Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Квазиоднородные алгебраические многообразия, т.е. многообразия с заданным действием группы с открытой орбитой, являются одним из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии и теории алгебраических групп преобразований. В настоящее время наиболее глубоко изучены нормальные алгебраические многообразия, допускающие действие с открытой орбитой редуктивной алгебраической группы (торические многообразия, редуктивные моноиды, сферические многообразия, вложения однородных пространств сложности один). Цель данного проекта – изучать алгебраические многообразия, на которых с открытой орбитой действует нередуктивная группа. Наиболее интересным для нас случаем является случай коммутативной унипотентной группы. Эффективное действие с открытой орбитой такой группы на полном многообразии мы называем аддитивным действием. Наша группа использует для работы над проектом различные методы, в том числе методы современной алгебраической геометрии (описание дивизоров и связанных с ними линейных расслоений, свойства канонического дивизора, кольца Кокса и структура группы автоморфизмов, теория многообразий Фано, рациональные кривые и рационально связные многообразия), теории алгебраических групп преобразований (свойства орбит действий алгебраических групп и их бесконечномерных обобщений, теоремы о линеаризации действий), коммутативной алгебры (структура конечномерных локальных алгебр, свойства градуированных алгебр), теории локально нильпотентных дифференцирований (основные свойства таких дифференцирований, описание локально нильпотентных дифференцирований градуированных алгебр) и выпуклой геометрии (язык полиэдральных конусов и вееров для описания многообразий с действием алгебраического тора). С помощью конструкции Кокса изучена связь между коммутативными алгебраическими моноидами на аффинных пространствах и аддитивными действиями на торических многообразиях. Критерии коммутирования для пары однородных локально нильпотентных дифференцирований использованы для изучения действия двумерной унипотентной группы на аффинных многообразиях с действием тора с открытой орбитой. С помощью полученного результата о минимальной системе порождающих для алгебр Ли ведётся исследование группы симплекторорфизмов аффинных пространств. Готовится статья с классификацией аддитивных действий на торических гиперповерхностях. Получена классификация действий связных коммутативных линейных алгебраических групп на невырожденных проективных квадриках с открытой орбитой, обобщающая вопрос классификации аддитивных действий на невырожденных проективных квадриках с открытой орбитой. Получены критерии гибкости и жёсткости ненормального аффинного торического многообразия в терминах его полугруппы весов. При поддержке гранта завершена работа над следующими 4 статьями, принятыми в печать и/или опубликованными в 2019 году: [1] Ivan Arzhantsev, Karine Kuyumzhiyan, and Mikhail Zaidenberg. Infinite transitivity, finite generation, and Demazure roots. Adv. Math. 351 (2019), 1-32. DOI: 10.1016/j.aim.2019.05.006 [2] Ivan Arzhantsev, Sergey Bragin, and Yulia Zaitseva. Commutative algebraic monoid structures on affine spaces. Accepted in Communications in Contemporary Mathematics. DOI: 10.1142/S0219199719500640 [3] Alisa Chistopolskaya. On nilpotent generators of the symplectic Lie algebra. Accepted in Linear and Multilinear Algebra https://arxiv.org/abs/1908.04065 [4] Дмитрий Матвеев. Коммутирующие однородные локально нильпотентные дифференцирования. Матем. сб. 210 (2019), 11, 103-128. DOI: 10.4213/sm9132

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
При поддержке гранта в 2020 году 4 статьи были подготовлены к публикации и приняты в печать, 7 препринтов подготовлены и поданы в журналы. Все работы опубликованы в архиве Корнельского Университета (arxiv.org). Полученные научные результаты докладываются на всероссийских и международных конференциях. Аддитивным действием на полном алгебраическом многообразии называется эффективное действие коммутативной унипотентной алгебраической группы с открытой орбитой. В рамках работ по проекту в этом году получена классификация аддитивных действий на полных торических поверхностях (https://doi.org/10.1142/S0218196721500028, https://arxiv.org/abs/1908.03563). Оказалось, что аддитивных действий либо нет, либо такое действие единственно, либо таких действий ровно два с точностью до изоморфизма. Каждый из этих случаев охарактеризован в терминах веера многообразия. Для полных торических многообразий произвольной размерности получен критерий единственности аддитивного действия в терминах максимальной унипотентной подгруппы группы автоморфизмов этого многообразия и в терминах веера соответствующего многообразия (https://arxiv.org/abs/2007.10113). Описаны проективные торические гиперповерхности, допускающие аддитивные действия, найдены группы автоморфизмов этих гиперповерхностей и дана классификация аддитивных действий в случае, когда поверхность имеет размерность 3 или 4 (https://arxiv.org/abs/2010.07909). Получена конструкция гладкого непроективного эквивариантного пополнения аффинного пространства произвольной размерности не меньшей трех и описана орбитная структура аддитивного действия на пополнении в трехмерном случае (https://arxiv.org/abs/2005.03277). С помощью обобщения теоремы Хассетта-Чинкеля описаны все эффективные действия коммутативных алгебраических групп на гладких проективных квадриках с открытой орбитой (https://arxiv.org/abs/2011.08514). Описаны действия одномерной аддитивной группы на неаффинном алгебраическом многообразии в терминах дифференцирований поля рациональных функций и пучка регулярных функций, и дана классификация конечномерных алгебр Ли, порожденных локально нильпотентными дифференцированиями вертикального типа в алгебре Ли всех дифференцирований данной градуированной алгебры (http://doi.org/10.1016/j.jpaa.2020.106499, https://arxiv.org/abs/1902.01523). Доказано, что группа, порожденная конечным числом одномерных аддитивных подгрупп, либо унипотентна, либо содержит свободную неабелеву группу (https://arxiv.org/abs/2003.00037). Доказано, что любой конечный набор связных алгебраических подгрупп группы треугольных автоморфизмов аффинного пространства порождает связную разрешимую алгебраическую подгруппу (https://arxiv.org/abs/2011.01202). Доказана обобщенная гибкость любого конуса над произвольной кубической поверхностью, кроме антиканонического (https://arxiv.org/abs/2006.16417). Получены критерии гибкости, жесткости и почти жесткости торического (ненормального) многообразия (https://arxiv.org/abs/2012.03346). Получены критерии гибкости и жесткости аффинных орисферических многообразий сложности ноль. Получен критерий бесконечной транзитивности для групп автоморфизмов плоскости, порожденных конечным набором аддитивных подгрупп. Над любым полем нулевой характеристики доказана гипотеза Гуо, Розенкранц и Чжан об инъективных операторах Рота-Бакстера нулевого веса на алгебре многочленов от одной переменной, установлена структура инд-многообразия на пространстве модулей таких операторов, описана аддитивная структура обобщенной модальности два и предъявлено бесконечно транзитивное действие подгруппы, порожденной аддитивными действиями, на подмножествах коразмерности один (https://arxiv.org/abs/2005.14030). В основном завершена работа над обзором по аддитивным действиям, в настоящее время на arxiv.org размещены подробное введение, описание структуры обзора, первая глава и список литературы ко всему тексту (https://arxiv.org/abs/2008.09828).

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В этом году при поддержке гранта нашей научной группой было опубликовано 8 статей, подготовлены и поданы в журналы препринт и большой обзор, посвященный теории аддитивных действий. Полученные научные результаты докладываются на всероссийских и международных конференциях. В рамках работ по проекту в этом году опубликована работа с описанием проективных торических гиперповерхностей, допускающих аддитивные действия. Найдены группы автоморфизмов этих гиперповерхностей и дана классификация аддитивных действий в трехмерном и четырехмерном случаях (https://doi.org/10.1007/s00025-021-01462-x). Опубликована статья с классификацией аддитивных действий на полных торических поверхностях. А именно, доказано, что либо аддитивное действие единственно, либо таких действий ровно два с точностью до изоморфизма, либо нет ни одного аддитивного действия. Каждый из этих случаев описан в терминах веера многообразия (https://doi.org/10.1142/S0218196721500028). Опубликована конструкция гладкого непроективного эквивариантного пополнения аффинного пространства произвольной размерности не меньшей трех и описанием орбитной структуры аддитивного действия на пополнении в трехмерном случае (https://doi.org/10.4213/mzm12717). Опубликована работа, в которой описаны действия одномерной аддитивной группы на неаффинном алгебраическом многообразии в терминах пучка регулярных функций и дифференцирований поля рациональных функций, и дана классификация конечномерных алгебр Ли, порожденных локально нильпотентными дифференцированиями вертикального типа в алгебре Ли всех дифференцирований данной градуированной алгебры (http://doi.org/10.1016/j.jpaa.2020.106499). Опубликовано доказательство аналога альтернативы Титса для торических многообразий: подгруппа группы автоморфизмов, порожденная конечным числом одномерных аддитивных подгрупп, нормализуемых тором, либо унипотентна, либо содержит свободную неабелеву группу (http://doi.org/10.1093/imrn/rnaa342). Опубликовано доказательство обобщенной гибкости любого конуса над произвольной кубической поверхностью, кроме антиканонического (https://doi.org/10.1515/forum-2020-0191). Опубликовано доказательство гипотезы Гуо, Розенкранц и Чжан об инъективных операторах Рота-Бакстера нулевого веса на алгебре многочленов от одной переменной над любым полем характеристики нуль. Установлена структура инд-многообразия на пространстве модулей таких операторов, описана аддитивная структура обобщенной модальности два и предъявлено бесконечно транзитивное действие подгруппы, порожденной аддитивными действиями, на подмножествах коразмерности один (https://doi.org/10.1007/s00009-021-01909-z). Опубликованы критерии гибкости, жесткости и почти жесткости для торических ненормальных многообразий (https://doi.org/10.1134%2FS0001434621110237). Доказано, что проективное торическое многообразие, допускающее аддитивное действие, эйлерово-симметрично относительно любого линейно нормального вложения в проективное пространство, изучено множество эйлеровых точек на проективном торическом многообразии и описаны фундаментальные формы, соответствующие линейно нормальным торическим эйлерово-симметрическим проективным многообразиям (https://arxiv.org/abs/2111.09231). Доказана единственность индуцированного аддитивного действия на невырожденной проективной гиперповерхности любой степени. Завершена работа над обзором, посвященном теории аддитивных действий (https://arxiv.org/abs/2008.09828). Обзор содержит 5 глав, подробное введение и список литературы.