КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 16-11-10069
НазваниеДифференциальные операторы на сингулярных пространствах, алгебраически интегрируемые системы и квантование.
РуководительШафаревич Андрей Игоревич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова», г Москва
Период выполнения при поддержке РНФ | 2019 г. - 2020 г. |
Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-113 - Математическая физика
Ключевые словаСингулярные пространства, квазиклассическое квантование, коммутативные кольца дифференциальных операторов, интегрируемые системы, деформационное квантование.
Код ГРНТИ27.35.00
СтатусУспешно завершен
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект будет посвящен углублению и усилению полученных ранее результатов, описанию связей между теорией дифференциальных операторов (как аналитическими, так и алгебраическими и геометрическими её аспектам), деформационным квантованием, теорией интегрируемых систем и топологией. В рамках проекта предполагается получить также принципиально новые результаты в данном направлении, связанные с постановками новых задач, возникшими в результате реализации проекта 2016 года..
Ожидаемые результаты
Мы планируем описать все нормальные спектральные поверхности, дивизор спектральных данных которых гладок, а также доказать гипотезу о классификации коммутирующих дифференциальных операторов для нормальных спектральных поверхностей. Мы также планируем расширить описание спектральных данных известных примеров алгебраически интегрируемых квантовых систем Калоджеро-Мозера с разными потенциалами, и получить новые их деформации.
Мы рассчитываем получить описание фазового портрета периодической системы Тоды и её обобщений в терминах геометрических и комбинаторных структур, связанных с группой Вейля аффинной алгебры Ли; мы также надеемся получить алгебраическое описание интегралов полной симметрической системы Тоды, их связи с оператором Ниенхейса и индукцией Ленарда-Магри. Кроме того мы рассчитываем получить описание алгебраических структур, связанных с деформационный квантованием многообразий Пуассона-Ниенхейса и критерий существования такого квантования. Все эти результаты являются новыми и связаны с важными разделами современной математики: теорией интегрируемых систем, теорий деформаций, пуассоновой и симплектической геометрией.
Планируется для замкнутых триангулированных поверхностей разработать определение вырожденной метрики, дать определение потока Риччи для таких метрик. Планируется выяснить, при каких условиях этот поток сходится к метрике, имеющей постоянную кривизну вне особенностей. Планируется исследовать модификацию хохшильдового и циклического комплексов ассоциативной алгебры, предложенную Каруби, для которой в характеристике 0 верна теорема о гармоническом разложении. Более точно, планируется построить аналоги этой конструкции для диэдральных и рефлексивных гомологий ассоциативных алгебр с инволюцией, а также проверить, до какой степени конструкция Каруби согласована с хохшильдовыми и циклическими гомологиями А-бесконечность алгебр.
Планируется получить асимптотическую формулу для следа резольвенты оператора Шредингера с произвольными самосопряженными краевыми условиями на геометрическом графе. Мы планируем выразить асимптотику следа через топологические и геометрические характеристики графа, а также через структуру лагранжевой плоскости, задающей лапласиан.
Планируется получить асимптотические формулы следов для дифференциальных операторов на двумерных многогранниках с произвольными краевыми условиями.
Планируется описать поведение решения волнового уравнения на гибридном пространстве с начальным условием, локализованным во внутренних точках многообразий. Планируется описать топологию соответствующих лагранжеых поверхностей и правила их склейки в особых точках гибридного пространства.
Планируется расширить класс гибридных пространств, на которых будет определена топология лагранжевых многообразий, определяющих асимптотические решения волнового уравнения. В частности, планируется рассмотреть гибридные многообразия с более сложной структурой, содержащие поверхности постоянной кривизны.
На двумерных многогранниках с произвольными краевыми условиями планируется описать локализованные решения волнового уравнения, соответствующие лагранжевы многообразия и волновые фронты. В частности, планируется исследовать правила склейки лагранжевых многообразий в вершинах многогранников.
Планируется описать топологию лагранжевых многообразий, соответствующих квазиклассической асимптотике решения задачи Коши для эволюционного уравнения Шредингера с дельта-потенциалом, локализованным на поверхности. Планируется изучить правила склейки этих многообразий в точках носителя дельта-потенциала.
Для псевдоримановых многообразий с сингулярностями, встречающихся в общей теории относительности, планируется описать локализованные асимптотические решения уравнений, описывающих внешние поля. Планируется описать топологию лагранжевых многообразий, соответствующих таким решениям, а также их особенности в точках горизонтов и сингулярностей псевдоримановых многообразий.
Планируется начать изучение числа положений случайного блуждания на простейшем бесконечном графе: бесконечной цепочке из ребер. Наработанную технику затем планируется перенести на случай двумерной решетки. Планируется полностью выписать многочлен, приближающий число конечных положений случайного блуждания, для случая полного графа (используя уже имеющиеся формулы). Затем планируется наработанную технику использовать для класса двудольных графов.
Результаты, которые планируется получить в проекте, соответствуют мировому уровню. Результаты проекта планируется опубликовать в центральных отечественных и зарубежных журналах.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Продолжены исследования по темам “Деформационное квантование интегрируемых систем и векторных полей” и “Геометрия полной симметрической системы Тоды на вещественных группах”.
а) Было доказано существование системы коммутирующих между собой векторных полей на компактных группах Ли, задающих симметрии полной системы Тоды.
б) Был построен аналог метода сдвига аргумента, связанный с действием L-бесконечность дифференцирования, удовлетворяющего условию, аналогичному уравнению Ниенхейса.
Начато исследование по теме «Некоммутативное двойное отношение»,
в) Установлено, что разные конструкции некоммутативного двойного отношения согласуются между собой; что некоммутативная производная Шварца может быть получена предельным переходом из некоммутативного двойного отношения.
Доказана усовершенствованная теорема классификации коммутативных квази-эллиптических подколец (кольца алгебраических псевдо-дифференциальных операторов) произвольного ранга над произвольным полем характеристики нуль, обладающих конечно порожденным спектральным модулем, с точностью до линейных замен переменных, в терминах спектральных данных упрощенного вида, что является усилением аналогичных результатов 2017 и 2018 года о кольцах ранга один над алебраически замкнутым полем.
Введено понятие упаковки кругов с вырождениями, для таких упаковок в евклидовом и гиперболическом случаях определена соответствующая метрика (невырожденная). В обоих случаях найдены условия, при которых соответствующий поток Риччи сходится к метрике постоянной кривизны для любой начальной метрики. Доказана теорема жесткости, т. е. что по кривизне однозначно (в евклидовом случае с точностью до умножения на скаляр) восстанавливается метрика (радиусы кругов в упаковке).
Нами была найдена асимптотика следа резольвенты оператора Лапласа на метрическом графе. Для нахождения следа нами использовалась резольвентная формула Крейна. Асимптотика была выражена через топологические и геометрические характеристики графа, а также через структуру лагранжевой плоскости, задающей лапласиан. Показано, что для условий Кирхгофа второй член асимптотики выражается через эйлерову характеристику графа.
Описано решение задачи Коши и распределение энергии для волнового уравнения на простейшем декорированном графе (гибридном многообразии) с начальными условиями, локализованными на поверхности. Описано решение задачи Коши и распределение энергии для волнового уравнения на гибридном многообразии, полученном приклейкой двух лучей к трехмерному евклидову пространству.
Описана старшая часть асимптотического решения волнового уравнения с переменной скоростью на простейшем декорированном графе с начальными условиями, локализованными на луче.
Описана топология лагранжевых многообразий, соответствующих асимптотическим решениям задачи Коши для уравнения Шредингера с дельта-потенциалом,локализованным на поверхности коразмерности 1. Полностью описаны правила склейки этих многообразий в точках носителя дельта-функции. Доказана теорема о разложении решения в полный асимптотический ряд по квазиклассическому параметру.
Описаны локализованные решения линеаризованных уравнений релятивистской газовой динамики. Показано, что таким решениям соответствуют лагранжевы многообразия с коническими особенностями. Найдена формальная асимптотика решения соответствующей задачи Коши.
Было рассмотрено случайное блуждание на метрическом графе. Говоря точнее, изучалась следующая динамическая система. В начальный момент времени по одному из ребер метрического графа начинает двигаться точка. В каждой вершине, с некоторой ненулевой вероятностью, происходит выбор одного из ребер для следующего шага. Соответственно, в висячих вершинах происходит отражение. В зависимости от длин ребер (мы считаем скорость единичной) число возможных конечных положений случайного блуждания ведет себя по-разному. Для случая конечного графа и линейно независимых над множеством рациональных чисел длин ребер, оно асимптотически (с ростом времени) приближается многочленом, степень которого равна числу ребер минус один. В работах В.Л. Чернышева и А.А. Толченникова было доказано, что второй коэффициент этого многочлена (то есть коэффициент при времени блуждания в степени число ребер минус два) выражается через квадратичную форму от длин ребер графа. Ранее, в работе 2017-го года, было показано, что для случая деревьев эта квадратичная форма полностью задает граф и начальную точку блуждания. В этом году были исследованы свойства матрицы этой квадратичной формы, в частности найдена их связь со свойствами графа. Квадратичные формы задаются симметрическими матрицами, а они, в свою очередь, полностью характеризуются своим спектром с точностью до ортогональных преобразований. Поэтому в работе был найден спектр симметрической матрицы, которая соответствует метрическому графу с выделенной точкой. Спектр был полностью описан для случая произвольных трехсвязных графов (в этом классе лежат, например, полный граф, граф-колесо, граф Петерсена, граф Фрухта). Он также была найден для случая произвольного линейного графа, звездных графов и графов-циклов.
Публикации
1. А.А. Толченников Asymptotics of the Trace of the Resolvent of the Laplace Operator on a Metric Graph with Arbitrary Boundary Conditions Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 26, No. 2, 2019, pp. 208{218. (год публикации - 2019) https://doi.org/10.1134/S1061920819020080
2. А.В. Цветкова, А.И. Шафаревич Cauchy Problem for the Wave Equation on the Simplest Decorated Graph with Initial Conditions Localized on a Surface Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 26, No. 2, 2019, pp. 227–236 (год публикации - 2019) https://doi.org/10.1134/S1061920819020109
3. А.И. Аллилуева, А.И. Шафаревич Remarks on Asymptotic Solutions of Linearized Equations of Relativistic Hydrodynamics Russian Journal of Mathematical Physics,, Vol. 26, No. 4, 2019, pp. 409-411. (год публикации - 2019) https://doi.org/10.1134/S1061920819040010
4. А.И. Аллилуева, А.И. Шафаревич Conic Lagrangian Varieties and Localized Asymptotic Solutions of Linearized Equations of Relativistic Gas Dynamics Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 24, No. 6, pp. 671–681. (год публикации - 2019) https://doi.org/10.1134/S1560354719060066
5. Пепа Р.Ю., Попеленский Ф.Ю. Combinatorial Ricci flow for degenerate circle packing metrics Regular and Chaotic Dynamics, Regul. Chaot. Dyn. (2019) 24: 298. (год публикации - 2019) https://doi.org/10.1134/S1560354719030043
6. Ретах В., Рубцов В., Шарыгин Г. Noncommutative Cross-Ratio and Schwarz Derivative Integrable systems and algebraic geometry, vol 2. LNS 459 p.487-516 (год публикации - 2020)
7. Шарыгин Г.И. Deformation Quantization of Commutative Families and Vector Fields Geometric Methods in Physics. XXXVII Workshop 2018 Trends in Mathematics, Springer Nature, 2019, p. 100-120 (год публикации - 2019)
8. Шафаревич А.И. Лагранжевы торы и условия квантования, соответствующие спектральным сериям оператора Лапласа на поверхности вращения с коническими точками Труды Математического Института им. В.А. Стеклова, т. 307 (год публикации - 2019) https://doi.org/10.4213/tm/4044
Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В работе Тода [On exact sequences in Steenrod algebra mod 2. Mem. Coll. Sci. Univ.
Kyoto. Ser. A. Math. 31 (1958), no. 1, 33–64] была высказана гипотеза о точности некоторых последовательностей модулей над алгеброй Синрода mod 2. Одна из этих гипотез была доказана Уоллом в [Generators and relations for the Steenrod algebra. Ann. Math. (2) 72 (1960), 429–444].
Нами были рассмотрены аналоги последовательностей Тода модулей над алгебрами Стинрода mod p>2. Была исследована их точность и было показано, что общем случае точности нет, была получена верхняя оценка на градуировки, в которых точность выполняется, были найдены последовательности, точные во всех градуировках.
Была развита теория Шура для кольца алгебраических псевдодифференциальных операторов - аналог теории Шура для кольца формальных псевдодифференциальных операторов.
Изучено число возможных конечных положений (в заданный момент времени) случайного блуждания на бесконечных, но локально конечных, метрических графах при увеличении времени.
Описаны лагранжевы многообразия, соответствующие квазиклассическим решениям эволюционных уравнений с сособенностями, сосредоточенными на гиперповерхности.
Были получены критерии косферичности точек в четырехмерном евклидовом пространстве, выраженные в терминах кватернионного двойного отношения.
При помощи «квазидифференцирований» был построен аналог метода сдвига аргумента и алгебра сдвига аргумента на универсальной обертывающей алгебре Ugl(n).
Построено асимптотическое решение волнового уравнения с переменной скоростью на простейшем гибридном многообразии с начальными условиями, локализованными на луче и на поверхности. Описана структура соответствующего лагранжева многообразия для всех возможных самосопряженных расширений, определяющих волновой оператор.
Описаны спектральные серии оператора Лапласа на поверхности с конической особенностью. Найдены соответстувующие лагранжевы поверхности и условия кавнтования, обощающие правила Бора - Зоммерфельда - Маслова.
Публикации
1. А. В. Цветкова, А. И. Шафаревич Локализованное асимптотическое решение волнового уравнения с переменной скоростью на простейшем декорированном графе с начальными условиями на поверхности Математические заметки, Том 108 выпуск 4, 601-616 (год публикации - 2020) https://doi.org/10.4213/mzm12873
2. А. В. Цветкова, А. И. Шафаревич Локализованное асимптотическое решение волнового уравнения с переменной скоростью на простейшем декорированном графе ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, т. 308, с. 265–275 (год публикации - 2020) https://doi.org/10.4213/tm4069
3. А.А. Толченников, В.Л. Чернышев Asymptotics of the Number of Endpoints of a Random Walk on a Certain Class of Directed Metric Graphs Russian Journal of Mathematical Physics, - (год публикации - 2021)
4. А.И. Шафаревич, О.А. Щегорцова Квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шредингера с дельта-потенциалом, локализованным на поверхности коразмерности 1 ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, том 310, страницы 322–331 (год публикации - 2020) https://doi.org/10.4213/tm4103
5. Бурбан И., Жеглов А. Cohen-Macaulay modules over the algebra of planar quasi-invariants and Calogero-Moser systems Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. 121, no. 4. — P. 1033–1082. (год публикации - 2020) https://doi.org/10.1112/plms.12341
6. Д.С. Миненков, А.А. Толченников, В.Л. Чернышев On Number of Endpoints of a Random Walk on a Semi-infinite Metric Path Graph Теоретическая и Математическая Физика, - (год публикации - 2021)
7. Емельянов Д.Ю., Попеленский Ф.Ю. On some sequences of modules over the mod p Steenrod algebra Homology, Homotopy and Applications, vol. 22(1), 2020, pp.185–202 (год публикации - 2020) https://doi.org/10.4310/HHA.2020.v22.n1.a11
8. Жеглов А.Б. Algebraic geometric properties of spectral surfaces of quantum integrable systems and their isospectral deformations Geometric Methods in Physics XXXVIII. Trends in Mathematics. Birkhäuser, Cham., pp.313-331 (год публикации - 2020) https://doi.org/10.1007/978-3-030-53305-2_21
9. Шарыгин Г.И. L-infinity-derivations and the argument shift method for deformation quantization algebras ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA, Vol.1, 2020, 53-78 (год публикации - 2020)
10. Жеглов А.Б. Algebra, geometry and analysis of commuting ordinary differential operators Издательство попечительского совета механико-математического факультета МГУ, - (год публикации - 2020)
Возможность практического использования результатов
не указано