КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 18-71-10097

НазваниеРазработка методов стохастического управления и статистики случайных процессов

РуководительЖитлухин Михаил Валентинович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регионФедеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Срок выполнения при поддержке РНФ 07.2018 - 06.2021  , продлен на 07.2021 - 06.2023. Карточка проекта продления (ссылка)

КонкурсКонкурс 2018 года по мероприятию «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-110 - Теория вероятностей и математическая статистика

Ключевые словастохастическое управление, случайные процессы, статистика случайных процессов, последовательный анализ, устойчивость, выпуклая оптимизация, случайные матрицы

Код ГРНТИ27.43.00


СтатусУспешно завершен


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Проект посвящен решению конкретных задач в теории оптимального стохастического управления и статистики случайных процессов и будет, в основном, включать исследования по трем направлениям: исследование методов стохастического управления с критериями в условиях неопределенности, исследованию последовательных статистических методов для случайных процессов и изучение моделей случайных матриц, применяемых в современной статистике и эконометрике, а также функционалов от эмпирических ковариационных матриц. В рамках первого направления будут изучаться задачи управления диффузионными процессами с "нестандартными" критериями оптимальности: асимптотическая оптимальность и оптимальность относительно семейства вероятностных мер, а также изучаться свойства управляемых процессов. В рамках второго направления - проверка гипотез для параметров случайных процессов с нефиксированным объемом выборки (или по последовательно поступающим данным), а также управление диффузионными процессами с неизвестными параметрами. В третьем направлении мы сосредоточимся на исследовании спектральных свойств эмпирических ковариационных матриц большой размерности. Эти три направления взаимосвязаны единым математическим аппаратом, применяемым в них. Исследования в проекте носят теоретический характер, но проект актуален для практических применений в моделях обработки сигналов, обработке данных медицинских тестов, моделировании в экономике. В частности для ряда приложений актуально то, что модели, рассматриваемые нами, имеют последовательный характер - данные обрабатываются по мере поступления, что дает возможность прерывать их сбор как только накоплен достаточный объем. Такие постановки задач важны для применений, где требуется реакция на изменения в данных в режиме онлайн. Имеют важность также задачи о данных большой размерности, которые мы планируем изучать с помощью методов теории случайных матриц - в последнее время благодаря совершенствованию методов сбора информации стало возможным получать и хранить большие объемы данных, для обработки которых требуются новые математические методы. Исследования будут в значительной степени продолжать предыдущие результаты участников проекта по теории стохастического управления, статистике случайных процессов и теории случайных матриц. У коллектива имеется большой задел из предыдущих научных работ и высокая осведомленность в текущих мировых исследованиях. Новизна направлений исследований в том, что они отходят от стандартных постановок задач в вышеперечисленных областях (например, мы рассмотрим оптимизационные задачи, где явно не применим принцип оптимальности Беллмана, новые результаты по асимптотическому поведению процессов, управление с неполными данными и критериями в виде мер риска, и т.д.). По сути, основной мотив здесь в том, что параметры математических моделей, описывающие некоторые процессы, не всегда известны на практике, поэтому нужно учитывать ошибки, когда их пытаются оценить, и "закладывать" эти ошибки в оптимальные процедуры. Таким образом, теория, развитая в проекте, будет актуальна для применения в анализе статистических данных и принятия решений на их основе, в том числе в условиях, когда нужна быстрая реакция на обнаруженные изменения и имеются большие объемы данных.

Ожидаемые результаты
Ожидается решить конкретные задачи из области оптимального управления случайными процессами, последовательной статистики случайных процессов и теории случайных матриц. Во-первых, будут исследованы модели оптимального управления случайными процессами с некоторыми новыми критериями оптимальности, которые в недавнее время привлекли внимания значительного числа исследователей; мы планируем сконцентрироваться на (нетривиальных) постановках задач, которые можно довести до конкретного ответа. Такие результаты, в частности, будут представлять интерес для экономических приложений, т.к. могут быть применены к моделями управления финансовым портфелем и критериям оптимальности в виде мер риска. Во-вторых, будут изучены свойства управляемых процессов (устойчивость, отклонение от стационарного состояния). Эти результаты позволяют расширить существующий анализ, основанный на ожидаемых значениях или распределениях, и обеспечить более качественную оценку процессов в условиях неопределенности. В-третьих, ожидается рассмотреть некоторые новые постановки задачи последовательной проверки гипотез о параметрах случайных процессов, а также задачи об управлении случайными процессами с неизвестными параметрами, которые актуальны в анализе данных, когда нет возможности с высокой достоверностью оценить параметры моделей. Наконец, в-четвертых, планируется получение минимальных достаточных условий, при которых спектральные характеристики эмпирических ковариационных матриц большой размерности обладают свойством универсальности (ведут себя так же, как и в случае условно-гауссовских распределений), и, в частности, установить анизотропный глобальный и локальный законы для таких матриц при найденных условиях.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ


Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Получено обобщение результатов работ о представлении BPOE и монотонном отношении Шарпа (работы М.В. Житлухина 2015 и 2017 г.) с L1 и L2 на Lp. Исследованы свойства этих функционалов. Были сформулированы две задачи - задача оптимального управления и задача об оптимальной остановке - для случайных процессов, где критерий оптимальности имеет вид BPOE. Было найдено их решение для случая, когда управляемый (или останавливаемый) процесс является геометрическим броуновским движением. Показано, что отсюда могут быть легко получены решения известных задач о максимизации отношения Шарпа для управляемого процесса. Предложена динамическая теоретико-игровая модель для случайных процессов, где несколько игроков соперничают за распределение выплат (выигрышей), и которую можно интерпретировать как экономическую задачу поиска оптимальной инвестиционной стратегии, которая бы "не проигрывала" любым стратегиям конкурентов. В этой модели было показано, что такая стратегия существует, и она была найдена в явном виде; были исследованы также ее свойства (скорость накопления выигрыша, время достижения суммарным выигрышем заданного уровня и др.) Проведен анализ асимптотического поведения интегральных квадратичных целевых функционалов, определенных на процессах Орнштейна-Уленбека с переменными коэффициенами. Определен вид верхней функции для процесса отклонения интегрального функционала от своего ожидаемого значения в зависимости от темпа устойчивости матрицы состояния, матрицы диффузии и матрицы квадратичной формы. Изучалась вальдовская задача последовательного тестирования двух гипотез о параметрах возвращения к среднему значению для двумерного процесса Орнштейна-Уленбека. Найдены явные выражения для вероятностей ошибок первого и второго рода. Указаны пороговые уровни, при которых асимптотически критерий Вальда оказывается в классе допустимых решающих правил. Было установлено, что марковские процессы, параметры которых предполагаются случайными величинами с известным распределением, вообще говоря, теряют свойство марковости; однако, марковским является расширенный процесс, состоящий из исходного, дополненного процессом апостериорных вероятностей. Для конкретных примеров найдена размерность расширенного процесса и исследованы свойства функции цены. Доказан анизотропный глобальный закон для эмпирических ковариационных матриц, отвечающих распределениям, размерность которых сравнима с размером выборки, в предположении, что одномерные проекции распределений имеют не слишком тяжелые хвосты. Получены общие условия существования и оценки точности аппроксимации потраекторных интегралов Римана-Стилтьеса относительно случайных процессов с гельдровскими траекториями от, вообще говоря, разрывных функций локально ограниченной вариации от процессов аналогичного типа.

 

Публикации

1. Яськов П.А. On pathwise Riemann–Stieltjes integrals Statistics & Probability Letters, Volume 150, July 2019, Pages 101-107 (год публикации - 2019).


Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Получено представление для наименьшего монотонного функционала, доминирующего отношение математического ожидания случайной величины к сублинейному функционалу, в виде оптимизационной задачи. В теоретико-игровой модели финансового рынка с двумя типами активов установлено, что существует стратегия, которая позволяет игроку поддерживать долю капитала, отделенную от нуля на бесконечном горизонте времени. Рассмотрена задача оптимальной суперэкспоненциальной стабилизации решений линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с аддитивными и мультипликативными шумами. Показано, что стратегия в виде линейной обратной связи по состоянию, включающая решение обобщенного уравнения Риккати, будет являться оптимальным управлением по критерию из класса обобщенных долговременных средних при ограничении на темп роста критерия. Установлено, что применение такого управления обеспечивает суперэкспоненциальную сходимость к нулю соответствующих процессов в среднем квадратичном и почти наверное. Рассмотрена задача о разладке для процесса Орнштейна-Уленбека в обобщенной байесовской постановке. Найден процесс достаточной статистики, и задача сведена к задаче об оптимальной остановке. Качественно исследована структура решения. Вычислены предельные значения билинейных форм, матрицы коэффициентов которых суть произведения R^2A, AR^2, RAR неслучайных симметричных матриц A и резольвент R выборочных ковариационных матриц, отвечающих случайным векторам, размерность которых растет пропорционально объему выборки, при слабых ограничениях на распределения векторов вроде свойства концентрации (вокруг своего среднего значения) квадратичных форм от таких векторов. Данные результаты, в частности, позволяют вычислять предельные значения прогнозного риска и среднеквадратичного отклонения оценок гребневой регрессии в линейной модели со случайными регрессорами, число которых сравнимо с объемом выборки.

 

Публикации

1. Житлухин М.В. Асимптотически оптимальные стратегии в одной модели рынка с конкуренцией Теория вероятностей и ее применения, том 65, вып.1, с. 209-210 (год публикации - 2020).

2. Паламарчук Е.С. О верхних функциях для интегральных квадратичных функционалов от процесса Орнштейна-Уленбека с переменными коэффициентами Теория вероятностей и ее применения, т. 65,вып. 1, с. 23-41 (год публикации - 2020).

3. Э. Бабаей, И.В. Евстигнеев, К.Р. Шенк-Хоппе, М. Житлухин Von Neumann–Gale model, market frictions and capital growth Stochastics, Опубликована онлайн (год публикации - 2020).

4. Я. Дрокин, М. Житлухин Relative growth optimal strategies in an asset market game Annals of Finance, Опубликована онлайн (год публикации - 2020).


Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В теоретико-игровой модели финансового рынка с "короткоживущими" активами с н.о.р. выплатами доказано, что стратегия, которая распределяет инвестируемый капитал между активами пропорционально их ожидаемой относительной доходности, обладает рядом свойств оптимальности: в частности она позволяет поддерживать долю капитала отделенную от нуля на всем бесконечном временном горизонте, а также достигает любого уровня капитала в среднем не позднее чем любая другая стратегия асимптотически при значении данного уровня, стремящемся к бесконечности. Также получена оценка для отношения скоростей роста такой стратегии и любой другой стратегии. Это обобщает ранее известные результаты в моделях с одним инвестором и последовательностями цен, заданными внешним образом. Была также сформулирована аналогичная модель в непрерывном времени и в ней также построена асимптотически оптимальная стратегия (в терминах отделенности доли капитала от нуля). Получено достаточное условие, чтобы произвольная стратегия обладала таким свойством, выраженное в терминах асимптотической близости к найденной стратегии. Установлено также необходимое условие для такого свойства, также выраженное в терминах асимптотической близости. Рассмотрены задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени линейной стохастической системой при разнонаправленном учете издержек в интегральном квадратичном целевом функционале с приоритетом издержек по состоянию. Предполагалось, что множители, входящие в матрицы интегрального квадратичного целевого функционала, имели взаимно обратно пропорциональную динамику во времени. Доказано существование линейного установившегося закона управления, в структуру которого входит решение уравнение Риккати с асимптотически сингулярными коэффициентами. Показано, что построенный закон управления будет оптимальным в среднем на бесконечном интервале без ограничений на матрицу диффузии. При ограничении на матрицу диффузии установившийся закон также оптимален и в потраекторном смысле (т.е. с вероятностью 1). В качестве критериев оптимальности использованы критерии из класса обобщенных скорректированных долговременных средних, с корректирующей функцией в форме верхней оценки решения уравнения Риккати. Установлен закон больших чисел для квадратичных форм от граф-зависимых случайных величин в предположении роста степени зависимости величин и ограниченности спектральных норм матриц коэффициентов квадратичных форм. В качестве следствия получены оптимальные условия в теореме Марченко-Пастура и ее обобщениях на анизотропный случай для эмпирических ковариационных матриц, отвечающих случайным векторам, размерность которых растет пропорционально объему выборки n и которые (с точностью до невырожденного линейного преобразования) аппроксимируются случайными векторами с m-зависимыми элементами для m, растущего вместе с n. Данные оптимальные условия оказываются необходимыми и достаточными в теореме Марченко-Пастура в случае векторов с единичными ковариационными матрицами и m-зависимыми элементами c m=o(n). Было получено решение задачи о последовательной проверке гипотез для фрактального броуновского движения с линейным сносом, где коэффициент сноса не известен и имеет априорное нормальное распределение ("задача Г. Чернова"). Было найдено оптимальное решающее правило - момент остановки задается моментом пересечения двух уровней некоторым процессом, а решающая функция вычисляется из значения процесса в этот момент. Этот результат обобщил работу А. Муравлева и М. Житлухина (2012 г.) для стандартного броуновского движения.

 

Публикации

1. А. Муравлев, М. Житлухин A Bayesian sequential test for the drift of a fractional Brownian motion Advances in Applied Probability, Vol. 52, No. 4, p.1308-1324 (год публикации - 2020).

2. Е. Паламарчук Об оптимальной суперэкспоненциальной стабилизации решений линейных стохастических дифференциальных уравнений Автоматика и телемеханика, 2021, вып. 3, с. 98–111 (год публикации - 2021).

3. Е. Паламарчук Об оптимальном управлении для стохастического линейно-квадратического регулятора с обратно пропорциональной динамикой матриц в целевом функционале Теория вероятностей и ее применения, - (год публикации - 2021).

4. М. Житлухин Survival investment strategies in a continuous-time market model with competition International Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol. 24, No. 1, 2150001 (год публикации - 2021).

5. П. Яськов Limiting spectral distribution for large sample covariance matrices with graph-dependent elements Теория вероятностей и ее применения, - (год публикации - 2021).


Возможность практического использования результатов
не указано