Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Как известно, один из способов решить ряд феноменологических проблем в физике элементарных частиц состоит в том, что теория должна обладать пространственно-временной суперсимметрией. Для того чтобы реализовать пространственно-временную суперсимметрию в рамках теории суперструн, необходимо компактифицировать 6 измерений на многообразие Калаби-Яу. Динамика безмассовых мод эффективной теории определяется кэлеровым потенциалом пространства модулей выбранного многообразия. Поэтому для вычисления действия эффективной теории необходимо разработать метод вычисления кэлерова потенциала, причем как комплексных так и кэлеровых структур. Ранее нами был разработан эффективный метод для вычисления кэлерова потенциала комплексных структур, основанный на связи с фробениусовыми многообразиями. В этом году мы усовершенствовали метод, расширив его на больший класс многообразий. В частности, мы нашли явную формулу для кэлерова потенциала метрики специальной геометрии для произвольной поверхности Ферма. С другой стороны, для получения низкоэнергетической физики необходимо также вычисление кэлерова потенциала кэлеровых структур. Для ее вычисления мы использовали гипотезу JKLMR (Джокерс и др.) о связи между кэлеровыми потенциалами для кэлеровых структур и точными статсуммами N = (2,2) суперсимметричных калибровочных линейных сигма-моделей на двумерной сфере. Мы предложили использовать гипотезу JKLMR вместе с зеркальной симметрией. В нашей формулировке статсумма линейной сигма-модели, построенной по многообразию Y, должна равняться кэлерову потенциалу пространства модулей комплексных структур зеркального многообразия X. Мы провели явное вычисление, используя конструкцию Батырева, для фиксации соответствия между GLSM и семейством гиперповерхностей, заданных во взвешенном проективном пространстве. Гипотеза о зеркальной симметрии, как она была сформулирована Виттеном, означает связь между нелинейными суперсимметричными сигма-моделями и моделями Ландау-Гинзбурга, точнее, утверждение о том, что обе теории являются фазами одной и той же линейной сигма-модели. Можно сказать, что обе лагранжевы теории задают одну и ту же N=2 суперконформную теорию поля и поэтому совпадают. В нашем проекте мы исследуем подобное явление для интегрируемых массивных теорий поля. Нами высказана гипотеза о том, что интегрируемые деформированные сигма-модели на симметрических пространствах допускают дуальное описание в режиме сильной связи. Дуальная теория является некоторой теорией бозонных полей с экспоненциальным взаимодействием. Одной из проверок этой гипотезы является пертурбативное сравнение интегралов движения в обеих теориях и установление их совпадения. Другая проверка основана на построении точного решения однопетлевых уравнений ренормгруппы. Для установления точной дуальности между двумя квантовыми теориями поля необходимо также установить связь между квазилокальными операторами в обоих описаниях. В массивных интегрируемых моделях одним из способов вычисления могло бы быть сравнение точных формфакторов этих операторов. Точные формфакторы возникают в результате решения бутстрапных уравнений, а не из теоретико-полевых рассуждений. Поэтому имеется проблема отождествления решений и локальных полей следующих из лагранжиана. В данном проекте методы, развитые ранее (Лашкевич, Пугай, 2014, 2016), применены для отождествления примарных полей, в частности, интегралов движения, а также для важного класса потомков -- плотностей интегралов движения произвольного спина. Важным классом задач было также определение нуль-векторов и соответствующих уравнений для многочастичных формфакторов. Для этой цели была развита алгебраическая конструкция, включающая так называемые экранирующие операторы. Нами была предложена новая конструкция для вычисления точных формфакторов специальных токовых операторов. Построение даже единичных примеров матричных элементов таких операторов представляло серьезную проблему в других подходах. В настоящем проекте данные точные выражения предложены для широкого набора операторов. Используя этот результат, нами были предложены новые серии интегрируемых моделей и сделаны предположения об их точных матрицах рассеяния.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Часть нашего проекта посвящена изучению зеркальной симметрии на основе гипотезы JKLMR (Джокерс и др.). Данная гипотеза связывает точные статистические суммы в $N =(2,2)$ линейных калибровочных сигма-моделях на двумерной сфере с кэлеровой геометрией на пространстве модулей многообразий Калаби--Яу. Мы развили наблюдение JKLMR и предложили использовать их гипотезу вместе с зеркальной симметрией. Нами было сформулировано следующее утверждение. С линейной калибровочной сигма-моделью связано некоторое многообразие Калаби-Яу $Y$, которое параметризуется зарядами гипермультиплетов и суперпотенциалом. С другой стороны, у каждого многообразия $Y$ имеется так называемое зеркальное многообразие $X$. Гипотеза JKLMR в нашей формулировке утверждает, что статсумма $Z_{Y}$ на $S^{2}$ линейной сигма-модели построенной по многообразию $Y$ связана с кэлеровым потенциалом пространства модулей комплексных структур зеркального многообразия $X$ следующим соотношением $Z_{Y}=\exp(-K_{X})$. Для проверки нашей гипотезы нами была вычислена величина $K_{X}$ для большого класса многобразий Калаби-Яу, задаваемых обратимыми особенностями типа Берглунда и Хубша. Также мы нашли линейные калибровочные сигма-модели отвечающие зеркальным многообразиям и явно проверили равенство $Z_{Y}=\exp(-K_{X})$. Мы также рассматривали явление дуальности в квантовой теории поля, тесно связанное с явлением зеркальной симметрии. В прошлом году в наших работах была сформулирована гипотеза о дуальном описании деформированных интегрируемых $O(N)$ сигма-моделей в режиме сильной связи. Естественным вопросом, который при этом возник, было обобщение этих результатов на случай сигма-моделей на супермногообразиях $OSP(N|2m)/OSP(N-1|2m)$. Мы показали, что для этого в дуальном режиме необходимо вводить фермионные экранирующие поля нового типа, которые после использования обобщенного бозон-фермионного соответствия порождают $\beta-\gamma$ поля. Нам удалось явно записать действие для дуальной теории для $m=1$, с учетом всех контр-членов и проверить совпадение пертурбативного разложения матрицы рассеяния фундаментальных частиц с разложением тригонометрического решения уравнения Янга-Бакстера с  $OSP$ симметрией.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В рамках последнего этапа данного проекта были получены новые результаты в области теории струн и интегрируемой квантовой теории поля. Зеркальная симметрия используется для вычисления действия эффективной теории в рамках теории суперструн при компактификации 6 лишних измерений на многообразие Калаби Яу. Известно две математические конструкции зеркальной симметрии: Берглунда-Хубша-Кравица и конструкция Батырева. Нами была явным образом установлена связь этих двух конструкций для очень общего класса многообразий заданных как гиперповерхности во взвешенных проективных пространствах (Белавин-Еремин). В ходе этой работы была построена новая комбинаторная формулировка зеркальной конструкции Берглунда-Хубша-Кравица. Нами также было замечено совпадение кэлеровых потенциалов для различных многообразий Калаби-Яу (Белавин-Белаковский). Оба эти результата привели к пониманию явления "множественных" зеркал, а именно того, что в одном и том же взвешенном проективном пространстве можно задать многообразия Калаби-Яу полиномами двух разных типов и следовательно принадлежащих к одному семейству. Тогда по конструкции Берглунда-Хубша-Кравица им отвечают два разных зеркальных многообразия, заданных в разных проективных пространствах. Возникает естественный вопрос об их связи. Используя результаты работы Белавина и Еремина, мы установили что у этих многообразий совпадают периоды и кэлерова геометрия на пространстве комплексных модулей, что является еще одним объяснением и обобщением наблюдения Белавина и Белаковского. Было продолжено исследование явления дуальности двумерных сигма-моделей и теорий Тоды. В работе Литвинова и соавторов было построено дуальное описание деформированных сигма-моделей на супермногообразиях OSP(N|2m)/OSP(N-1|2m) в режиме асимптотической свободы. Для некоторого класса таких деформаций была предложена система экранирующих операторов зависящих от непрерывного параметра, которая определяет деформированную сигма-модель в сильной связи и некоторую теорию Тоды в слабой. В режиме сигма-модели было показано, что главная ультрафиолетовая асимптотика деформированной сигма-модели совпадает с возмущением гауссовой теории при помощи специального экранирующего оператора. В пертурбативном режиме было показано, что древесная двухчастичная матрица рассеяния соответствует разложению тригонометрической S-матрицы для OSP(N|2m). В работе Пархоменко были исследованы модели Казама-Сузуки и установлена связь с обобщенной кэлеровой геометрией. Было показано, что условия, определяющие подгруппу H в N=2 G/H суперконформной косет-модели Казама и Сузуки определяют в классическом пределе обобщённую кэлерову геометрию таргет-пространства соответствующей сигма-модели. В работе Литвинова и Вилковыского был предложено новое доказательство уравнений Бете анзаца для спектра интегралов движения в конформной теории поля. Метод основан на использовании Лиувиллевского оператора отражения и связанной с ним структуры аффинного Янгиана gl(1). Также была прояснена связь между RLL и токовой реализациями для аффинного Янгиана gl(1).