Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Получено обобщение результатов работ о представлении BPOE и монотонном отношении Шарпа (работы М.В. Житлухина 2015 и 2017 г.) с L1 и L2 на Lp. Исследованы свойства этих функционалов. Были сформулированы две задачи - задача оптимального управления и задача об оптимальной остановке - для случайных процессов, где критерий оптимальности имеет вид BPOE. Было найдено их решение для случая, когда управляемый (или останавливаемый) процесс является геометрическим броуновским движением. Показано, что отсюда могут быть легко получены решения известных задач о максимизации отношения Шарпа для управляемого процесса. Предложена динамическая теоретико-игровая модель для случайных процессов, где несколько игроков соперничают за распределение выплат (выигрышей), и которую можно интерпретировать как экономическую задачу поиска оптимальной инвестиционной стратегии, которая бы "не проигрывала" любым стратегиям конкурентов. В этой модели было показано, что такая стратегия существует, и она была найдена в явном виде; были исследованы также ее свойства (скорость накопления выигрыша, время достижения суммарным выигрышем заданного уровня и др.) Проведен анализ асимптотического поведения интегральных квадратичных целевых функционалов, определенных на процессах Орнштейна-Уленбека с переменными коэффициенами. Определен вид верхней функции для процесса отклонения интегрального функционала от своего ожидаемого значения в зависимости от темпа устойчивости матрицы состояния, матрицы диффузии и матрицы квадратичной формы. Изучалась вальдовская задача последовательного тестирования двух гипотез о параметрах возвращения к среднему значению для двумерного процесса Орнштейна-Уленбека. Найдены явные выражения для вероятностей ошибок первого и второго рода. Указаны пороговые уровни, при которых асимптотически критерий Вальда оказывается в классе допустимых решающих правил. Было установлено, что марковские процессы, параметры которых предполагаются случайными величинами с известным распределением, вообще говоря, теряют свойство марковости; однако, марковским является расширенный процесс, состоящий из исходного, дополненного процессом апостериорных вероятностей. Для конкретных примеров найдена размерность расширенного процесса и исследованы свойства функции цены. Доказан анизотропный глобальный закон для эмпирических ковариационных матриц, отвечающих распределениям, размерность которых сравнима с размером выборки, в предположении, что одномерные проекции распределений имеют не слишком тяжелые хвосты. Получены общие условия существования и оценки точности аппроксимации потраекторных интегралов Римана-Стилтьеса относительно случайных процессов с гельдровскими траекториями от, вообще говоря, разрывных функций локально ограниченной вариации от процессов аналогичного типа.

Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Получено представление для наименьшего монотонного функционала, доминирующего отношение математического ожидания случайной величины к сублинейному функционалу, в виде оптимизационной задачи. В теоретико-игровой модели финансового рынка с двумя типами активов установлено, что существует стратегия, которая позволяет игроку поддерживать долю капитала, отделенную от нуля на бесконечном горизонте времени. Рассмотрена задача оптимальной суперэкспоненциальной стабилизации решений линейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) с аддитивными и мультипликативными шумами. Показано, что стратегия в виде линейной обратной связи по состоянию, включающая решение обобщенного уравнения Риккати, будет являться оптимальным управлением по критерию из класса обобщенных долговременных средних при ограничении на темп роста критерия. Установлено, что применение такого управления обеспечивает суперэкспоненциальную сходимость к нулю соответствующих процессов в среднем квадратичном и почти наверное. Рассмотрена задача о разладке для процесса Орнштейна-Уленбека в обобщенной байесовской постановке. Найден процесс достаточной статистики, и задача сведена к задаче об оптимальной остановке. Качественно исследована структура решения. Вычислены предельные значения билинейных форм, матрицы коэффициентов которых суть произведения R^2A, AR^2, RAR неслучайных симметричных матриц A и резольвент R выборочных ковариационных матриц, отвечающих случайным векторам, размерность которых растет пропорционально объему выборки, при слабых ограничениях на распределения векторов вроде свойства концентрации (вокруг своего среднего значения) квадратичных форм от таких векторов. Данные результаты, в частности, позволяют вычислять предельные значения прогнозного риска и среднеквадратичного отклонения оценок гребневой регрессии в линейной модели со случайными регрессорами, число которых сравнимо с объемом выборки.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В теоретико-игровой модели финансового рынка с "короткоживущими" активами с н.о.р. выплатами доказано, что стратегия, которая распределяет инвестируемый капитал между активами пропорционально их ожидаемой относительной доходности, обладает рядом свойств оптимальности: в частности она позволяет поддерживать долю капитала отделенную от нуля на всем бесконечном временном горизонте, а также достигает любого уровня капитала в среднем не позднее чем любая другая стратегия асимптотически при значении данного уровня, стремящемся к бесконечности. Также получена оценка для отношения скоростей роста такой стратегии и любой другой стратегии. Это обобщает ранее известные результаты в моделях с одним инвестором и последовательностями цен, заданными внешним образом. Была также сформулирована аналогичная модель в непрерывном времени и в ней также построена асимптотически оптимальная стратегия (в терминах отделенности доли капитала от нуля). Получено достаточное условие, чтобы произвольная стратегия обладала таким свойством, выраженное в терминах асимптотической близости к найденной стратегии. Установлено также необходимое условие для такого свойства, также выраженное в терминах асимптотической близости. Рассмотрены задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени линейной стохастической системой при разнонаправленном учете издержек в интегральном квадратичном целевом функционале с приоритетом издержек по состоянию. Предполагалось, что множители, входящие в матрицы интегрального квадратичного целевого функционала, имели взаимно обратно пропорциональную динамику во времени. Доказано существование линейного установившегося закона управления, в структуру которого входит решение уравнение Риккати с асимптотически сингулярными коэффициентами. Показано, что построенный закон управления будет оптимальным в среднем на бесконечном интервале без ограничений на матрицу диффузии. При ограничении на матрицу диффузии установившийся закон также оптимален и в потраекторном смысле (т.е. с вероятностью 1). В качестве критериев оптимальности использованы критерии из класса обобщенных скорректированных долговременных средних, с корректирующей функцией в форме верхней оценки решения уравнения Риккати. Установлен закон больших чисел для квадратичных форм от граф-зависимых случайных величин в предположении роста степени зависимости величин и ограниченности спектральных норм матриц коэффициентов квадратичных форм. В качестве следствия получены оптимальные условия в теореме Марченко-Пастура и ее обобщениях на анизотропный случай для эмпирических ковариационных матриц, отвечающих случайным векторам, размерность которых растет пропорционально объему выборки n и которые (с точностью до невырожденного линейного преобразования) аппроксимируются случайными векторами с m-зависимыми элементами для m, растущего вместе с n. Данные оптимальные условия оказываются необходимыми и достаточными в теореме Марченко-Пастура в случае векторов с единичными ковариационными матрицами и m-зависимыми элементами c m=o(n). Было получено решение задачи о последовательной проверке гипотез для фрактального броуновского движения с линейным сносом, где коэффициент сноса не известен и имеет априорное нормальное распределение ("задача Г. Чернова"). Было найдено оптимальное решающее правило - момент остановки задается моментом пересечения двух уровней некоторым процессом, а решающая функция вычисляется из значения процесса в этот момент. Этот результат обобщил работу А. Муравлева и М. Житлухина (2012 г.) для стандартного броуновского движения.