Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Исследована задача об оптимальном управлении движением системы двух тел, состоящей из твердого тела (корпуса) и подвижной внутренней материальной точки. Внешние силы, действующие на систему, считаются малыми. Поставлена задача о наискорейшем плоском повороте тела на заданный угол относительно неподвижной оси при ограничении на величину скорости подвижной массы относительно корпуса. Рассматриваемая задача представляет интерес как для мобильных роботов, так и для управления космическими аппаратами. Построено решение поставленной задачи оптимального быстродействия при предположении о том, что масса подвижной точки мала по сравнению с массой корпуса. Точное аналитическое решение получено при помощи принципа максимума Понтрягина для двух вариантов краевых условий, если конечное положение подвижной массы а) задано, б) свободно. Исследована единственность решения задачи, найдены случаи неединственного решения. В случае произвольного отношения масс подвижной точки и основного тела (корпуса) предложена модификация разработанного способа управления, при которой используется полученная структура управления, а ее параметры выбираются так, чтобы точно удовлетворить всем краевым условиям. В этом случае получено приемлемое по точности и сравнительно простое управление поворотом системы. Проведено исследование пространственной (трехмерной) задачи о повороте корпуса, управляемого посредством движения внутренней массы. Рассмотрен случай поворота, осуществляемого путем трех плоских поворотов вокруг главных центральных осей инерции твердого тела. Решение построено для случая произвольного отношения масс внутренней точки и корпуса. Изучена динамика системы двух взаимодействующих тел на наклонной плоскости с сухим трением в поле силы тяжести. Исследован вопрос о возможности приведения системы в произвольное состояние на плоскости при отсутствии ограничений на величину силы взаимодействия тел. Выписаны и проанализированы уравнения движения системы тел, проведено численное моделирование. Изучены движения системы, чередующие фазы медленного (квазистатического) движения, быстрого движения, возникающего при большой силе взаимодействия тел на коротких интервалах времени, и свободного движения тел. Построены периодические движения системы такие, что скорости тел, расстояние между телами и ориентация отрезка, соединяющего тела, являются периодическими функциями времени и показано, что построенные движения могут перемещать центр масс системы в произвольном направлении на плоскости. Показано, что система является неуправляемой в единственном случае, когда в начальном положении тела покоятся на одной прямой максимального наклона. Изучены вопросы существования и единственности периодического режима прямолинейного движения двух взаимодействующих тел, при котором при периодическом изменении расстояния между телами скорость каждого тела также является периодической функцией времени, а также сходимость к периодическому движению любого движения с периодически изменяющимся расстоянием между телами. Для произвольного кусочно-непрерывного закона управления показано, что периодический режим существует при условиях монотонности и неограниченного роста сопротивления среды при увеличении скорости. Получена двусторонняя оценка значения начальной скорости периодического режима. Единственность периодического режима доказана для любого монотонно убывающего закона сопротивления при отсутствии дополнительных условий на закон изменения расстояния между телами. Доказана экспоненциальная сходимость произвольного движения к периодическому по скорости для произвольного монотонно убывающего закона сопротивления среды. В случае кусочно-линейного закона сопротивления среды найден показатель экспоненциальной сходимости. В частном случае линейного и кусочно-линейного закона сопротивления среды и кусочно-постоянного относительного ускорения тел построено периодическое решение и найдена скорость сходимости произвольного решения к периодическому. Исследован также периодический режим прямолинейного движения системы двух взаимодействующих тел в случае Кулонова трения. Показано, что в зависимости от закона изменения расстояния между телами, произвольное движение системы может сходиться к движению с периодическими скоростями либо экспоненциально, либо за конечное время. Обнаружен эффект значительной и резкой потери максимально возможной средней силы тяги во время разгона транспортного средства при несимметричных или несинхронных колебаниях ведущих колес в вертикальной плоскости. Эффект проявляется на транспортных средствах с межколесным дифференциалом при интенсивном старте с проскальзыванием и может быть опасен при выезде на высокоскоростные автомагистрали и при пересечении нерегулируемых перекрестков. Указаны колебательные режимы, приводящие как к частичной, так и к почти полной потере средней силы тяги. Найден крутящий момент, подаваемый на колесную пару, обеспечивающий максимально быстрый разгон в колебательных режимах.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Исследованы задачи об управлении движением системы, состоящей из твердого тела и вспомогательной подвижной точечной массы, снабженной актюатором и способной перемещаться относительно твердого тела. При условии отсутствия внешних сил и малого отношения масс подвижной точки и твердого тела, построены решения задач оптимального управления движением внутренней точки с новыми типами краевых условий. Развита модификация построенных решений на случай произвольного отношения масс точки и тела. Предложены и исследованы способы пространственной переориентации твердого тела, осуществляемой за счет движения внутренней массы. Дана оценка влияния малых внешних сил на построенные движения. В случае фазовых ограничений, наложенных на положение подвижной точки, построены траектории ее движения, удовлетворяющие всем наложенным ограничениям и краевым условиям. Полученные результаты применимы для управления поворотами капсульных роботов, когда этот поворот осуществляется достаточно быстро и влиянием внешних сил можно пренебречь по сравнению с внутренними силами. Данные результаты представляют интерес также для управления ориентацией космических аппаратов. Изучена динамика системы двух взаимодействующих тел на наклонной плоскости с сухим трением в поле силы тяжести. Изучены движения системы, чередующие фазы медленного (квазистатического) движения, быстрого движения, возникающего при большой силе взаимодействия тел на коротких интервалах времени, и свободного движения тел. Аналитически найдены решения уравнений движения системы тел. Доказана возможность приведения системы в произвольное состояние на плоскости при отсутствии ограничений на величину силы взаимодействия тел для случая, когда возможно движение системы вверх вдоль прямой максимального наклона. Построены и оптимизированы с целью минимизации потерь на трение алгоритмы приведения системы в заданное положение. Построен алгоритм, перемещающий систему вверх по плоскости зигзагом в случае, если невозможно ее движение вверх вдоль прямой максимального наклона. Изучены вопросы существования, единственности и устойчивости периодического режима прямолинейного движения двух взаимодействующих тел, в котором при периодическом изменении расстояния между телами скорость каждого тела является периодической функцией времени. В случае, если оба тела испытывают сопротивление среды, сопротивление монотонно и неограниченно растет при росте скорости, и относительное ускорение тел кусочно-непрерывно, доказаны существование, единственность и экспоненциальная устойчивость периодического режима. В случае, если только одно из тел испытывает сопротивление, монотонно и неограниченно растущее с ростом скорости, а относительное ускорение может быть сколь угодно велико на малых интервалах, доказаны существование и единственность периодического режима. В случае, когда сопротивление испытывает только одно из тел, и оно задается законом Кулона, существование, единственность и экспоненциальная устойчивость периодического режима доказаны в предположении о кусочной непрерывности относительного ускорения тел. Указаны интервалы значений скоростей тел при периодических режимах. Для случая сухого трения найдено условие на относительное движение тел, при котором средняя скорость движения системы положительна. Обнаружен и объяснен эффект удвоения частоты рывков, с которыми создается сила тяги в случае, когда ведущие колеса колеблются в противофазе при интенсивном разгоне транспортного средства. Указанный эффект приводит к нежелательным биениям в трансмиссии на коротком интервале времени.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Исследованы новые задачи динамики и управления движением механических систем, состоящих из несущего твердого тела (корпуса) и одной или нескольких вспомогательных подвижных масс, взаимодействующих с корпусом. Данные системы моделируют мобильные капсульные роботы, а также могут служить для управления ориентацией космических аппаратов. В предположении о том, что внешние силы пренебрежимо малы, построены способы управления пространственным движением тела при помощи одной или нескольких подвижных масс. Пространственная переориентация тела представлена как последовательность трех плоских поворотов. Оси этих поворотов в случае одной подвижной массы совпадают с главными центральными осями инерции твердого тела, а в случае нескольких масс отличаются от них и определены в работах. В каждом плоском повороте точечные массы совершают движения по окружностям (оптимальные в смысле быстродействия) в плоскостях, параллельных плоскости поворота. Центры, радиусы окружностей и число оборотов связаны определенными соотношениями и могут быть достаточно произвольными. За счет увеличения числа оборотов, можно существенно уменьшить области, в которых движутся внутренние массы. В случае одной подвижной массы движение начинается и заканчивается в центре масс системы. В случае нескольких масс их расположение внутри тела может быть выбрано достаточно произвольно. Наилучшая свобода выбора реализуется, если число подвижных масс более трех. В этом случае достаточно, чтобы центр масс тела был расположен внутри выпуклого многогранника, вершинами которого являются подвижные массы. В случае нескольких (более трех) подвижных масс можно разместить подвижные массы внутри тела достаточно произвольным образом, а также ограничить и существенно уменьшить области их перемещений относительно тела. Эти обстоятельства значительно упрощают конструирование систем переориентации. Так как построенные законы управления получены при допущении об отсутствии внешних сил, целесообразно оценить влияние малых внешних сил на построенные движения. Даны оценки (по порядку величины) погрешностей положения центра масс и углов ориентации твердого тела в пространстве, обусловленных малыми внешними силами. Эти оценки зависят от величины внешних сил и от времени поворота. Рассмотрена задача об изменении ориентации твёрдого тела с помощью подвижной материальной точки. Получены формулы, позволяющие реализовать заранее заданное движение твёрдого тела относительно своего центра масс в системе координат с этим центром и поступательно движущимися осями. Показано, что существуют два существенно различающихся случая. В первом точка должна всегда находиться в определённой плоскости, что не только делает возможным реализацию любого требуемого движения из этого класса, но и позволяет воспользоваться неоднозначностью решения для того, чтобы, например, точка всегда перемещалась по одной и той же траектории в указанной плоскости. Во втором случае решение оказывается единственным и материальная точка должна иметь, вообще говоря, отдельную пространственную траекторию для каждой заданной программы переориентации твёрдого тела. Более того, в этом случае могут быть реализованы только те движения, которые удовлетворяют найденному условию. Рассмотрена двумерная задача наискорейшего поворота замкнутой механической системы, состоящей из твердого тела и точечной массы. Масса взаимодействует с телом только посредством внутренних сил. Найдены оптимальные периодические траектории движения материальной точки, проходящие через центр масс твердого тела. Исследованы движения системы нескольких тел в сопротивляющихся средах при периодическом изменении расстояний между телами. Решены вопросы существования, единственности и устойчивости периодических режимов прямолинейного движения системы нескольких (трех и более) тел в сопротивляющейся среде. Найден критерий существования периодического режима движения, связывающий законы сопротивления среды движению тел, массы тел и законы изменения расстояния между телами. Показано, что достаточным условием существования периодического режима является монотонный неограниченный рост сопротивления среды движению хотя бы одного из тел, при кусочно-непрерывных относительных ускорениях тел. Доказана единственность и экспоненциальная устойчивость периодического режима движения системы. Найдены достаточные условия существования и устойчивости периодических режимов движения системы двух тел на плоскости. В случае пространственного движения системы нескольких одинаковых тел найдены законы изменения конфигурации системы, при которых периодический режим движения существует и экспоненциально устойчив. В случае почти полной потери тяги транспортного средства при колебаниях пары его ведущих колес в противофазе определена степень перекрытия оснований пиков графиков сил нормальной реакции в зависимости от механических параметров системы. Проведен анализ чувствительности максимальной силы тяги к основным параметрам системы, например, степени подкачки шин. Получена более сложная нелинейная система с переменной структурой для моделирования плоских вертикальных колебаний колеса с учетом неравновесных процессов в динамике шины.