Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Проект посвящен доказательству прямых и обратных теорем теории приближений в пространствах Lp на на евклидовом пространстве с весом Данкля и решению прямых и обратных задач математической теории дифракции. В 2018 году получены следующие результаты. Результаты, направленные на развитие гармонического анализа Данкля: - В пространстве Шварца бесконечно дифференцируемых, быстро убывающих на бесконечности функций, определены два подпространства типа Лизоркина функций, ортогональных многочленам с весом Данкля, и функций, все дифференциально-разностные операторы Данкля которых в нуле равны рулю. Показано, что они плотны в пространствах Lp с весом Данкля, и что дифференциально-разностные операторы Данкля в определении второго подпространства можно заменить на обычные частные производные. - С помощью теории обобщенных функций на пространстве Шварца и его подпространствах типа Лизоркина определены целые и дробные степени лапласиана Данкля, пространство Соболева и K-функционал. - Во всей шкале пространств Lp с весом Данкля доказана ограниченность оператора обобщенного сдвига М. Реслер на радиальных функциях. - Путем усреднения по евклидовой сфере с весом Данкля оператора обобщенного сдвига М. Реслер построен положительный оператор обобщенного сдвига. Доказана его ограниченность во всех пространствах Lp с весом Данкля. Показано, что он может быть определен с помощью радиального мультипликатора - нормированной функции Бесселя и в безвесовом случае является широко применяемым в классическом анализе Фурье оператором среднего значения по сфере. - С помощью построенного оператора обобщенного сдвига определены модули гладкости целого и дробного порядков. - С помощью построенного оператора обобщенного сдвига определена свертка. Для нее доказана теорема Юнга. Показано, что эта свертка совпадает со сверткой, определенной С. Тангавелу и Ю. Шу с помощью оператора обобщенного сдвига М. Реслер на радиальных функциях. - Доказано, что целые функции экспоненциального сферического типа из пространств Lp с весом Данкля ограничены на евклидовом пространстве. Для этого в евклидовом пространстве построены специальные сетки, близкие к решеткам, и точки которых отделены от гиперплоскостей, связанных с весом Данкля. На этих сетках получены двусторонние дискретные оценки весовой Lp-нормы целой функции экспоненциального сферического типа. Результаты, направленные на развитие теории приближений в пространствах Lp с весом Данкля: - Определена величина наилучшего приближения функции из пространства Lp с весом Данкля целыми функциями экспоненциального сферического типа. Доказано, что она достигается. - В пространствах Lp с весом Данкля доказано неравенство Джексона-Стечкина, в котором наилучшее приближение функции из пространства Соболева целого или дробного порядка r оценивается через любой определенный модуль гладкости целого или дробного порядка r-ой степени ее лапласина Данкля. - Доказана эквивалентность модулей гладкости целого или дробного порядка K-функционалу того же порядка. - Установлены свойства модулей гладкости, аналогичные свойствам классических модулей гладкости. - Для целых функций экспоненциального сферического типа доказаны неравенства между Lp-нормами с весом Данкля суперпозиций разностного оператора и степени лапласиана Данкля целого или дробного порядков. В качестве следствий получены весовые аналоги известных неравенств Никольского разных метрик, Бернштейна, Никольского-Стечкина, Боаса. - Доказаны два обратных неравенства теории приближений в форме Стечкина, в которых модуль гладкости функции или модуль гладкости степени ее лапласиана Данкля оцениваются через ее наилучшие приближения целыми функциями экспоненциального сферического типа. Порядок модуля гладкости и степень лапласиана Данкля могут быть как целыми, так и дробными. - Доказано, что скорости стремления к нулю наилучшего приближения функции в пространстве Lp с весом Данкля и ее модуля гладкости целого или дробного порядка совпадают тогда и только тогда, когда скорость стремления к нулю модуля гладкости совпадает со скоростью стремления к нулю модуля гладкости этой функции любого большего порядка. Результаты для потенциала Данкля-Рисса: - Потенциал Данкля-Рисса любого положительного порядка, как обратный оператор для степени лапласиана Данкля, с помощью степенного мультипликатора определен на инвариантном для него подпространстве пространства Шварца, в котором функции ортогональны многочленам с весом Данкля. - Для потенциала Данкля-Рисса получены общие условия (Lp,Lq)-ограниченности с весом Данкля и степенными весами, аналогичные условиям Харди-Литлвуда-Соболева-Стейна-Вейса (Lp,Lq)-ограниченности классического потенциала Рисса со степенными весами. В них только вместо размерности евклидова пространства участвует обобщенная размерность, учитывающая вес Данкля. - Для потенциала Данкля-Рисса вычислено точное значение нормы, как оператора из Lp в Lp с весом Данкля и степенными весами. Ее значение можно получить из значения нормы классического потенциала Рисса, как оператора из Lp в Lp со степенными весами, вычисленного Хербстом-Бекнером-Самко, если размерность евклидова пространства заменить на обобщенную размерность. Результаты по точным константам в неравенствах Джексона-Никольского и Бернштейна-Никольского для целых функций экспоненциального типа: - Доказано, что экстремальные целые функции экспоненциального типа в неравенстве Джексона-Никольского и неравенстве Бернштейна-Никольского для степени одномерного лапласиана Данкля между С- и Lp-нормами на оси со степенным весом являются четными функциями с максимумами в нуле. - Для констант Джексона-Никольского в подпространстве Lp целых функций экспоненциального типа на оси со степенным весом установлены двухсторонние границы, имеющие близкое асимптотическое поведение. - Вычислены точные значения константы Джексона-Никольского и Бернштейна-Никольского для одномерного лапласиана Данкля на множестве в L1 неотрицательных целых функций экспоненциального типа на оси со степенным весом. - Уточнен результат Е. Левина и Д. Любинского о предельной связи между Lp-константой Джексона-Никольского для тригонометрических полиномов и соответствующей константой для целых функций экспоненциального типа. - Предложены новые двусторонние оценки безвесовой константы Джексона-Никольского для целых функций экспоненциального типа на оси. - Доказана универсальная по размерности оценка констант Джексона-Никольского между C- и L-нормами сферических полиномов и целых функций экспоненциального сферического типа, улучшающая предыдущую оценку на экспоненциальный от размерности множитель. - Доказаны асимптотические оценки константы Джексона-Никольского для лакунарных сферических полиномов, уточняющие общие оценки и не имеющие одномерного аналога. Результаты, опирающиеся на неравенство Питта для преобразования Фурье: - При помощи неравенства Питта для преобразования Фурье доказаны весовые неравенства типа Пуанкаре-Соболева и Карлемана с градиентом функции. Как следствие, установлена серия весовых результатов в проблеме единственности продолжения слабых решений уравнений в частных производных первого порядка. Результаты в области математической теории дифракции звука: - Решена задача о дифракции плоской звуковой волны на бесконечном круговом упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием, находящемся в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью, вблизи плоской идеальной поверхности (абсолютно жесткой и акустически мягкой). - Получено решение задачи о дифракции плоской звуковой волны на конечном круговом упругом цилиндре, на боковую поверхность которого нанесен слоисто-неоднородный слой, в присутствии подстилающей поверхности. Показана эффективность использования метода конечных элементов для решения задач о рассеянии звука при достаточно сложных конфигураций упругих рассеивающих объектов. - На основе численно-аналитического решения прямой задачи дифракции плоской звуковой волны на конечном упругом цилиндре, расположенном вблизи границы раздела сред, решена обратная задача об определении координат центра, радиуса, высоты и ориентации конечного цилиндра. Идентификация параметров цилиндра проводится по известному рассеянному полю плоской звуковой волны. - Решена задача дифракции плоской звуковой волны на однородном сплошном упругом шаре с непрерывно-неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоскости (абсолютно жесткой и акустически мягкой). - Получено и исследовано решение задачи дифракции плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и полостью, находящемся вблизи идеальной плоскости. Полагается, что полость является сферической и расположена в шаре произвольным образом. Решение задачи получено в численно-аналитической форме. - Решена задача дифракции плоской звуковой волны на бесконечном однородном упругом эллиптическом цилиндре (в частном случае, круговом) с непрерывно-неоднородным покрытием, находящемся в идеальной жидкости, граничащей с упругим полупространством. Предполагается, что толщина покрытия постоянна, а его материальные параметры являются функциями расстояния от точки покрытия до поверхности однородного цилиндра. - Решена задача о рассеянии плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием. Шар находится вблизи импедансной или упругой границы полупространства. Решение получено с использованием интегрального уравнения Гельмгольца и функции Грина точечного источника в полупространстве с упругой границей. - Проведено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом трехосным эллипсоиде с непрерывно-неоднородным покрытием, находящемся вблизи идеальной границы раздела сред. Получено аналитико-численное решение задачи с использованием метода конечных элементов. - Решена задача дифракции звука на однородном упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи границы раздела двух жидких полупространств. Падающая звуковая волна полагается цилиндрической, излучаемой линейным источником, параллельным оси цилиндра. - Получено решение задачи дифракции звука на однородном упругом шаре с неоднородным покрытием, находящемся в идеальной жидкости вблизи границы с другим жидким полупространством. - Решена задача дифракция сферической звуковой волны на однородном упругом круговом цилиндре с непрерывно-неоднородным покрытием. Аналитическое решение задачи получено на основе известного решения аналогичной задачи дифракции плоской волны. - Для исследования влияния тепловых процессов на рассеяние звука термоупругими телами с термоупругими неоднородными покрытиями решены в качестве эталонных задачи дифракции плоских и цилиндрических звуковых волн на однородных термоупругих телах цилиндрической и сферической формы, находящихся в безграничной невязкой теплопроводной жидкости. - Разработаны алгоритмы расчета угловых и частотных характеристик рассеяния для тел с покрытиями в дальней зоне поля; проведены численные расчеты и анализ этих характеристик при различных законах неоднородности материала покрытия. Выявлено существенное влияние подстилающих поверхностей на рассеяние звука, обусловленное многократными переотражениями между телом и поверхностью. Изучено влияние свойств подстилающих поверхностей на рассеянное акустическое поле, а также влияние законов неоднородности покрытий, геометрических и материальных параметров рассеивателей на дифракцию звука. Результаты исследований по тематике проекта опубликованы в 15 статьях в научных журналах, препринтах CRM, arXiv.org (7 из них индексируются в базах данных Scopus, 11 - в РИНЦ) и одной монографии, доложены на 5 конференциях. Для части работ полный текст доступен в сети Интернет: Горбачев Д.В. Константы Никольского-Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального типа на оси http://journal.imm.uran.ru/2018-v.24-4-pp.92-103 Горбачев Д.В., Иванов В.И., Тихонов С.Ю. Positive Lp-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications https://arxiv.org/pdf/1703.06830v2.pdf Горбачев Д.В., Иванов В.И., Fractional smoothness in Lp with Dunkl weight and its applications https://arxiv.org/pdf/1812.04946v1.pdf Горбачев Д.В., Иванов В.И., Тихонов С.Ю. Riesz potential and maximal function for Dunkl transform http://www.crm.cat/en/Publications/Publications/2018/Pr1238.pdf Д'Карли Л., Горбачев Д.В., Тихонов С.Ю. Weighted gradient inequalities and unique continuation problems http://www.crm.cat/en/Publications/Publications/2018/Pr1239.pdf Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн упругим эллипсоидом с неоднородным покрытием в полупространстве с идеальной поверхностью https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/436 Скобельцын С.А., Федотов И.С., Титова А.С. Дифракция звука на упругом шаре с неоднородным покрытием и полостью в полупространстве https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/449 Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Дифракция звука в полупространстве на конечном упругом цилиндре с неоднородным покрытием https://elibrary.ru/item.asp?id=35657979 Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Рассеяние звука неоднородным упругим эллиптическим цилиндром в акустическом полупространстве https://elibrary.ru/item.asp?id=35657981 Толоконников Л.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/451 Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на двух упругих цилиндрах с неоднородными покрытиями https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/437

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Проект посвящен доказательству прямых и обратных теорем теории приближений в пространствах Lp на на евклидовом пространстве с весом Данкля и решению прямых и обратных задач математической теории дифракции. В 2019 году получены следующие результаты: Результаты, направленные на развитие теории приближений в пространствах Lp с весом Данкля: - С помощью построенного нами положительного оператора обобщенного сдвига определен модуль непрерывности, удобный при доказательстве точных неравенств Джексона. - Доказано неравенство Джексона с точной константой между величиной наилучшего приближения функции целыми функциями экспоненциального сферического типа и ее модулем непрерывности в пространствах Lp с весом Данкля при p из интервала [1,2). - В пространствах Lp с весом Данкля при 1<p<$\infty$ доказаны два неравенства, в которых взвешенные средние наилучших приближений целыми функциями экспоненциального сферического типа и взвешенные средние модулей гладкости дробного порядка оцениваются через модуль гладкости меньшего дробного порядка. Первое неравенство дает точную форму прямого неравенства теории приближений. Второе неравенство относится к неравенству типа Маршо. - В пространствах Lp с весом Данкля при 1<p<$\infty$ доказаны два неравенства, в которых модуль гладкости дробного порядка оценивается через взвешенные средние наилучших приближений и взвешенные средние модулей гладкости большего дробного порядка. Первое неравенство дает точную форму обратного неравенства в теории приближений. Второе неравенство также относится к неравенству типа Маршо. - В пространствах Lp с весом Данкля при 1<p<$\infty$ для модуля гладкости дробного порядка даны двусторонние оценки через взвешенные средние норм дробных степеней лапласиана Данкля наилучших приближений. - В пространствах Lp с весом Данкля при 1<p<$\infty$ для модуля гладкости дробного порядка даны двусторонние оценки через взвешенные средние норм средних типа Валле Пуссена, определяемые бесконечно гладкими мультипликаторами с компактными носителями. - Получены описания пространства Бесова с весом Данкля. - В пространствах Lp с весом Данкля при 1<p<$\infty$ доказаны неравенства типа Литлвуда–Пэли. - В пространствах Lp с весом Данкля при 1<p<$\infty$ для модуля гладкости дробного порядка даны двусторонние оценки в терминах убывания преобразования Данкля, для чего установлены новые неравенства Питта для преобразования Данкля. - Доказана плотность пространства Шварца в пространстве Соболева дробного порядка с весом Данкля. Результаты для потенциала Данкля–Рисса: - Для пространств с весом Данкля получены необходимые и достаточные условия на радиальные кусочно-степенные веса для (Lp,Lq)-ограниченности потенциала Данкля–Рисса с двумя кусочно-степенными весами. В случае одного кусочно-степенного веса, или когда вес Данкля равен 1, все условия, а не только условия на параметры кусочно-степенного веса, являются необходимыми и достаточными. Результаты, связанные с весовыми Ap и Ap,q-условиями Макенхаута в пространствах с весом Данкля: - Получены равномерные порядковые оценки мер Данкля евклидовых шаров, из которых вытекает, что мера Данкля удовлетворяет условию удвоения. - Определены понятия весовых Ap и Ap,q-условий Макенхаута в пространствах с весом (мерой) Данкля. - Найдены необходимые и достаточные условия, при которых радиальные кусочно-степенные веса удовлетворяют Ap и Ap,q-условиям Макенхаута в пространствах с весом Данкля. - На примере радиальных кусочно степенных весов подтверждена гипотеза о том, что Ap,q-условие Макенхаута для q-й степени веса является необходимым и достаточным условием на вес для (Lp,Lq)-ограниченности потенциала Данкля–Рисса с одним весом. Результаты исследования экстремальных свойств целых функций экспоненциального сферического типа, знакопостоянных вне некоторой окрестности нуля, и с ограничениями на преобразование Данкля: - Решена обобщенная m-задача Логана о наименьшем евклидовом шаре с центром в нуле, вне которого нетривиальная целая функция экспоненциального сферического типа или неположительна, или неотрицательна в зависимости от m, она всюду имеет неотрицательное преобразование Данкля и ортогональна |x|^{2k} при к=0,1,…,m-1. Доказано, что экстремальная функция единственная и радиальная. В безвесовом случае результаты новые и для преобразования Фурье. Б.Логан поставил и решил рассматриваемую задачу для преобразования Фурье в одномерном случае и m=0,1. - Решена экстремальная задача о наименьшем значении произведения типа целой функции и радиуса шаровой окрестности нуля, вне которой нетривиальная целая функция экспоненциального сферического типа неположительна (неотрицательна), а k-е степени ее лапласиана Данкля и l-е степени лапласиана Данкля ее преобразования Данкля в нуле равны нулю, где k=0,1,…,s, l=0,1,…,m. Доказано, что экстремальная функция неединственна. Для экстремальных функций получено полное описание. Для класса целых функций экспоненциального сферического типа эта задача является обобщением принципа неопределенности Бургейна–Клозеля–Кахана, в котором минимизируется произведение радиусов шаров с центрами в нуле, вне которых неотрицательны функция и ее преобразование Фурье. - Решена экстремальная задача о наименьшем значении произведения типа целой функции и радиуса шаровой окрестности нуля, вне которой нетривиальная целая функция экспоненциального сферического типа неположительна (неотрицательна), а l-е степени лапласиана Данкля ее преобразования Данкля в нуле равны нулю, где l=s,s+1,…,m. Доказано, что экстремальная функция единственная и радиальная. - Доказана взаимосвязь между константами Никольского-Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального сферического типа. - Вычислены точные значения L1-констант Никольского-Бернштейна для неотрицательных целых функций экспоненциального сферического типа в случае пространств с весом Данкля, а также родственные задачи типа Турана и Фейера для преобразования Данкля. - Получены двусторонние оценки точной L1-константы Никольского для целых функций экспоненциального сферического типа, лучшие известных в экспоненциальное по размерности число раз. Они также уточняют оценки константы для сферических полиномов благодаря предельной связи между константами. Охарактеризованы экстремальные функции в Lp-постановках экстремальных задач с помощью сведения к двойственным проблемам о наилучшем приближении воспроизводящих ядер подпространствами, ортогональными подпространству полиномов или функций соответственно. Доказана единственность экстремальных функций при p>1 во всей общности и при p=1 на подклассе радиальных функций. Решен «слабый» вариант двойственной L1-экстремальной задачи на классе разложений Фурье-Бесселя. Дано приложение к задаче о точной константе Ремеза. - Изучена точная константа в неравенстве Никольского-Бернштейна об оценке равномерной нормы степени лапласиана Данкля на подпространстве целых функций экспоненциального сферического типа в пространстве Lp с весом Данкля. С помощью свойств построенного нами положительного оператора обобщенного сдвига доказано равенство между многомерной и одномерной весовыми константами для всех p, не меньших 1. В качестве следствия вычислена весовая константа Бернштейна для случая равномерной нормы, которая была известна ранее в отдельных случаях. Результаты в области математической теории дифракции: - Получено приближенное аналитическое решение задачи об определении акустического поля в плоском волноводе с идеальными границами, содержащем линейный источник гармонических волн и рассеиватель ‒ цилиндр с непрерывно-неоднородным упругим покрытием. Решение строится в предположении малости влияния переотражения стенками волновода волн, отраженных цилиндром. - Получено точное решение задачи рассеяния звуковых волн цилиндром с радиально-неоднородным изотропным упругим покрытием в плоском волноводе, когда одна граница волновода является абсолютно жесткой, а другая - акустически мягкой. Полагается, что гармоническая звуковая волна возбуждается заданным распределением источников на сечении волновода. - Проведено численное моделирование рассеяния звуковых волн, излучаемых точечным источником, на шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами. Для этого была построена математическая модель задачи, решение которой выполнено численно с использованием реализации метода конечных элементов в математическом пакете моделирования физических процессов COMSOL. На открытых участках рассматриваемой ограниченной области волновода формируются условия поглощения звука с использованием т.н. идеально согласованного слоя. - Получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции сферических звуковых волн на шаре с радиально-неоднородным покрытием в плоском волноводе, заполненном идеальной жидкостью. Сферическая гармоническая волна излучается точечным источником, расположенным произвольным образом в волноводе с идеальными границами. Исследовано влияние взаимного расположения источника и препятствия, а также линейной неоднородности покрытия шара. - Решены задачи дифракции плоской и сферической звуковых волн на упругом однородном шаре с неоднородным упругим покрытием в цилиндрическом волноводе. Полагается, что цилиндрический волновод бесконечной длины заполнен идеальной жидкостью, его боковые стенки являются акустически мягкими, абсолютно жесткими или импедансными. Решение проводится с использованием метода конечных элементов для конечного участка волновода, включающего источник и шаровое препятствие. Проведены численные исследования влияния на рассеянное поле в окрестности шара его положения и неоднородности покрытия. - Решены задачи дифракции плоской и сферической звуковых волн на упругом однородном трехосном эллипсоиде с неоднородным упругим покрытием в цилиндрическом волноводе. Существенными параметрами задачи выступают неравенство полуосей эллипсоида и их ориентация по отношению к оси волновода. Выполнены расчеты рассеянного поля вблизи эллипсоида для фиксированных частот излучения источника. - Для оценки влияния вязкости жидкости на рассеяние звука вблизи твердых стенок получено точное решение задачи об отражении и прохождении плоской звуковой волны через упругую пластину с непрерывно-неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями. -Результаты исследований опубликованы в 1 монографии, 16 статьях в научных журналах (из них 4 статьи индексируются в базах данных Web of Science, 11 – в Scopus, 14 – в РИНЦ, 1 опубликована в журнале Q1), 3 препринтах, размещенных в arXiv.org, и представлены на 6 конференциях. При выполнении проекта получены исключительные права на 4 РИД. Для части работ полный текст или аннотация доступны в сети Интернет: Горбачев Д.В., Иванов В.И. Точное неравенство Джексона в Lp(R^d) с весом Данкля / A Sharp Jackson Inequality in Lp(Rd) with Dunkl Weight http://mi.mathnet.ru/mz12387 https://link.springer.com/article/10.1134%2FS0001434619050031 Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние звука термоупругим шаром с непрерывно-неоднородным покрытием в теплопроводной жидкости https://elibrary.ru/item.asp?id=37298171 Горбачев Д.В., Иванов В.И. Константы Никольского-Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах http://journal.imm.uran.ru/2019-v.25-2-pp.75-87 Горбачев Д.В., Иванов В.И. Весовые неравенства для потенциала Данкля-Рисса https://www.chebsbornik.ru/jour/issue/viewIssue/26/10 Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе https://www.chebsbornik.ru/jour/issue/viewIssue/26/10 Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Finding, by means of a scattered sound, the geometric parameters of a finite elastic cylinder located near the half-space border https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1203/1/012023/pdf Дей Ф., Горбачев Д.В., Тихонов С.Ю. Nikolskii inequality for lacunary spherical polynomials https://www.ams.org/journals/proc/0000-000-00/S0002-9939-2019-14775-4/ Горбачев Д.В., Иванов В.И. Fractional smoothness in Lp with Dunkl weight and its applications https://link.springer.com/article/10.1134/S0001434619090232 Горбачев Д.В., Иванов В.И. Условия Макенхаута для кусочно-степенных весов в евклидовом пространстве с мерой Данкля https://www.chebsbornik.ru/jour/issue/viewIssue/27/11 Толоконников Л.А., Нгуен Т.Ш. Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями https://www.chebsbornik.ru/jour/issue/viewIssue/27/11 Толоконников Л.А., Ларин Н.В. О рассеянии звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием, находящимся в плоском волноводе с идеальными границами https://tidings.tsu.tula.ru/tidings/pdf/web/preview_therest_ru.php?x=tsu_izv_technical_sciences_2019_09_b&year=2019 Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Влияние неоднородности покрытия на рассеяние звука шаром в цилиндрическом волноводе https://tidings.tsu.tula.ru/tidings/pdf/web/preview_therest_ru.php?x=tsu_izv_technical_sciences_2019_09_b&year=2019 Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование рассеяния звука шаром с неоднородным покрытием в плоском волноводе https://tidings.tsu.tula.ru/tidings/pdf/web/preview_therest_ru.php?x=tsu_izv_technical_sciences_2019_09_b&year=2019 Горбачев Д.В., Иванов В.И., Тихонов С.Ю. Uncertainty principles for eventually constant functions https://arxiv.org/pdf/1904.11328v1.pdf Дей Ф., Горбачев Д.В., Тихонов С.Ю. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical polynomials https://arxiv.org/pdf/1907.03832v1.pdf

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Проект посвящен доказательству прямых и обратных теорем теории приближений в пространствах Lp на на евклидовом пространстве с весом Данкля и решению прямых и обратных задач математической теории дифракции. В 2020 году получены следующие результаты: Результаты, направленные на развитие теории приближений, теории функций и гармонического анализа в пространствах Lp с весом Данкля: - Доказана Lp-ограниченность преобразований Данкля-Рисса с радиальным степенным весом при 1<p<\infty. - Доказаны (Lq,Lp)-неравенства Соболева для градиента Данкля с радиальными степенными весами при 1<q\le p<\infty. - Для (k,1) обобщенного преобразования Фурье построен положительный оператор сдвига. Для него получено интегральное представление с вероятностной мерой и доказана Lp-ограниченность при 1<p<\infty. - Доказаны неравенства типа Келлога, в которых Lp-нормы функций оцениваются сверху при 2\le p<\infty и снизу при 1<p\le 2, через средние Lp-норм сужений преобразования Данкля на диадические шаровые слои. Аналогичные оценки типа Келлога получены и для норм функций в пространствах Данкля-Бесова B_{p,r}^s, которые при p=2 дают характеризацию этих пространств. В липшицевом пространстве B_{2,\infty}^s получены оценки типа оценок Титчмарша для классического преобразования Фурье. - Доказано новое параметрическое весовое неравенство типа Карлемана для градиента функции, позволившее при фиксированном значении параметра доказать весовое неравенство Пуанкаре-Соболева, усиливающее аналогичный результат Хайнига. Даны необходимые и достаточные условия на веса, включая радиальные степенные и кусочно-степенные веса. Доказанное неравенство Карлемана применено для решения некоторых проблем для уравнений в частных производных с потенциалами Харди и более общими потенциалами, связанных с существованием и единственностью слабых решений. В частности, доказано существование решения в весовом пространстве Lp дифференциального неравенства для градиента функции, содержащего потенциал из весового пространства Lr. Установлены достаточные условия на веса и потенциал, когда решение задачи Дирихле для весового p-лапласиана будет нулевым. Получены родственные результаты для систем уравнений в частных производных и оператора Дирака. Результаты, связанные с изучением экстремальных свойств целых функций, алгебраических многочленов и тригонометрических полиномов: -Задача Чебышева 1883 года о наибольших и наименьших значениях моментов порядка k неотрицательных алгебраических многочленов с фиксированным нулевым моментом на конечном или бесконечном интервалах с весом решена для любых интервалов (a,b), если k — нечетное и для интервалов, у которых a\ge 0 или b\le 0, если k — четное. Для решения задачи Чебышева построены специальные квадратурные формулы по нулям ортогональных многочленов, содержащие k-й и нулевой моменты. В однопараметрическом семействе квадратурных формул типа Гаусса и Маркова выбор нужной квадратурной формулы осуществляется с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке. - Доказаны новые двусторонние границы точной константы Никольского для алгебраических многочленов в пространстве L1, более сильные чем оценки Амира и Циглера, Хо. С помощью константы Никольского для целых функций экспоненциального сферического типа в двумерном пространстве уточнена константа Никольского для целых функций экспоненциального типа в пространстве L1 со степенным весом. - Доказаны двусторонние оценки точной константы Никольского-Бернштейна для сферических полиномов в пространстве Lp на сфере с весом Данкля и дробной степенью дифференциально-разностного оператора Лапласа-Бельтрами-Данкля. Эти оценки содержат одномерную константу Никольского-Бернштейна для алгебраических многочленов в пространстве Lp с весом Гегенбауэра. В безвесовом случае на случай неравенств Никольского-Бернштейна обобщен результат Арестова-Дейкаловой о совпадении многомерной и одномерной констант Никольского. Получено точное значение константы Никольского-Бернштейна в пространстве L2 с общим весом Данкля. В математической теории дифракции получены следующие результаты: - Получено решение обратной задачи дифракции звуковых волн об определении законов неоднородности покрытия упругого цилиндра, находящегося вблизи плоскости, обеспечивающих минимальное звукоотражение. - Осуществлено математическое моделирование неоднородного покрытия упругого шара с оптимальными звукоотражающими свойствами, находящегося вблизи плоской поверхности. - Решена задача об определении законов неоднородности покрытия эллипсоида с требуемыми звукоотражающими свойствами, расположенного вблизи границы раздела сред. - Решена задача об определении законов неоднородности покрытия цилиндра, находящегося в плоском волноводе, обеспечивающих минимальное звукоотражение. - Выполнено математическое моделирование неоднородного упругого покрытия шара с заданными звукоотражающими свойствами, расположенного в плоском волноводе. - Решена задача об определении параметров неоднородности покрытия шара, находящегося в поле точеного источника в цилиндрическом волноводе, позволяющих обеспечить требуемое звукоотражение. Рассматривается цилиндрический волновод с круговым сечением, заполненный идеальной жидкостью. - При решении обратных задач теории дифракции разработаны эффективные алгоритмы расчета оптимальных параметров неоднородности покрытия и характеристик рассеяния тел, расположенных вблизи подстилающей поверхности и в волноводах. - Проведены подробные численные исследования. Осуществлен анализ влияния свойств материала покрытия и ограничивающих поверхностей на рассеянное акустическое поле. Показана возможность эффективно изменять звукоотражающие характеристики упругих тел разной формы с помощью неоднородных покрытий, выполненных из функционально-градиентных материалов. -Результаты исследований опубликованы в 1 монографии, 18 статьях в научных журналах (из них 14 статей в журналах, индексируемых в базах данных Web of Science и Scopus, в том числе 4 статьи в 4 журналах Q1, 18 статей в журналах, индексируемых в РИНЦ), и представлены на 6 конференциях. При выполнении проекта возникли исключительные права на 2 РИД. Защищена диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04. Для части работ полный текст или аннотация доступны в сети Интернет: Горбачев Д.В., Иванов В.И., Тихонов С.Ю. Riesz Potential and Maximal Function for Dunkl transform https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11118-020-09867-z Горбачев Д.В., Иванов В.И., Тихонов С.Ю. Sharp approximation theorems and Fourier inequalities in the Dunkl setting https://doi.org/10.1016/j.jat.2020.105462 Горбачев Д.В., Иванов В.И., Тихонов С.Ю. Uncertainty Principles for Eventually Constant Sign Bandlimited Functions https://epubs.siam.org/doi/10.1137/20M131566X Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского-Бернштейна в Lp на сфере с весом Данкля https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-315-320 Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Новые границы алгебраической константы Никольского https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-44-54 Иванов В.И. Extremal Values of Moments of Nonnegative Polynomials / Экстремальные значения моментов неотрицательных многочленов https://rdcu.be/b9eZo http://mi.mathnet.ru/mzm12875 Иванов В.И. Задача Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов http://journal.imm.uran.ru/2020-v.26-4-pp.138-154 Иванов В.И. Весовые неравенства для преобразований Данкля-Рисса и градиента Данкля https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-83-92 Иванов В.И. Ограниченный оператор сдвига для (k,1)-обобщенного преобразования Фурье https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-71-82 Карли Л., Горбачев Д.В., Тихонов С.Ю. Weighted gradient inequalities and unique continuation problems https://doi.org/10.1007/s00526-020-1716-8 Пешков Н.Ю., Скобельцын С.А. Рассеяние звука упругим цилиндром с кусочно-непрерывным неоднородным покрытием https://elibrary.ru/item.asp?id=44298640 Скобельцын С.А., Пешков Н.Ю. Определение толщины неоднородного покрытия конечного упругого цилиндра по рассеянному звуку в полупространстве https://elibrary.ru/item.asp?id=44298634 Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Дифракция звука на шаре с неоднородным покрытием в плоском волноводе https://www.elibrary.ru/item.asp?doi=10.31857/S0032823520050112 Толоконников Л.А., Белкин А.Э. Определение законов неоднородности покрытия цилиндра, находящегося в плоском волноводе, для обеспечения минимального отражение звука https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-346-360 Толоконников Л.А., Бирюков Д.Р. Моделирование неоднородного покрытия упругого шара с оптимальными звукоотражающими свойствами, находящегося вблизи плоской поверхности https://tidings.tsu.tula.ru/tidings/pdf/web/preview_therest_ru.php?x=tsu_izv_technical_sciences_2020_09_c&year=2020 Толоконников Л.А., Ефимов Д.Ю. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-4-361-373 Толоконников Л.А., Ларин Н.В. О влиянии неоднородного покрытия упругого цилиндра на рассеяние звука в присутствии плоской поверхности https://tidings.tsu.tula.ru/tidings/pdf/web/preview_therest_ru.php?x=tsu_izv_technical_sciences_2020_09_c&year=2020 Толоконников Л.А., Нгуен Тхи Шанг Определение поля смещений в неоднородном покрытии упругой пластины при прохождении через неё плоской звуковой волны https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-310-321