КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 17-11-01303

НазваниеТопологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложения

РуководительКудрявцева Елена Александровна, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регионФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова», г Москва

Года выполнения при поддержке РНФ 2017 - 2019  продлен на 2020 - 2021

КАРТОЧКА ПРОДЛЕНИЯ ПРОЕКТА

КонкурсКонкурс 2017 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-104 - Геометрия

Ключевые словаинтегрируемые гамильтоновы системы, согласованные скобки Пуассона, алгебры Ли, лагранжевы слоения, траекторные инварианты, интегрируемые биллиарды, небесная механика, динамика твердого тела

Код ГРНТИ27.21.19


СтатусУспешно завершен


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Целью проекта является разработка новых методов исследования фундаментальных проблем теории динамических систем - изучение их симметрий и связанных с ними алгебраических, топологических и геометрических структур, классификация вполне интегрируемых систем (т.е. систем с достаточно богатыми симметриями), изучение семейств периодических решений систем с симметриями, с приложениями к задачам геометрии, алгебры, механики. Следует отметить, что в настоящее время теория интегрируемых систем вышла далеко за пределы классической постановки и включает в себя, наряду с изучением конечномерных интегрируемых систем в классическом смысле, исследование феномена интегрируемости в самых различных аспектах. Наш проект объединяет в себя обе точки зрения. Приоритетными темами настоящего проекта являются: (1) вполне интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях, топология и симметрии их слоений Лиувилля, приложения к конкретным задачам динамики твердого тела и обобщенным биллиардам, а также к описанию «регулярных» траекторных инвариантов; (2) симплектические инварианты слоений Лиувилля и их особенностей; приложения этих инвариантов в дифференциальной геометрии и математической физике; (3) интегрируемые системы на двойственных пространствах алгебр Ли и других пуассоновых многообразиях с симметриями, алгебраические аспекты бигамильтоновых систем, приложения к алгебре, геометрии и механике; (4) суперинтегрируемые натуральные механические системы и их возмущения, периодические решения гамильтоновых систем с быстро-медленными переменными и симметриями, приложения к небесной механике. Данная тематика широко представлена в современных математических исследованиях, проводимых в Российской Федерации (МГУ, НГУ, УдГУ) и во многих зарубежных университетах, и является весьма актуальной. Группы, наиболее близкие к нам по тематике, работают в университетах Германии (Берлин, Йена), Франции (Тулуза, Ренн), Великобритании (Лафборо, Leeds), Швейцарии (Лозанна), Израиля (Тель-Авив), Польши (Ольштын, Зелена Гора), Голландии (Гронинген), Испании (Барселона), Сербии (Белград) и Канады (Торонто). В 2016 году по данной тематике было проведено 5 международных конференций («LMS EPSRC Durham Symposium on Geometric and Algebraic Aspects of Integrability» July - August, 2016, Durham, UK; VI International Conference «Geometry, Dynamics, Integrable Systems – GDIS 2016», June 2016, Izhevsk, Russia; «Integrability, Recursion, Geometry And Mechanics» September 2016, at RISM, Varese, Italy; «Poisson 2016», 10th International Conference on Poisson geometry, July 2106, Zurich, Switzerland; «Integrable Systems», Conference at the CSF Ascona, June 2016, Switzerland). (1) Важным объектом изучения в теории интегрируемых систем является лагранжево слоение с особенностями (слоение Лиувилля), естественным образом возникающее на фазовом пространстве любой такой системы. Используя топологические инварианты этих слоений (инварианты Фоменко-Цишанга и бифуркационные комплексы), можно эффективно анализировать устойчивость положений равновесия и периодических траекторий, а также описывать различные режимы движения и переходы между ними, что часто позволяет избежать громоздких вычислений. Вычисление таких инвариантов в интегрируемых задачах геометрии и механики – одно из направлений наших исследований. К настоящему времени разработаны и широко применяются методы изучения слоений Лиувилля с компактными слоями. Однако они не применимы к «кусочно-гладким» системам биллиардного типа, а также к «некомпактным» бифуркациям. Примеры интегрируемых задач механики, лагранжево слоение в которых обладает некомпактными слоями, хорошо известны (например, задача Кеплера). Топология таких слоений изучена лишь для некоторых из них, однако имеющиеся результаты далеко не полны. Помимо инвариантов слоений Лиувилля, в качественной теории интегрируемых систем важную роль играют траекторные инварианты Болсинова-Фоменко, так как они позволяют более полно описать динамические свойства систем. В отличие от топологических инвариантов они не являются дискретными, а зависят от непрерывных параметров, т.е. образуют модули. С практической точки зрения интересны те из них, которые непрерывны по отношению к малым интегрируемым возмущениям системы, поскольку их можно находить численно с высокой точностью. Известно, что не все инварианты Болсинова-Фоменко обладают этим свойством: при изменении топологии слоения Лиувилля происходят бифуркации многих траекторных инвариантов, которые изучены лишь частично. Проект направлен на восполнение этих пробелов, а именно, будет продолжено изучение динамики указанных задач и разработаны принципиально новые методы исследования кусочно-гладких систем типа биллиардов, некомпактных бифуркаций и нетривиальных «регулярных» траекторных инвариантов. (2) Помимо топологических характеристик слоений Лиувилля и их особенностей, в теории интегрируемых систем особую роль играют симплектические инварианты, поскольку именно они важны при переходе от классической задачи к квантовой. Понимание симплектической природы таких слоений в некоторых специальных частных случаях может оказаться полезным для задач, связанных с феноменом зеркальной симметрии. В контексте качественной теории конечномерных интегрируемых систем симплектические инварианты важны тем, что они удивительным образом содержат в себе практически всю информацию о топологии системы, однако эта информация находится в «закодированном» виде, и мы ставим своей задачей обнаружить и описать эти взаимосвязи. Вычисление и исследование симплектических инвариантов вполне интегрируемых систем — важная задача для изучения их динамики. Примерами таких инвариантов являются гамильтонова монодромия, целочисленные решетки переменных действия и аффинная структура с особенностями на базе слоения Лиувилля. Они позволяют делать важные выводы о динамике как в классическом, так и в квантовом случае. Одна из целей проекта - развитие новых методов вычисления симплектических инвариантов и их приложение в геометрии и математической физике. (3) Двойственные пространства алгебр Ли и скобки Пуассона-Ли появились в теории интегрируемых систем как редуцированные фазовые пространства гамильтоновых систем с симметриями. Эти структуры представляют самостоятельный предмет исследования в контексте общей теории алгебр Ли, их представлений и теории инвариантов. Методы и конструкции теории интегрируемых систем теперь активно используются для исследования этих алгебраических объектов. Например, классический метод сдвига аргумента, предложенный А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко для построения интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли, недавно был успешно использован для определения нового типа инвариантов конечномерных алгебр Ли, так называемых инвариантов Жордана-Кронекера. Они оказались полезными для ряда задач в теории алгебр Ли и их представлений. Мы планируем продолжить исследования в этом направлении, в частности, обобщить конструкцию инвариантов Жордана-Кронекера на случай произвольных конечномерных представлений алгебр Ли и доказать обобщенную гипотезу Мищенко-Фоменко. В контексте теории бигамильтоновых систем инварианты Жордана-Кронекера задают алгебраический тип линейного пучка согласованных скобок Пуассона, отвечающего алгебре Ли. Такая интерпретация приводит к целому циклу открытых вопросов, связанных с бипуассоновыми векторными пространствами, систематическое исследование которых является одной из целей проекта. Среди задач, которыми мы собираемся заниматься, наиболее интересной и нетривиальной является исследование особых точек операторов Нийенхейса и топологических препятствий к существованию таких операторов на компактных многообразиях. Эти проблемы непосредственно связаны с теорией бигамильтоновых систем, но имеют естественные приложения во многих других областях математики. (4) Задача поиска «суперинтегрируемых» систем (т.е. систем с замкнутыми траекториями в некоторой области) в классе натуральных механических систем, инвариантных относительно вращений, восходит к работам Дарбу и Бертрана. Динамические и геометрические свойства таких систем изучались многими учеными (Киллинг, Бессе, Перлик, Козлов, Борисов, Мамаев, Сантопрете, Ballesteros, Enciso, Herranz, Ragnisco). Однако в полной общности задача описания всех таких систем остается открытой из-за так называемой “проблемы экваторов”, и одной из наших целей является строгая классификация систем указанного типа. Динамические системы с быстрыми и медленными переменными находят свое применение в разных разделах механики (например, в задаче о движении заряженной частицы в медленно-изменяющемся магнитном поле), однако их применение к задачам небесной механики изучено мало. В небесной механике до сих пор открыты и актуальны проблема люков Кирквуда в поясе астероидов и проблема щелей в кольце Сатурна. Задача N тел типа «планетной системы без спутников», с массами планет одного порядка, со времен Пуанкаре изучалась методами теории возмущений, поскольку она близка к вполне интегрируемой системе. Однако теория возмущений не применима к общей задаче N тел типа «планетной системы со спутниками» (ввиду вырождения симплектической структуры у невозмущенной задачи), если количество планет более одной и массы тел, отличных от Солнца, имеют разные порядки малости. Мы намерены разработать и применить новые методы к задачам такого типа, используя идеи из теории систем с быстрыми и медленными переменными. В частности, мы покажем, что изучаемая задача N тел является специальной системой с быстро-медленными переменными, полученной малым возмущением из набора «суперинтегрируемых» систем типа Бертрана-Дарбу-Перлика, инвариантных относительно вращений, причем у невозмущенной системы симплектическая структура вырождается.

Ожидаемые результаты
(1) Развитие новых методов для изучения слоений Лиувилля, их невырожденных особенностей и траекторных инвариантов интегрируемых систем: (а) описание круговых молекул особенностей типа седло-седло через их представление в виде почти прямых произведений; (б) описание устойчивых особенностей типа седло-седло в системах с двумя степенями свободы; (в) топологический анализ двумерных натуральных систем с магнитным полем, инвариантных относительно вращений, классификация их особенностей и алгоритм вычисления различных топологических инвариантов для этих систем; (г) изучение топологии слоений Лиувилля для конкретных задач механики, в частности, интегрируемых обобщенных биллиардов; случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) и задачи о динамике шара Чаплыгина с ротором; (д) разработка новых топологических методов исследования слоений Лиувилля с некомпактными слоями, классификация некомпактных бифуркаций слоений Лиувилля в случае полных потоков; (e) изучение топологии конкретных интегрируемых систем с «некомпактными слоениями Лиувилля», в частности, обобщенного случая Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела, интегрируемых обобщенных биллиардов, суперинтегрируемых натуральных механических систем Бертрана-Дарбу-Перлика; (ж) изучение траекторных инвариантов 3-мерных интегрируемых несжимаемых течений и интегрируемых систем на 3-мерных изоэнергетических многообразиях. (2) Исследование симплектических инвариантов лагранжевых слоений с особенностями, возникающих в теории интегрируемых систем: (а) описание симплектических инвариантов вырожденных особенностей гамильтоновых систем с одной степенью свободы; (б) исследование топологии трехмерных многообразий, допускающих целочисленную аффинную структуру; (в) доказательство аналога теоремы Дельзанта о глобальной классификации торических действий в терминах аффинной структуры с особенностями на базе слоения Лиувилля (для случая почти торических действий); (г) описание гладких инвариантов фокусных особенностей систем с двумя степенями свободы. (3) Развитие алгебраические методов в теории бигамильтоновых систем: (а) исследование инвариантов Жордана-Кронекера конечномерных алгебр Ли и их представлений, (б) доказательство обобщенной гипотезы о сдвиге аргумента; (в) построение общей теории бипуассоновых векторных пространств; (г) доказательство локальной теоремы существования биинтегрирумой системы для пучка согласованных скобок Пуассона произвольного алгебраического типа; (д) исследование операторов Нийенхейса и их особых точек; (е) исследование топологических препятствий к существованию операторов Нийенхейса на компактных многообразиях. (4) Исследование суперинтегрируемых систем и их возмущений: (а) классификация всех натуральных механических систем типа Бертрана-Дарбу и Бертрана-Дарбу-Перлика без каких-либо ограничений типа орбитальной устойчивости всех круговых решений и отсутствия экваторов; (б) нахождение и описание семейств относительно-периодических решений систем с медленными и быстрыми переменными, нахождение условий структурной устойчивости этих решений и условий на "люки"; (в) нахождение семейств относительно-периодических решений планетно-спутниковых систем, исследование условий структурной устойчивости этих решений и условий на "люки". Все ожидаемые результаты являются фундаментальными, новыми и оригинальными. Они соответствуют мировому уровню и имеют важные приложения в алгебре, геометрии и механике.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ


Аннотация результатов, полученных в 2017 году
(1) Классифицированы с точностью до послойного гомеоморфизма «некомпактные» бифуркации гамильтоновых систем с одной степенью свободы. В предположении конечности числа бифуркационных слоев получен полный инвариант лиувиллевой эквивалентности гамильтоновых систем с одной степенью свободы на некомпактных двумерных многообразиях. (2) Найдены все особенности типа седло-фокус сложности 1 для слоений Лиувилля с компактными слоями в случае систем с тремя степенями свободы. Тем самым проведена классификация с точностью до послойного гомеоморфизма невырожденных особенностей ранга 0 сложности 1 для вполне интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы. (3) Изучены фокусные особенности лагранжевых расслоений на 4-мерных симплектических многообразиях (известные также как нодальные особенности или торы с перетяжками). Показано, что в отличие от эллиптических или гладких особенностей, существуют гомеоморфные фокусные особенности, не являющиеся диффеоморфными. Получено алгебраическое описание пространства модулей фокусных особенностей с точностью до гладкой эквивалентности и показано, что для тора с двойной перетяжкой это пространство одномерно. Эта конструкция применена для опровержения гипотезы Зунга, утверждающей, что любая невырожденная особенность может быть гладким образом разложена в почти прямое произведение стандартных особенностей. (4) Описана топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в обобщенных областях, полученных из компактных плоских областей, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол, склейками как вдоль выпуклых, так и вдоль невыпуклых граничных сегментов. Также классифицированы обобщенные интегрируемые биллиарды (т.е. соответствующие обобщенные области указанного типа). (5) Описана (в терминах инварианта Фоменко-Цишанга) топология слоений Лиувилля на трехмерных неособых изоэнергетических многообразиях для следующих интегрируемых задач механики: - интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4), на любой ее регулярной орбите коприсоединенного представления; - «некомпактных» слоений Лиувилля, возникающих в семействе интегрируемых систем Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела в жидкости (перечислены все возникающие в этих слоениях бифуркации). Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, получено описание особенностей отображения момента и изучены другие топологические свойства для следующих интегрируемых систем: - задачи о качении шара Чаплыгина с ротором; - интегрируемых систем на алгебре Ли е(3) с линейным периодическим интегралом; - интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке на алгебре Ли so(4). (6) Исследован вопрос о существовании «устойчивых» нетривиальных траекторных инвариантов интегрируемых систем с 2 степенями свободы. Изучены непрерывные (т.е. мало меняющиеся при малых интегрируемых возмущениях систем) инварианты таких систем на компактных изоэнергетических 3-мерных многообразиях. Доказано, что всякий непрерывный траекторный инвариант является тривиальным, т.е. может быть выражен в терминах локальных экстремумов функции вращения на одно-параметрических семействах инвариантных торов при условии, что система допускает сечение Пуанкаре рода ноль. (7) Конструкция инвариантов Жордана-Кронекера обобщена на случай конечномерных представлений алгебр Ли. Показана связь инвариантов Жордана-Кронекера с другими естественными инвариантами представлений: структурой стабилизаторов, полиномиальными инвариантами и множеством особых точек. Получены оценки, связывающие минимальные индексы столбцов с количеством алгебраически независимых полиномиальных инвариантов представления и их степенями. Проведен сравнительный анализ двух различных подходов к определению подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Ли-Пуассона конечномерных алгебр Ли. Первый подход, общепринятый в алгебраическом сообществе, использует полиномиальные инварианты коприсоединенного представления. Второй основан на понятии формальных инвариантов и позволяет поэтому работать с произвольными алгебрами Ли, не обязательно алгебраическими. В этом смысле второй подход более универсален. Указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти два типа подалгебр совпадают, и изучены их инфинитезимальные свойства. Обнаружено, что для некоторых важных геометрических структур, возникающих в проективной и с-проективной дифференциальной геометрии, существует тесная связь с конструкцией метода сдвига аргумента Мищенко-Фоменко. Более того, эту неожиданную связь можно эффективно использовать для решения геометрических задач. Это продемонстрировано в задаче об описании локальных нормальных форм псевдокэлеровых метрик в нулевым тензором Бохнера. Эта задача полностью решена. Кроме того, используя конструкцию сдвига аргумента, удалось построить серию новых примеров псевдоримановых и псевдокэлеровых симметрических пространств. (8) Изучено строение операторов Нийенхейса в окрестностях особых точек (т.е. таких, в которых спектр не является простым). Доказано совпадение левосимметрических алгебр и линейных операторов Нийенхейса. Доказано существование естественной структуры левосимметрической алгебры на касательном пространстве в такой особой точке, где оператор Нийенхейса становится скалярным. Получена классификация всех двумерных левосимметрических алгебр. Для каждой алгебры из полученного списка решен (в гладком случае) вопрос о линеаризуемости оператора Нийенхейса в окрестности точки. В аналитическом случае для двух алгебр полученного списка задача сведена к вопросу линеаризации векторных полей. Достаточное условие линеаризуемости, близкое к необходимому, получено в терминах чисел Брюно. (9) Исследована полулокальная устойчивость особенностей типа седло-седло, а также ее связь с характеристиками круговой молекулы особенности. Получен критерий покомпонентной устойчивости (т.е. устойчивости относительно интегрируемых возмущений некоторого специального вида, названных покомпонентными) для седловых особенностей ранга 0 в случае любого числа степеней свободы. Для каждой из 39 особенностей типа седло-седло сложности 2 выяснено, является ли она покомпонентно устойчивой, и в случае неустойчивости явно указано ее возмущение, расщепляющее особый слой. Получен алгоритм определения возможности расщепления особенности типа седло-седло сложности 2 по ее круговой молекуле. (10) Начато исследование симплектических инвариантов гамильтоновых систем с вырожденными особенностями. Получено описание симплектических инвариантов особых точек интегрируемых систем с одной степенью свободы (вещественно аналитический случай). Получена локальная симплектическая классификация таких особенностей. (11) Начато вычисление инвариантов Жордана-Кронекера для полупрямых сумм простых алгебр Ли с коммутативным идеалом: вычислены инварианты Жордана-Кронекера для алгебр Ли so(n)+(R^n)^k и sp(n)+(R^n)^k, являющихся полупрямыми суммами соответственно алгебр Ли so(n) и sp(n) с k экземплярами пространств их стандартных представлений. Полученные результаты опубликованы в 5 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 4 международных конференциях (13 докладов). 3 работы приняты к публикации, 2 работы сданы в печать и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).

 

Публикации

1. Болсинов А.В. Some remarks about Mishchenko-Fomenko subalgebras Journal of Algebra, Vol. 483, pp. 58-70 (год публикации - 2017).

2. Ведюшкина В.В. Слоение Лиувилля невыпуклых топологических биллиардов Доклады академии наук, - (год публикации - 2018).

3. Ведюшкина В.В. Слоение Лиувилля невыпуклых топологических биллиардов Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Материалы международной молодежной научной школы «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы», Вып. 7, Часть I, с. 38-39 (год публикации - 2017).

4. Ведюшкина В.В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических биллиардов Математический сборник, - (год публикации - 2018).

5. Ворушилов К.С. Инварианты Жордана-Кронекера для полупрямых сумм алгебр Ли по стандартному представлению Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Материалы международной молодежной научной школы «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы», Вып. 7, Часть I, с. 38-39 (год публикации - 2017).

6. Ворушилов К.С. Jordan-Kronecker invariants for semidirect sums defined by standard representation of orthogonal or symplectic Lie algebras Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 38, No. 6, pp. 1121-1130 (год публикации - 2017).

7. Жила А.И. Сравнение системы шар Чаплыгина с ротором и системы Жуковского с точки зрения грубой лиувиллевой эквивалентности Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика, №6, 28-33 (год публикации - 2017).

8. Жила А.И. Изоэнергетические поверхности системы: шар Чаплыгина с ротором Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Материалы международной молодежной научной школы «Актуальные направления математического анализа и смежные вопросы», Вып. 7, Часть I, с.77-78 (год публикации - 2017).

9. Козлов И.К., Ошемков А.А. Integrable systems with linear periodic integral for the Lie algebra e(3) Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 38, No. 6, pp. 1014-1026 (год публикации - 2017).

10. Кудрявцева Е.А. Continuous orbital invariants of integrable Hamiltonian systems Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 38, No. 6, pp. 1027-1041 (год публикации - 2017).

11. Ошемков А.А., Тужилин М.А. Интегрируемые возмущения седловых особенностей ранга ноль гамильтоновых систем Математический сборник, - (год публикации - 2018).


Аннотация результатов, полученных в 2018 году
(1) Описана топология слоений Лиувилля для интегрируемых биллиардов и их обобщений: Для любой невырожденной бифуркации торов Лиувилля интегрируемой гамильтоновой системы (3-атома) дано алгоритмическое построение интегрируемой биллиардной книжки, в изоэнергетическом многообразии которой возникает такая бифуркация. Описана топология слоения Лиувилля на неособых изоэнергетических многообразиях для геодезического потока в поле сил упругого потенциала на двумерном эллипсоиде. (2) Изучены симплектические инварианты каспидальных (параболических) особенностей интегрируемых систем. Предложены новые методя для исследования симплектических инвариантов вырожденных особенностей более общего типа. (3) Получена классификация целочисленных аффинных 3-мерных многообразий, которые могут возникать как базы лагранжевых расслоений (без особенностей) на компактных симплектических многообразиях размерности 6. (4) Вычислены инварианты Жордана-Кронекера для многих естественных представлений классических алгебр Ли. (5) Показано, что билагранжев грассманиан как алгебраическое многообразие является приводимым и может содержать неприводимые компоненты малой размерности. Сформулирована гипотеза о разложении неприводимой компоненты лагранжева грассманниана максимальной размерности на орбиты группы автоморфизмов. Получен критерий продолжимости биизотропного подпространства до билагранжева в бипуассоновом пространстве. Для алгебры Ли so(n) доказана полнота бикоммутативного набора полиномов малых степеней, получаемого при помощи алгебраического оператора Нийенхейса-Соколова-Одесского на этой алгебре. Получено (легко проверяемое) достаточное условие полноты коммутативных подалгебр, построенных по алгебраическому оператору Нийенхейса. В качестве примера доказана полнота коммутативного набора, построенного по оператору Соколова-Одесского общего положения. (6) Классифицированы супер-интегрируемые системы Бертрана. Для конфигурационных многообразий вращения с экваторами доказано, что множество сильно бертрановых систем имеет бесконечную коразмерность в множестве бертрановых систем, а множество бертрановых систем в свою очередь имеет бесконечную коразмерность в множестве локально-бертрановых систем. (7) Получена классификация гамильтоновых систем с полными потоками на некомпактных двумерных многообразиях с точностью до топологической сопряжённости. (8) Продолжено исследование топологии слоений Лиувилля для конкретных интегрируемых систем с 2 степенями свободы (по п.5 плана на 2017 год, п.8 плана на 2018 год): Построены бифуркационные диаграммы и исследованы особенности для интегрируемой системы Ковалевской на алгебре Ли so(3,1). (9) Описаны нормальные формы операторов Нийенхейса в окрестности алгебраически регулярных особых точек. Описаны нормальные формы нильпотентных операторов Нийенхейса, удовлетворяющих уравнению А^3=0. Решена проблема линеаризации для диагональной лево-симметрической алгебры. Описаны нормальные формы согласованных пар (риманова метрика, оператор Нийенхейса) в окрестностях функционально невырожденных особых точек. Полученные результаты опубликованы в 8 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 10 международных конференциях (32 доклада). 2 работы приняты к публикации, 2 работы сданы в печать и одна из них опубликована в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).

 

Публикации

1. Болсинов А., Гульелми Л., Кудрявцева Е. Symplectic invariants for parabolic orbits and cusp singularities of integrable systems Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Volume 376, Issue 2131, 20170424 (год публикации - 2018).

2. Болсинов А., Изосимов А. Smooth invariants of focus-focus singularities and obstructions to product decomposition Journal of Symplectic Geometry, - (год публикации - 2019).

3. Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами Доклады академии наук, том 479, № 6, с. 607-610 (год публикации - 2018).

4. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем Математический сборник, том 209, номер 12, с.17-56 (год публикации - 2018).

5. Ворушилов К.С. Инварианты Жордана-Кронекера полупрямых сумм некоторых алгебр Ли Материалы Международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна – 2018". Издательско-полиграфический центр "Научная книга", Воронеж, с. 182-183 (год публикации - 2018).

6. Кибкало В. Topological analysis of the Liouville foliation for the Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra so(4) Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 39, No. 9, pp. 1331-1334 (год публикации - 2018).

7. Кибкало В.А. Топологическая классификация слоений Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) Математический сборник, - (год публикации - 2019).

8. Кобцев И.Ф. Геодезический поток двумерного эллипсоида в поле упругой силы: топологическая классификация решений Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика, том 73, № 2, с. 27-33 (год публикации - 2018).

9. Коняев А.Ю. Полнота некоторых коммутативных подалгебр, ассоциированных с операторами Нийенхейса на алгебрах Ли Доклады академии наук, том 479, No. 3, с. 247-249 (год публикации - 2018).

10. Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Суперинтегрируемые бертрановы натуральные механические системы Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры, том 148, с. 37-57 (год публикации - 2018).

11. Николаенко С.С. Topological classification of the Goryachev integrable systems in the rigid body dynamics: non-compact case Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 38, No. 6, pp. 1050-1060 (год публикации - 2017).


Аннотация результатов, полученных в 2019 году
(1) Для произвольных n,k построена биллиардная книжка, изоэнергетическое многообразие которой гомеоморфно линзовому пространству L(n,k). Реализовано слоение Лиувилля интегрируемого геодезического потока на торе, обладающего квадратичным первым интегралом, в виде слоения Лиувилля некоторой биллиардной книжки. Реализовано слоение Лиувилля неособого изоэнергетического многообразия интегрируемой гамильтоновой системы Горячева-Чаплыгина, обладающей дополнительным первым интегралом степени 3, в виде слоения Лиувилля некоторой биллиардной книжки. Вычислены функции вращения для плоских биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы. Также вычислены траекторные инварианты данных динамических систем. (2) (а) Получены локальная и полулокальная симплектические классификации параболических особенностей с резонансами для случая вещественно-аналитических систем с двумя степенями свободы. Доказана структурная устойчивость таких особенностей относительно интегрируемых возмущений. Разработаны новые методы для изучения симплектической классификации и структурной устойчивости общих многомерных особенностей вещественно-аналитических интегрируемых систем с произвольным числом степеней свободы. (б) Получена классификация орбит общего положения коприсоединенного представления группы симплектоморфизмов поверхности с границей. Классифицированы функции Морса на поверхности с краем относительно действия группы симплектоморфизмов. (3) Продолжено исследование невырожденных особенностей ранга ноль многомерных интегрируемых гамильтоновых систем. Получена классификация невырожденных особенностей ранга 0 для интегрируемых гамильтоновых систем малой сложности. (4) Завершена работа по исследованию инвариантов Жордана-Кронекера конечномерных представлений алгебр Ли. Для произвольного представления комплексной конечномерной алгебры Ли построен набор целых чисел, называемых инвариантами Жордана-Кронекера этого представления.  Среди прочих интересных свойств, эти числа дают нижнюю оценку на степени полиномиальных инвариантов представления. Доказано, что эти оценки становятся точными тогда и только тогда, когда инварианты независимы вне множества большой коразмерности.  Показано, что при некоторых дополнительных ограничениях наши оценки точны тогда и только тогда, когда алгебра инвариантов представления свободно порождена. Вычислены инварианты Жордана-Кронекера для полупрямых сумм алгебр sl(n)+(R^n)^k и gl(n)+(R^n)^k по стандартному представлению в случаях, когда k делит n с остатком 1 или остатком k-1. (5) (а) Была исследована задача о существовании биинтегрируемой системы для заданного пучка согласованных скобок Пуассона. (б) Как и планировалось, описаны особые точки систем Соколова-Одесского в терминах алгебр вырождения. Эти алгебры оказываются левосимметрическими. Оказалось, что полученные коммутативные наборы содержат централизатор полупростого элемента алгебры Ли gl особого вида. Однако, этого оказалось недостаточно для того, чтобы сравнить полученные таким образом коммутативные алгебры, с алгебрами Мищенко-Фоменко. (6) Классифицированы левоинвариантые римановы и субримановы метрики на трехмерных группах Ли, исследована динамика соответствующих геодезических потоков и натуральных систем, обобщающих классические интегрируемые случаи из динамики твердого тела. Более подробно: Показано, что любая левоинвариантная гамильтонова система на кокасательном расслоении 3-мерной группы Ли всегда интегрируема по Лиувиллю. Это свойство выводится из двумерности орбит коприсоединенного представления. В частности, интегрируемость является общим свойством всех таких групп независимо от их размерности. Классифицированы левоинвариантые римановы и субримановы метрики на трехмерных группах Ли. Описание таких метрик и соответствующих гамильтонианов дано явно в терминах глобальных координат на соответствующей группе, что позволяет легко получить параметрические уравнения геодезических в квадратурах. (7) Получена топологическая классификация 3-мерных особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на некомпактных многообразиях при условии, что гамильтоновы потоки, порожденные первыми интегралами, полны, и хотя бы одна из орбит гамильтонова действия на особом слое содержит нетривиальный цикл. Показано, что всякая такая особенность допускает локально свободное гамильтоново действие окружности. (8) Продолжено исследование топологии слоений Лиувилля для конкретных интегрируемых систем с 2 степенями свободы: (а) Проведен топологический анализ натуральных механических систем с магнитным полем, инвариантных относительно вращения. (б) Завершено исследование топологии неособых изоэнергетических подмногообразий и слоений Лиувилля на них для интегрируемых систем Ковалевской на алгебрах Ли so(4) и so(3,1). А именно, были вычислены значения инварианта Фоменко-Цишанга для слоений Лиувилля на изоэнергетических подмногообразиях системы Ковалевской на алгебре Ли so(3,1). Получен полный список из 25 и 16 значений инварианта в случаях ненулевой и нулевой постоянной площадей соответственно. Показана лиувиллевая эквивалентность некоторых описанных слоений слоениям классического случая Ковалевской в механике твердого тела (случай алгебры Ли e(3)) и случая Соколова. (9) Были продолжены работы по изучению геометрии Нийенхейса, нового раздела современной дифференциальной геометрии. Результаты, идеи и методы, относящие к исследованию операторов Нийенхейса, направлены на развитие этого нового раздела. От локального описания операторов в точках общего положения предлагается перейти к исследованию их особенностей и глобальному анализу. Предложена конкретная программа исследований в этом направлении. Введена терминология, соответствующая новым задачам, развиты новые техники исследования (такие как аналитические функции от операторов Нийенхейса, теорема о расщеплении и метод линеаризации), обобщены известные факты и, что наиболее важно, доказан ряд новых, совершенно неочевидных результатов, демонстрирующих реалистичность предлагаемой исследовательской программы. Классифицированы двумерные левосимметрические алгебры и получена их полная классификация в терминах невырожденности в гладком и неполная в аналитическом случаях. В двумерном случае решена проблема линеаризации полностью. Кроме этого доказана невырожденность диагональной суммы одномерных левосимметрических алгебр в аналитическом случае. Изучен нормальный вид регулярного оператора не только в формальном, но и в аналитическом случае, установлена глубокая связь с системами гидродинамического типа. Оказалось, что такие операторы есть ни что иное, как гидродинамические потоки с максимальным количеством континуальных симметрий в случае, когда не выполняется условие гиперболичности. Доказано, что особые точки типа жордановой клетки образуют регулярную гиперповерхность коразмерности один, которая совпадает с множеством нулей определителя. Определитель при этом имеет вид степенной функции одной из координат в подходящей системе координат. Кроме этого удалось получить полную классификацию локальных геометрий регулярных операторов Нийенхейса в окрестности кривой вырождения в двумерном случае. Как оказалось, все такие нормальные формы полиномиальны, а их степень определяется степенью определителя. (10) Доказано существование двупараметрических семейств относительно-периодических решений, а также аналогов люков Кирквуда для планетно-спутниковых систем. Полученные результаты опубликованы в 3 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 10 международных конференциях (22 доклада) и 4 зарубежных семинарах (4 доклада). 8 работ приняты к публикации, 5 работ сданы в печать (включая одну опубликованную и одну принятую к публикации) в журналы и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На механико-математическом факультете МГУ работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).

 

Публикации

1. - Математики МГУ совместно с зарубежными учеными создали новую геометрию Аргументы и Факты (АИФ), - (год публикации - ).

2. - Математики МГУ совместно с зарубежными учеными создали новую геометрию gazeta.ru, - (год публикации - ).

3. - Математики МГУ совместно с зарубежными учеными создали новую геометрию lenta.ru, - (год публикации - ).

4. - Математики МГУ совместно с зарубежными учеными создали новую геометрию nauka.ru, - (год публикации - ).

5. Болсинов А.В., Бао Дж. A note about integrable systems on low-dimensional Lie groups and Lie algebras Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 24, No. 3, pp. 266-280 (год публикации - 2019).

6. Ведюшкина В.В. Слоение Лиувилля бильярдной книжки, моделирующей случай Горячева-Чаплыгина Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика, №1, 64-68 (год публикации - 2020).

7. Ведюшкина В.В. Интегрируемые биллиарды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе Математический сборник, том 211 (год публикации - 2020).

8. Ведюшкина В.В. Траекторные инварианты плоских бильярдов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика, - (год публикации - 2020).

9. Ворушилов К.С. Инварианты Жордана—Кронекера для полупрямых сумм вида sl(n)+(R^n)^k и gl(n)+(R^n)^k Фундаментальная и прикладная математика, том 22, № 6, с. 3-18 (год публикации - 2019).

10. Кибкало В.А. Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra so(3, 1) Topology and its Applications, - (год публикации - 2020).

11. Козлов И.К. Целочисленные аффинные 3-многообразия Фундаментальная и прикладная математика, том 22, № 6, с. 151-167 (год публикации - 2019).

12. Козлов И.К., Ошемков А.А. Классификация особенностей типа седло-фокус Фундаментальная и прикладная математика, том 23 (год публикации - 2020).

13. Коняев А.Ю. Полнота коммутативных подалгебр Соколова-Одесского и операторы Нийенхейса gl(n) Математический сборник, - (год публикации - 2020).

14. Кудрявцева Е.А., Ошемков А.А. Бифуркации интегрируемых механических систем с магнитным полем на поверхностях вращения Фундаментальная и прикладная математика, том 23 (год публикации - 2020).

15. Николаенко С.С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных некомпактных многообразиях Математический сборник, - (год публикации - 2020).