Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В рамках геометрической теории дифракции исследована задача прохождения ультразвуковых волн через скопления препятствий (в том числе и периодической структуры), находящихся в бесконечной двумерной упругой среде. Препятствия в скоплениях могут быть двух типов: абсолютно твердые и полостные. Они ограничены замкнутыми гладкими контурами произвольной выпуклой или невыпуклой формы. В скопление препятствий вводится импульс с тональным заполнением несколькими периодами плоской высокочастотной, монохроматической продольной или поперечной упругой волны, а в некоторой области упругой среды принимается прошедшая волна с любыми возможными отражениями (продольной волны в продольную, поперечной волны в поперечную) и трансформациями (продольной волны в поперечную, поперечной волны в продольную). Проблема сведена к исследованию задачи в локальной постановке. Траектория каждого луча представляет плоскую ломаную линию с вершинами в N точках зеркального отражения. Интегральные представления перемещений в отраженных волнах выписаны на основе модификации физической теории дифракции Кирхгофа. Асимптотической оценкой кратных дифракционных интегралов методом многомерной стационарной фазы выписан явный вид геометрооптического приближения перемещений в многократно отраженных волнах. Полученное аналитическое решение задачи, содержащее в явном виде все геометрические и механические параметры задачи, может служить основой уточненных методов расчета прохождения ультразвуковых волн в метаматериалах, представляющих собой упругую матрицу с твердыми включениями различной формы. В условиях одномодового режима была рассмотрена задача распространения плоской упругой волны через систему произвольного конечного числа параллельных троякопериодических идентичных массивов трещин. Полуаналитический метод, разработанный ранее для трёхмерных скалярных и плоских упругих задач, приводит к явным аналитическим представлениям для волнового поля и параметров рассеяния - коэффициентов отражения и прохождения. Было проведено сравнение волновых свойств двух различных акустических сред, когда в первой среде массив препятствий является бесконечным в поперечном направлении, тогда как во второй он конечен. Численные расчеты показывают, что волновые свойства данных двух сред, выраженные в терминах коэффициентов отражения и прохождения, близки друг к другу только для достаточно большого числа конечных препятствий, если сравнивать их со случаем бесконечного массива. Рассмотрена математическая корректность краевых задач, возникающих в рамках редуцированной градиентной теории упругости, которые возникают при описании упругих решеток или деформаций текстиля. В отличие от классической градиентной теории упругости, здесь соответствующая плотность энергии деформации в определенном смысле вырождена, так как она не содержит полный комплект вторых производных от поля перемещений. С физической точки зрения такие материалы сузественно анизотропны, и, следовательно, соответствующая математическая модель должна отражать эти свойства.Следуя [Eremeyev et al. J. Elast. 2018. 132:175–196],здесь рассматривались краевые задачи, описывающие малые пространственные деформации пантрографических листов (т.е. двумерных континумов), а также трехмерных структур. Доказаны теоремы существования и единственности слабых решений с использованием подмножеств анизотропных пространств Соболева, определенных как энергетическое пространство в соответствии с краевыми условиями. Рассматривался новый класс поверностных волн, который существует в упругих средах с поверностной энергией. Преставлены модели покрытий, выполненных из полимерных щеток. С физической точки зрения предложенная модель описывает существенно анизотропный материал. Здесь модель поверхностной упругости также может рассматриваться как 2Д редуцированная градиентная среда, так как поверхностная энергия деформации зависит только от нескольких вторых производных перемещений. В рамках данной модели расмотрено распространение антиплоских поверхностных волн. Дисперсионные соотношения построены и проанализированы в зависимости от материальных свойств [1]. С использованием принципа наименьшего действия выведены уравнения движения и естественные краевые условия на свободной поверхности и сингулярных линиях. Использована модель градиентной теории упругости и модель поверхностной упруности Стейгмана-Огдена. Естественные краевые условия включают в себя инерционные члены, что может приводить к изменениям условий распространения волн в таких [2]. 1. Eremeyev V.A. On the peculiarities of anti-plane surface waves propagation for media with microstructured coating// MATEC Web Conf., 2018. Vol. 226, pp. 1-5. 03020, doi: https://doi.org/10.1051/matecconf/201822603020 2. Eremeyev V.A. On dynamic boundary conditions within the linear Steigmann-Ogden model of surface elasticity and strain gradient elasticity// Advanced Structured Materials. 2019. Pp. 1-14. (in press). В ходе выполненных в 2018 году работ были произведены теоретическое обоснование и корректировка разработанной ранее гибридной дискретно-континуальной модели «сегнетоэлектрик-подложка»(подложка с нанесенной на нее сегнетоэлектрической низкомолекулярной тонкой пленкой). Разработана модифицированная модель Поттса, учитывающая размеры решетки и смещение подрешеток, которая используется для изучения структурных переходов в сегнетоэлектрических системах. Показано, что тип решетки определяется конкурирующим влиянием межмолекулярных взаимодействий (диполь-дипольные, обменные взаимодействия, потенциал Леннард-Джонса). Параметры решетки вычисляются для разных межмолекулярных взаимодействий. Было показано, что кристаллографические параметры решетки и величина спонтанной поляризации резко изменяются при определенной температуре, т.е. в этой точке происходит фазовый переход. Получены зависимости параметра порядка для бесконечно протяженной системы от констант межцепного взаимодействия, от значений персистентной длины и параметров среднего поля. Также рассчитаны значения параметров межцепных взаимодействий в точке фазового перехода. Свойства поверхностных слоев отличаются от внутреннего объема тел. Точка фазового перехода на поверхности определяется не только персистентной длиной и параметром межцепного взаимодействия, но и взаимодействием с объемом, которое является определяющим. Величина взаимодействия определяется расстоянием между слоями полимерной системы. При уменьшении расстояния между слоями величина среднего поля уменьшается, что приводит к уменьшению температуры фазового перехода. Проведены исследования анизотропных пористых и керамоматричных метаматериалов при учете поверхностных эффектов с анизотропными интерфейсными эффектами: поверхностными или интерфейсными напряжениями и электромеханическими полями. Для разработанных моделей получены вариационные постановки с симметричными операторами. В развитие проведенных ранее работ по проекту в новых моделях учтены также инерционные поверхностные или интерфейсные эффекты. Данные исследования осуществлены как для несвязанных, так и для связанных механических и электрических полей. Разработаны методы исследования аналогичных задач со связанностью механических и температурных полей. Развиты конечно-элементные методы решения задач для метаматериалов с анизотропными несвязанными и связанными интерфейсными эффектами на ячейках периодичности и задач гомогенизации. Реализованы алгоритмы автоматического поиска межфазных границ, построения на них дополнительных мембранных элементов. Для регулярных кубических конечно-элементных сеток были разработаны специальные интерфейсные конечные элементы для моделирования различных поверхностных и межфазных эффектов. Проведены расчеты наборов эффективных модулей анизотропных пористых метаматериалов при учете поверхностных эффектов с анизотропными интерфейсными эффектами: поверхностными или интерфейсными напряжениями и температурными полями. Дан анализ влияния структур представительных объемов и поверхностных модулей на эффективные материальные свойства метаматериалов. Полученные результаты были представлены на четырех международных конференциях. В ходе 2018 года выполнения проекта были подготовлены два различных набора образцов. Первый набор представляет собой алюминиевые параллелепипеды с перекрестными цилиндрическими отверстиями, которые заполнялись различными средами – воздух, вода, лед. Второй набор выполнен из металлических сфер диаметром 5мм плотно прижатых друг к другу и образующих таким образом куб 30x30x30 мм. В данном наборе исследовалось разное заполнение буферного пространства – эпоксидная смола, вода, лед. Натурные эксперименты проводились с помощью различных схем ультразвукового контроля, в том числе и иммерсионным методом. Для удобства проведения исследовательского эксперимента был собран макет установки, позволяющий легко манипулировать образцами и УЗ-датчиками во время измерений. Проведенные натурные испытания продемонстрировали, что наибольшая фильтрация в случае второго набора образцов происходит в случае совпадения длинны волны с диаметром каркасных сфер. В проводимых экспериментах этот минимум амплитуды принятого сигнала соответствует частоте 1 МГц. В ходе численных экспериментов для мета-материалов с двояко-периодической системой отверстий было обнаружено, что ярко выраженные фокусирующие свойства при нормальном падении волны в пределах одного материала можно добиться лишь при сложной форме профиля отверстий, а мануфактурное изготовление таких изделий является дорогостоящим. Поэтому, перспективным видится использование двух отдельных изделий из мета-материалов и наклонное падение УЗ-волн. Такой подход будет использовать свойство обратной рефракции, которым обладают акустические мета-материалы.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Доказаны теоремы существования и единственности слабых решений краевых задач для пространственных статических деформаций пантографических метаматериалов. Показано, что не все возможные континуальные модели являются корректными, то есть разрешимыми. В качестве естественных энергетических пространств здесь были использованы анизотропные пространства Соболева. Определены классы решений с нулевой энергией, аналогичные движениям абсолютно жесткого тела, которые существенно отличаются от классической линейной упругости. Предложено использовать условие разрешимости задачи Дирихле (с нулевыми кинематическими краевыми условиями на всей поверхности тела) как критерий отбора континуальных моделей тел, получаемых в результате той или иной процедуры осреднения. Построены модели анизотропной поверхностной теории упругости, предназначенные для описания покрытий, образованных полимерными щетками. Построены дисперсионные соотношения, описывающие распространение антиплоских поверхностных волн. Показано, что наличие сколь угодно малой изгибной жесткости существенно меняет вид дисперсионных соотношений по сравнению с моделью поверхностной упругости, где изгибная жесткость отсутствует. В ходе выполненных в 2019 году работ было проведено моделирование деформации сдвига в материалах, состоящих из тонкого полимерного слоя (~15 нм), адгезионно связанного с жесткой подложкой, условно не подверженной деформации. Разработана дискретно-континуальная модель системы цепей с заданной жесткостью, обладающих полярными группами. Полимерная цепь рассматривалась в рамках персистентной модели, а полярные группы – на основе решеточной модели на тетрагональной решетке. Предполагалось, что основной вклад в энергию межцепных взаимодействий обусловлен потенциалом полярных групп и вычислялся с помощью алгоритма Метрополиса. Потенциал взаимодействий между ближайшими полярными группами цепей включал энергию диполь-дипольных взаимодействий (энергия Кеезома) и потенциал Леннард-Джонса. Учтено, что возможные ориентации полярных групп определяются средней вытянутостью цепи. Расчеты показали, что зависимость свободной энергии от межцепного расстояния имеет два минимума. Первый минимум характеризуется ориентационным упорядочением полярных групп, второй – их разупорядоченным состоянием. Глубина и положения минимумов зависят от температуры, жесткости цепи на изгиб, модуля дипольного момента полярных групп и глубины потенциальной ямы в энергии Леннард-Джонса. Проведено пошаговое моделирование деформации сдвига в полимерном слое, находящегося в ориентационно-разупорядоченном состоянии. Полученные диаграммы «напряжение-деформация» позволяют оценивать величину предела эластичности, а также определять напряжения в точках фазовых переходов из разупорядоченного в ориентационно-упорядоченное состояние. Определены параметры фрактальной функции, рассчитаны: ширина сечения фрактального многоугольника, длину и радиус кривизны, средний радиус изгиба срединной линии. Исследована зависимость ширина сечения и радиуса изгиба от параметров фрактальной функции. Получены значения фрактальных параметров. Методом свободных блужданий построен рельеф поверхности текстурированного покрытия, это дает возможность произвести теоретическое исследование его оптических свойств. Данные производственных испытаний показали, что вид дефектов зависит от условий формирования полимерного покрытия. Теоретический вид поверхности определяется величиной углов, поэтому они являются параметрами, зависящими от химического строения полимера и режима сушки покрытия. Проведены исследования нанопористых упругих материалов при различных формах пор. Выявлены существенные зависимости эффективных модулей, как от формы поры, так и от коэффициента поверхностных напряжений. Эти зависимости различаются по типам упругих модулей. Сделано заключение о большем влиянии форм пор на эффективные модули пористого материала при учете поверхностных напряжений и при уменьшении наноразмеров пор. Для наноструктурированных керамоматричных композитов с интерфейсными напряжениями на границах раздела фаз были определены и проанализированы эффективные модули, найденные из решений задач гомогенизации с четырьмя различными типами граничных условий, в которых комбинировались линейные граничные условия для перемещений и/или электрического потенциала и постоянные граничные условия для напряжений и электрической индукции. Был проведен анализ влияния граничных условий, процента включений и интерфейсных напряжений на эффективные модули. Было обнаружено, что изменение электрических граничных условий оказывает значительно меньшее влияние на эффективные модули по сравнению с изменением механических граничных условий. Сформулированы постановки начально-краевых и задач гомогенизации для 1-3 наноструктурированных пьезоэлектрических композитов и для наноразмерной упругой балки с двумя пленочными пьезоэлементами с поверхностными и интерфейсными эффектами. Проведены конечно-элементные исследования ячеек 1-3 пьезокомпозита с наноразмерным пьезоэлектрическим столбиком в полимерной матрице. Дан анализ эффективности работы такого пьезокомпозита для плотных и нанопористых пьезокерамических материалов как активного элемента пьезогенератора «зеленой» энергии. Было отмечено, что 1-3 пьезокомпозиты со столбиками из нанопористой пьезокерамики имеют повышенные коэффициенты пьезочувствительностии, поэтому эффективны для применений в пьезогенераторах. Определено также, что лучшее возбуждение колебаний и электромеханический отклик достигается в нанопористых системах на частотах электрических антирезонансов. В рамках геометрической теории дифракции исследована пространственная задача прохождения ультразвуковых волн через скопления препятствий (в том числе и периодической структуры), находящихся в бесконечной трехмерной упругой среде. Препятствия в скоплениях могут быть двух типов: абсолютно твердые и полостные. Они ограничены замкнутыми гладкими поверхностями произвольной выпуклой или невыпуклой формы. В скопление препятствий вводится импульс с тональным заполнением несколькими периодами плоской высокочастотной, монохроматической продольной или поперечной упругой волны, а в некоторой области упругой среды принимается прошедшая волна с любыми возможными отражениями (продольной волны в продольную, поперечной волны в поперечную) и трансформациями (продольной волны в поперечную, поперечной волны в продольную). Проблема сведена к исследованию задачи в локальной постановке. Траектория каждого луча представляет пространственную ломаную линию с вершинами в N точках зеркального отражения. Интегральные представления перемещений в отраженных волнах выписаны на основе модификации физической теории дифракции Кирхгофа. Асимптотической оценкой кратных дифракционных интегралов методом многомерной стационарной фазы выписан явный вид геометрооптического приближения перемещений в многократно отраженных и трансформированных волнах. Полученное аналитическое решение задачи, содержащее в явном виде все геометрические и механические параметры задачи, может служить основой уточненных методов расчета прохождения ультразвуковых волн в метаматериалах, представляющих собой трехмерную упругую матрицу с твердыми включениями различной пространственной формы. Были проведены экспериментальные исследования эффекта отрицательной рефракции возникающего при наклонном падении ультразвуковой волны на акустический метаматериал. С этой целью была разработана методика проведения эксперимента на основе наклонных ультразвуковых датчиков различной частоты и угла ввода. Подход представляет собой вариацию классического метода прохождения с расположением наклонных излучающего и принимающего датчиков на противоположных торцах исследуемого образца. При этом, в целях проведения сравнительного анализа, измерения проводились при двух различных положениях принимающего датчика: в одной серии экспериментов он был направлен на измерение количества энергии, рассеянной с положительным коэффициентом преломления, а во втором случае – отрицательным. В качестве акустических метаматериалов использовались стальные образцы с периодической системой сквозных отверстий различного диаметра и параметров системы. При этом были рассмотрены как образцы с простой периодической решеткой, так и двояко-периодической. Было проведено несколько серий испытаний, в одной из которых датчики располагались на торцах, свободных от отверстий, а в другой - на торцах с отверстиями. Так же были проведены испытания на метаматериале с трояко-периодической системой неоднородностей, который представляет из себя решетку металлических шариков, залитых эпоксидной смолой. Проведенные натурные эксперименты подтвердили наличие эффекта отрицательной рефракции для исследуемых образцов. При этом, эффект проявляется сильнее в случае, когда каждый четный ряд периодической решетки образца сдвинут на величину ячейка решетки. Увеличение расстояния между рядами также усиливает данный эффект. Наиболее слабо эффект проявляется в метаматериале с трояко-периодической решеткой стальных шариков в эпоксидной смоле.