирующих операторов, и классифицировать с помощью диаграммной техники, напоминающей диаграммы Дынкина. Показано, что для конформных моделей с "фермионными" экранирующими операторами имеется их двойственное представление как сигма-моделей. Изучены квантовые интегрируемые иерархии, связанные с W-алгебрами W(gl(n|m)). Показано, что можно определить иерархии ILW-типа (ILW — волны промежуточной длины), связанные с этими алгебрами. Показано, что спектр соответствующих интегралов движения описывается некоторой системой уравнений Бете. Изучалась матрица отражений в теории Лиувилля. Эта матрица отражений играет, по всей видимости, центральную роль для интегрируемости в этой теории и минимальных конформных моделях. Получено явное выражение отражательной матрицы для свободнофермионной точки c=-2. Продолжено изучение АГТ-соответствия на компактных многообразиях. Предложена гипотеза об АГТ-соответствии для N=2 суперсимметричной теории Янга—Миллса на произведении двух комплексных проективных прямых. Введено понятие тау-функции для q-разностного уравнения, представляющего собой q-деформацию дифференциального уравнения Пенлеве III. Показано, что тау-функция может быть выражена как ряд от q-деформированных конформных блоков в уиттекеровском пределе. Этот результат является первым обобщением известного утверждения Гамаюна, Иоргова и Лисового на случай q-разностных уравнений. 3. Получено представление для формфакторов операторов в модели комплексного sh-Гордона. Найдены формфакторы экспоненциальных операторов в двойственном представлении (представлении Фатеева) этой модели. Найдены отражательные соотношения для формфакторов и производящие функции для формфакторов операторов-потомков.

 

Публикации

1. Алешкин К.Р., Белавин В.А. On the construction of the correlation numbers in Minimal Liouville Gravity Journal of High Energy Physics, выпуск 11 за 2016 год, номер статьи 142 (год публикации - 2016).

2. Белавин А.А., Белавин В.А. On exact solution of topological CFT models based on Kazama–Suzuki cosets Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, том 49, стр. 41LT02 (год публикации - 2016).

3. Белавин А.А., Белавин В.А. Flat structures on the deformations of Gepner chiral rings Journal of High Energy Physics, выпуск 10 от 2016 года, номер публикации 128 (год публикации - 2016).

4. Белавин А.А., Сподынейко Л.А. Flat structures on Frobenius Manifolds in the case of irrelevant deformations Physics Letters A, - (год публикации - 2016).

5. Белавин В.А., Као Ш., Эстьен Б., Сантакьяра Р. Second level semi-degenerate fields in $W_3$ Toda theory: matrix element and differential equation arXiv.org, arXiv:1610.07993 (год публикации - 2016).

6. Белавин В.А., Эстьен Б., Фода О., Сантакьяра Р. Correlation functions with fusion-channel multiplicity in $W_3$ Toda field theory Journal of High Energy Physics, выпуск 06 за 2016 год, статья номер 137 (год публикации - 2016).

7. Берштейн М.А., Бонелли Дж., Рондзани М., Тандзини А. Gauge theories on compact toric surfaces, conformal field theories and equivariant Donaldson invariants arXiv.org, 1606 (год публикации - 2016).

8. Берштейн М.А., Бонелли Дж., Рондзани М., Тандзини А. Exact results for N = 2 supersymmetric gauge theories on compact toric manifolds and equivariant Donaldson invariants Journal of High Energy Physics, выпуск 07 за 2016 год, номер публикации 023 (год публикации - 2016).

9. Берштейн М.А., Щечкин А.И. $q$-deformed Painleve tau function and $q$-deformed conformal blocks arXiv.org, 1608 (год публикации - 2016).

10. Лашкевич М.Ю., Пугай Я.П. Algebraic approach to form factors in the complex sinh-Gordon theory Physics Letters B, том 764, стр. 190-195 (год публикации - 2016).

11. Литвинов А.В., Сподынейко Л.А. On $W$ algebras commuting with a set of screenings Journal of High Energy Physics, выпуск 11 за 2016 год, номер статьи 138 (год публикации - 2016).


Возможность практического использования результатов
не указано