Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Pierangeli D., Flammini M., Zhang L., Marcucci G., Agranat A.J., Grinevich P.G., Santini P.M., Conti C., DelRe E. "Observation of Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou recurrence and its exact dynamics" - Physical Review X, 2018, v. 8, issue 4, p. 041017 (9 pages); https://doi.org/10.1103/PhysRevX.8.041017; Аналитические формулы Гриневича-Сантини, описывающие повторяемость аномальных волн в периодической задаче для фокусирующего Нелинейного уравнения Шредингера, были успешно опробованы в оптических эксперментах с использованием нелинейных фоторефрактивных кристаллов. В этих экспериментах основной лазерный луч, задающий неустойчивый фон возмущается парой когерентных боковых лучей, порождающих малое периодическое возмущение. Фазы и амплитуды боковых лучей могут подстраиваться в процессе эксперимента. Наблюдалась возвращаемость аномальных волн и изучалась ее зависимость от параметров возмущений. Было получено очень хорошее согласие между теоретическими предсказаниями и результатами экспериментов. P.G. Grinevich, P.M. Santini, "The finite gap method and the periodic NLS Cauchy problem of the anomalous waves, for a finite number of unstable modes"; https://arxiv.org/abs/1810.09247 Одной из основных математических моделей генерации аномальных волн за счет модуляционной неустойчивости является Нелинейное уравнение Шредингера со специальными начальными условиями: в нулевой момент времени поле представляет собой сумму постоянного неустойчивого фона и малого возмущения. Общее пространственно-периодическое решение можно аппроксимировать конечнозонными, однако соответствующие конечнозонные формулы обычно очень сложны. Пользуясь тем, что в задаче есть малый параметр (амплитуда возмущения), мы строим приближенное решение периодической задачи с конечным числом неустойчивых мод. При построении приближенного решения используется тот факт, что соответствующие спектральные кривые оказываются почти вырожденными, и их параметры явно вычисляются с точностью до малой поправки. Ось времени делится на систему интервалов, на каждом из которых решение аппроксимируется $n$-солитонным Ахмедиевского типа. Концы интервалов и параметры солитонов явно вычисляются через данные Коши в терминах элементарных функций. Мальцев А.Я., "Вторая граница зон устойчивости и угловые диаграммы проводимости для металлов со сложными поверхностями Ферми", ЖЭТФ, Том 154, Вып. 6, (2018), стр. 1183-1210; https://doi.org/10.1134/S0044451018120131. Были исследованы общие аспекты зависимости магнитопроводимости от направления магнитного поля в металлах со сложными поверхностями Ферми. Основное внимание при этом было уделено поведению проводимости в металлах, допускающих появление незамкнутых квазиклассических электронных траекторий на поверхности Ферми в магнитном поле. Общая структура электронных траекторий при этом сильно зависит от направления магнитного поля и особый интерес вызывают открытые траектории, устойчивые по отношению к малым изменениям этого направления. Геометрия соответствующих Зон Устойчивости на угловой диаграмме в пространстве направлений магнитного поля сама по себе представляет важную характеристику электронного спектра в металле, связывающую параметры спектра с экспериментальными данными. Можно показать, однако, что с каждой Зоной Устойчивости может быть связан в действительности гораздо больший объем возможных экспериментальных данных, имеющих непосредственное отношение к параметрам поверхности Ферми. В частности, можно показать, что любая Зона Устойчивости имеет в действительности вторую границу, ограничивающую область с определенным поведением магнитопроводимости, а также определенной картиной осцилляционных явлений в сильных магнитных полях, позволяющих получать огромное количество данных о параметрах дисперсионного соотношения. Кроме того, можно также отдельно определить особый класс ``ультрасложных'' угловых диаграмм, где число Зон Устойчивости также равно бесконечности. Как можно показать, выделение материалов с ``ультрасложными'' угловыми диаграмме может быть основано также на поведении холловской проводимости в материале в сильных магнитных полях. Мальцев А.Я., "Оценка монокристалличности металлических образцов на основе измерений проводимости в сильных магнитных полях.", Материалы IV Всероссийской конференции «Роль фундаментальных исследований при реализации «Стратегических направлений развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года»; https://conf.viam.ru/proceedings, стр. 234-246 Предложен метод оценки монокристалличности металлов со сложной поверхностью Ферми на основе поведения магнитопроводимости в исследуемых образцах. Метод может включать в себя анализ большого количества экспериментальных данных, целью которого может являться определение структуры монокристаллического остова образца для образцов, не обладающих строгой монокристалличностью. В силу возможной сложности алгоритмических подходов к решению задачи в общем виде, при этом предполагается целесообразным использование алгоритмов машинного обучения на различных классах таких материалов. Построены новые примеры монотонных лагранжевых подмногообразий в $CP^n$. Построенные подмногообразия диффеоморфны тотальному пространству расслоения, для которого базой является тор, а слоем является связная сумма произведений сфер. В рамках проекта развит подход к метрикам Эйнштейна как к метрикам на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах. Такие вложения метрик Эйнштейна дают возможность построить гамильтоновы структуры, порождаемые метриками Эйнштейна. Построены реализации метрики Шварцшильда как метрики на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах. Важно, что построены ковариантно постоянные базисы в нормальных пространствах для этих реализаций, что явдяется нетривиальной задачей. Им отвечают гамильтоновы структуры, порождаемые метрикой Шварцшильда. Доказано, что шар максимизирует первое собственное число задачи Робена среди областей с фиксированным объемом границы при дополнительных ограничениях на область. Для трехмерного случая ограничения на область следующие: области диффеоморфны шару и выпуклые или квазивыпуклые. В общем случае ограничения на область задаются некоторым неравенством на среднюю кривизну.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Для фокусирующего Нелинейного уравнения Шредингера с периодическими граничными условиями в задаче о генерации аномальных волн за счет модуляционной неустойчивости в предположении, что для фонового решения имеется одна неустойчивая мода и получены простые явные формулы, описывающие влияние малых потерь или малого усиления на повторяемость аномальных волн. Проведена численная проверка этих формул, подтверждающая их высокую точность. Показано, что эффект становится существенным если коэффициент затухания имеет величину порядка квадрата амплитуды исходного возмущения (т.е. на практике он может быть очень малой величиной). Тем самым, продемонстрировано, что даже очень малое затухание или усиление необходимо принимать во внимание при сопоставлении теории с реальным экспериментом. Результаты представлены в электронном препринте: F. Coppini, P. G. Grinevich, P. M. Santini, "The effect of a small loss or gain in the periodic NLS anomalous wave dynamics. I", arXiv:1910.13176, https://arxiv.org/pdf/1910.13176 и докладывались на конференции, посвященной 80-летию В.Е. Захарова в Ярославле (5-9 августа 2019 г.), https://lomonosov-msu.ru/eng/event/5298/page/1086, и конференции Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications 2019, в МФТИ, г. Долгопрудный, (2-4 декабря 2019 г.), (https://qipa2019.mipt.ru/program.html) https://qipa2019.mipt.ru/. Опубликован обзор, основанный на результатах, полученных в процессе работы над грантом по периодической задачи Коши для аномальных волн в фокусирующем Нелинейном уравнении Шредингера. Благодаря наличию малого параметра в задаче (амплитуде возмущения неустойчивого фона) удается получить аппроксимацию решений элементарными функциями (различными для различных временных интервалов), параметры которых явно выражаются через данные Коши. Гриневич П.Г., Сантини П.М. "Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод" - Успехи математических наук, 2019, т. 72, No(446), с. 27-80; doi:10.4213/rm9863; Проведен анализ классов сложности угловых диаграмм (общего и необщего положения) проводимости металлов в сильных магнитных полях и сопоставление структуры таких диаграмм со структурой диаграмм, определенных для всего дисперсионного закона. Показано, что как диаграммы общего, так и диаграммы необщего положения, могут быть разделены на конечное число классов сложности. Показано также, что исследование особенностей диаграмм достаточно сложных классов дает обширную информацию не только о заданной поверхности Ферми, но и о параметрах всего дисперсионного соотношения. Мальцев А.Я., "Классы сложности угловых диаграмм проводимости металлов в сильных магнитных полях", ЖЭТФ, Том 156, Вып. 1(7), (2019), стр. 140-166; DOI: 10.1134/S0044451019070150 Представлен обзор самых последних результатов в задаче исследования динамики электронов на сложных поверхностях Ферми в присутствии внешнего поля и сопоставления различных динамических режимов с результатами экспериментальных наблюдений транспортных явлений и параметрами дисперсионного соотношения в проводниках. Описаны последние достижения в разработке методов численного и аналитического исследования данной задачи. Новиков С.П., Де Лео Р., Дынников И.А., Мальцев А.Я., "Теория динамических систем и транспортные явления в нормальных металлах", ЖЭТФ, Том 156, Вып. 4(10), (2019), стр. 761-774; DOI: 10.1134/S0044451019100195 Развит метод построения монотонных лагранжевых подмногообразий в $\mathbb{C}^n$ и в других торических многообразиях. Явно вычислен класс Маслова. Изучены пространства модулей голоморфных дисков и их свойства применены для доказательства того, что некоторые построенные подмногообразия не гамильтоново изотопны. Эти новые результаты были представлены на следующих докладах В.С.Оганесяна: 1. V.S.Oganesyan. Доклад <<Monotone Lagrangian submanifolds and toric topology>> на семинаре <<Topology seminar>>, Indiana University Bloomington, Bloomington, Indiana, USA, 10 April 2019. 2. V.S.Oganesyan. Доклад <<Monotone Lagrangian Submanifolds and Toric Topology>> на семинаре <<Symplectic Geometry, Gauge Theory, and Categorification Seminar>>, Columbia University, New York, USA, 4 October, 2019. 3. V.S.Oganesyan. Доклад <<Products and connected sums of spheres as monotone Lagrangian submanifolds>> на семинаре <<Symplectic Geometry Seminar>>, Stanford University, Stanford, California, USA, 14 October, 2019. Изучена и доказана интегрируемость по Лиувиллю для редукции уравнений ассоциативности двумерных топологических теорий поля в случае трех примарных полей на множество стационарных точек невырожденного первого интеграла, квадратичного по первым производным. Эти результаты опубликованы в статье О.И. Мохова и Н.А. Стрижовой <<Интегрируемость по Лиувиллю редукции уравнений ассоциативности на множество стационарных точек интеграла в случае трех примарных полей>>, Успехи математических наук, 2019, 74:2, 191-192; English version: O.I. Mokhov and N.A. Strizhova. Liouville integrability of the reduction of the associativity equations on the set of stationary points of an integral in the case of three primary fields. Russian Mathematical Surveys, 2019, 74:2, 369-371 %(http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9881&option_lang=rus), https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM9881 ), а также были представлены в докладе О.И. Мохова и Н.А. Стрижовой <<On the Hamiltonian Reductions of the Associativity Equations>> на конференции <<Mathematics in Technical and Natural Sciences>> (Польша) (http://www.wms.agh.edu.pl/konferencje/mntp/ ). Развиты алгебро-геометрические методы построения подмногообразий с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны в плоском пространстве и плоских диагональных метрик специального вида. Эти результаты опубликованы в статье Е.В. Глухова и О.И. Мохова <<Об алгебро-геометрических методах построения плоских диагональных метрик специального вида>>, Успехи математических наук, 2019, 74:4, 185-186; English version: E.V.Glukhov and O.I. Mokhov. On algebraic-geometry methods for constructing flat diagonal metrics of a special form. Russian Mathematical Surveys, 2019, 74:4, 761-763 %(http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9891&option_lang=rus), https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM9891 ). Защищена кандидатская диссертация: Н.А. Стрижова. <<Гамильтонова геометрия уравнений ассоциативности>>. Кандидатская диссертация. Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова. Механико-математический факультет. 2019, https://istina.msu.ru/dissertations/235361235/.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Были построены экспоненциально растущие по времени решения линеаризации фокусирующего Нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) вблизи бризера Ахмедиева с правильной периодичностью по пространственной переменной. Эти решения "ответственны" за эффекты связанные с влиянием малых негамильтоновых возмущений на повторяемость бризеров Ахмедиева, исследованные в нашей предыдущей работе. Проблемы нахождения решений линеаризации НУШ вблизи бризера Ахмедиева рассматривалась в литературе, однако экспоненциально растущие решения были упущены, поскольку их построение требует достаточно сложных дополнительных рассмотрений. Результат доступен в виде электроннного препринта https://arxiv.org/abs/2011.11402. Дано описание довольно богатых структур на угловых диаграммах, представляющих зависимость ряда физических свойств проводников от направления внешнего магнитного поля. Исследование таких структур довольно удобно с экспериментальной точки зрения и способно дать богатую информацию о структуре электронного спектра в проводнике. Описание указанных структур, а также их связь с геометрией поверхности Ферми, равно как и описание специальных экспериментальных эффектов, наблюдаемых на таких структурах, связано с последними исследованиями в области динамических систем на сложных поверхностях Ферми и должно расширить возможности экспериментальных методов по изучению электронных спектров в проводниках. Построены важные новые примеры монотонных лагранжевых подмногообразий комплексных векторных пространств, вычислены классы Маслова новых примеров. Найдены новые связи между кольцами когомологий монотонных лагранжевых подмногообразий и их минимальными числами Маслова. Развиты новые применения алгебро-геометрических методов теории интегрируемых систем в теории подмногообразий с плоской нормальной связностью и в теории ортогональных сетей, их преобразований Рибокура. https://arxiv.org/abs/2011.11402, http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=28594, https://qipa2020.mipt.ru/program, https://arxiv.org/abs/1912.12722, https://arxiv.org/abs/1905.08891, https://arxiv.org/abs/1812.05007.