Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Доказано, что группа Пикара спектральных поверхностей колец коммутирующих дифференциальных операторов от двух переменных дискретна. Доказано, что единственная гладкая спектральная поверхность таких колец --- проективная плоскость. Показано существование семейств геометрических данных с гладкими рациональными поверхностями, отвечающих коммутативным кольцам дифференциально-разностных операторов ранга один. Исследована спектральная поверхность и пространство модулей спектральных пучков без кручения на ней для примера коммутативной алгебры, возникающей из алгебраически интегрируемой системы Калоджеро-Мозера в размерности один с эллиптическим потенциалом. Найдены необходимые условия для существования поднятия действия алгебры пуассоновых векторных полей на деформационное квантование многообразия. Найден набор достаточных условий для продолжимости представления действия алгебры Ли пуассоновых полей на квантования многообразия с точностью до \hbar^n. Кроме того, за прошедший год были проведены исследования различных примеров деформационного квантования наборов коммутирующих гамильтоновых векторных полей и подробно изучена возможность обобщить на деформационное квантование место сдвига аргумента. Было найдено решение задачи Коши для волнового уравнения на однородном дереве. Доказано,что, при стремлении времени к бесконечности, некоторая доля энергии остается на конечном участке графа. В частности, сумма пределов энергии на всех уровнях графа равна (b-1)/b, предел энергии на уровне n равен (b-1)^2/b^{n+1}. Здесь b – число ветвления дерева. Рассматривалась задача о распределении энергии волны, являющейся решением задачи Коши, при стремлении времени к бесконечности на сингулярном пространстве, полученном из конечного графа заменой вершин на трехмерные евклидовы пространства. Показано, что при определенных условиях, энергия на ребрах со временем стремится к нулю. Исследовано распределение локализованных состояний на компактных графах с ребрами одинаковой длины. Получено общее утверждение о предельном распределении средней по времени энергии в терминах оператора рассеяния. Описаны свойства локализованных решений волнового уравнения и уравнения Шредингера на сингулярных пространствах; показано, что такие решения выражаются через канонический оператор Маслова на изотропном многообразии, проекция которого на исходной гибридное пространство представляет собой множество коразмерности 1 (в частности, для нулевого потенциала такие множества - геодезические сферы). Показано, что статистика таких пакетов связана с глобальным поведением геодезических на многообразиях, входящих в гибридное пространство, а также с рядом известных задач аналитической теории чисел - задачей о числе целых точек в расширяющихся многогранниках и задачей о распределении абстрактных простых чисел. Вычислены рациональные когомологии пространств петель полных пересечений. Получена рекуррентная формула для рангов гомотопических групп, в которой параметрами присутствуют гомологические инваринаты полного пересечения.

Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Показано существование семейств геометрических данных с гладкими поверхностями общего типа (поверхности Годо), отвечающих нетривиальным коммутативным кольцам дифференциально-разностных операторов ранга один. Исследованы спектральные поверхности и пространства модулей пучков без кручения на них для большого класса примеров алгебраически интегрируемых квантовых систем Калоджеро-Мозера с рациональными потенциалами в размерности два. Для них проверена гипотеза о классификации, а для одной из таких систем построены явные примеры изоспектральных деформаций, параметризованных точками пространства модулей, в классе дифференциально-разностных операторов. Проведены исследования по темам "деформационное квантование действия пуассоновых векторных полей" и "характеристические классы триангулированных расслоений". Показано, что классические примеры максимальных коммутативных алгебр в пуассоновых алгебрах функций на двойственных пространствах к алгебрам Ли имеют квантовые аналоги. Получена комбинаторная формула для класса Эйлера триангулированного расслоения со слоем сфера (произвольной размерности). Описан многочлен, определяющий асимптотику числа точек, движущихся по компактному геометрическому графу и делящихся в вершинах. Этот многочлен выражается через полиномы Тодда, которые связанны с задачей подсчета числа точек целочисленной решетки в расширяющихся симплексах с вещественными вершинами. Исследована задача восстановления графа по слагаемым указанного многочлена. В случае отрицательных весов на триангулированных поверхностях специального вида установлены условия, при которых имеет место сходимость комбинаторного потока Риччи к метрике постоянной кривизны. Исследовано пространство метрик на тетраэдре, в зависимости от выбора весов, причем веса могут принимать любые значения от -1 до 1. Исследовано распределение энергии локализованных решений волнового уравнения на некоторых классах компактных и некомпактных графов и гибридных пространств. Показано, что такое распределение определяется взаимным расположением характеристического вектора подграфа, на котором задано начальное условие, и лагранжевой плоскости, задающей лапласиан. Получено общее описание пространства гармонических функций на многогранниках в зависимости от конкретного лапласиана. Для ряда примеров получены явные формулы для таких функций в терминах аналитических характеристик (главных форм и тета-функций) соответствующих римановых поверхностей. Исследованы особенности решения волнового уравнения на пирамидах вблизи вершин в зависимости от краевого условия в вершине, задающего тип лапласиана. Для коротковолновых решений описаны особенности соответствующих лагранжевых многообразий.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Получено описание модифицированной системы Паршина, задающей изоспектральные деформации коммутативных колец, как системы на пространстве модулей пучков без кручения с фиксированным полиномом Гильберта на спектральной поверхности. Доказано, что группа Пикара спектральной поверхности дискретна. Проведены исследования по темам “Деформационное квантование интегрируемых систем и векторных полей” и “Геометрия полной симметрической системы Тоды на вещественных группах”. Было доказано а) Фазовый портрет системы Тоды совпадает с диаграммой Хассе порядка Брюа на группе Вейля и, как следствие б) Клетки Брюа в вещественных группах Ли пересекаются с двойственными клетками, если и только если соответствующие элементы группы Вейля сравнимы по Брюа. в) Существование представления алгебры Ли в пространстве дифференцирований квантовой алгебры, продолжающего представление этой алгебры в пуассоновых векторных полях, эквивалентно существованию элемента Маурера-Картана в некоторой дифференциальной градуированной алгебре Ли. В алгебре Стинрода mod p, p>2, (включая элемент Бокштейна beta) построены но-вые аддитивные базисы betaZ, betaX, betaC, ZA и XC. Базисы betaZ, betaX, betaC служат аналогами базисов для алгебры Стинрода mod 2, построенных Уоллом в 1960 г. и Арноном в 1994 г. Базисы betaZ, betaX, ZA и XC являются экстремаль-ными относительно специальным образом выбранных порядков на мономах, со-ставленных из образующих. В терминах betaC базиса построен новый набор поли-номиальных образующих в кольце Z/p когомологий пространства Эйленберга-Маклейна K(Z/p,n). Построен многочлен, описывающий асимптотику числа частиц, распространяющихся по произвольному компактному графу. Этот многочлен выражается через полиномы Тодда, которые связанны с задачей подсчета числа точек целочисленной решетки в расширяющихся симплексах с вещественными вершинами. Также была представлена явная формула для поправки к старшей части разложения количества движущихся точек и объяснено, как это слагаемое в разложении связано со структурой графа. Геометрический граф и начальная вершина однозначно восстанавливаются, если второй член разложения известен как функция длин, в случае дерева. Показано, что для случая произвольного графа только второго члена недостаточно для восстановления. Описаны квазиклассические спектральные серии, соответствующие сингулярным инвариантным кривым частично интегрируемых гамильтоновых систем. Они выражаются через комплексный росток Маслова - векторное расслоение над графом со специальными свойствами. Существование спектральных серий гарантируется компактностью группы голономии естественной связности в этом расслоении. Получен полный асимптотический ряд для асимптотического решения волнового уравнения с радиально симметричной скоростью на простейшем гибридном многообразии. Описана конструкция асимптотического решения волнового уравнения с произвольной скоростью на простейшем гибридном многообразии, в частности, найдены правила склейки соответствующих лагранжевых многообразий. Описаны квазиклассические спектральные серии оператора Шредингера на геометрическом графе, локализованные вблизи произвольного подграфа. Получены правила квантования, из которых вычисляются собственные числа, а также описан алгоритм нахождения собственных функций. Описаны простейшие спектральные серии операторов Лапласа и Шредингера на двумерных многогранниках. Получены формулы для решения задачи Коши для волнового уравнения с локализованной начальной функцией и описаны соответствующие волновые фронты и лагранжевы многообразия.