Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В 2019 году получены следующие результаты: 1. Получены результаты исследования волнового переноса энергии в гармонических цепочках простой структуры с заданным начальным распределением температуры. Получено общее решение задачи о переносе энергии. Получены результаты решения тестовых задач с различными начальными распределениями температуры. 2. Получены результаты описания подвода и распространения энергии в одномерной гармонической цепочке на упругом основании, погруженной в диссипативную среду. Получено аналитическое решение задачи о воздействии точечного источника на одномерную гармоническую цепочку. 3. Получены результаты расчетов с использованием разработанных дискретных и континуальных моделей с целью выбора оптимальной постановки экспериментов по исследованию аномального переноса энергии в одномерных кристаллических материалах. На основе результатов молекулярно-динамического моделирования разработана эмпирическая зависимость теплопроводности от плотности дефектов. 4. Исследовано влияние нелинейности на процессы распространения волн и переноса энергии в кристаллических решетках. Разработаны дискретные и континуальные модели с вращательными степенями свободы для описания распространения волн и переноса энергии в кристаллических материалах на примере динамики двумерных решетчатых структур, в частности, графена. 5. Получены результаты расчетов с использованием разработанных дискретных и континуальных моделей с целью выбора оптимальной постановки экспериментов по исследованию аномального переноса энергии в одномерных кристаллических материалах. 6. Получены результаты расчетов с использованием разработанных дискретных и континуальных моделей с целью выбора оптимальной постановки экспериментов по исследованию аномального переноса энергии в одномерных кристаллических материалах. 7. Проведено сравнение результатов моделирования аномального переноса энергии, получающихся в рамках дискретного и континуального подходов. 8. Исследован подвод энергии в двуатомную цепочку при силовом нагружении. Получено точное решение, описывающее динамику цепи при силовом нагружении. Получены асимптотические формулы для описания поведения полной энергии цепочки в зависимости от частоты внешнего воздействия. 9. Проведен аналитический анализ переходного процесса в одномерном нелинейном кристалле, подверженном мгновенной однородной деформации. 10. Выработаны рекомендации для группы экспериментаторов из технического университета Берлина. Так, в рамках совместной работы, выполнен термодинамический анализ уравнения баллистической теплоты с двух точек зрения: классической необратимой термодинамики (КНТ) и расширенной необратимой термодинамики (РНТ).

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Второй год проекта посвящен описанию аномального переноса энергии в двумерных материалах простой структуры. Разработаны двумерные решеточные и континуальные модели. Результаты моделирования использовались для интерпретации экспериментальных данных, получаемых группой из технического университета Берлина. В частности, получены следующие результаты: 1. Результаты исследования волнового переноса энергии в двумерных скалярных решетках простой структуры с заданным начальным распределением температуры. Общее решения задачи о переносе энергии в двумерных решетках с взаимодействием произвольного числа соседей. Результаты решения тестовых задач с различными начальными распределениями температуры. (ИПМаш, Технический университет Берлина) 2. Результаты исследования влияния нелинейности на процессы распространения волн и переноса энергии в двумерных скалярных решетках простой структуры. (ИПМаш) 3. Результаты исследования влияния линейного и нелинейного упругого основания на процесс переноса энергии в двумерных скалярных решетках. (ИПМаш) 4. Результаты описания подвода и распространения энергии в двумерных скалярных решетках, погруженных в диссипативную среду. Аналитическое решение задачи о воздействии точечного источника на двумерную квадратную решетку, совершающую поперечные колебания. (ИПМаш) 5. Двумерные континуальные модели с вращательными степенями свободы для описания распространения волн и аномального переноса энергии в графене и других двумерных материалах. (ИПМаш, Технический университет Берлина) 6. Результаты моделирования аномального переноса энергии, получающиеся в рамках дискретного и континуального подходов. (ИПМаш) 7. Результаты расчетов с использованием разработанных дискретных и континуальных моделей с целью выбора оптимальной постановки экспериментов по исследованию аномального переноса энергии в двумерных материалах в стационарной постановке. (ИПМаш, Технический университет Берлина) 8. Результаты решения задач об аномальном переносе энергии в стационарной постановке с целью сравнения результатов с экспериментальными данными, получаемыми группой из технического университета Берлина. (ИПМаш) 9. Результаты корректировки разработанных математических моделей с целью достижения наилучшего согласия теоретических и экспериментальных результатов. (ИПМаш) 10. Результаты численного моделирования переноса энергии в двухмерных скалярных решетках с использованием дискретного и континуального подходов. (Технический университет Берлина) 11. Результаты экспериментального определения стационарного распределения температуры в графеновых образцах с использованием рамановской спектроскопии. (Технический университет Берлина)

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1. Развит подход к описанию волнового переноса энергии в упругих твердых телах с кристаллической структурой. С использованием данного подхода получены точные и приближенные формулы, описывающие изменение начального распределения кинетической энергии в решетке во времени, связанные с баллистическим переносом энергии. Построено общее решение задачи о переносе энергии в одномерных и двумерных решетках сложной структуры с взаимодействием произвольного числа соседей. С использованием разработанного подхода решен ряд задач о переносе энергии в квадратной решетке, совершающей поперечные колебания. В частности, решены задачи о ступенчатом, круговом и синусоидальном распределении начальной кинетической энергии. Показано, что полученные аналитические решения с высокой точностью описывают результаты численного решения уравнений динамики решетки. Проведено обобщение подхода на случай сложных гармонических решеток. Получено точное решение уравнений движения частиц решетки. 2. Исследовано влияния нелинейности на процессы распространения волн и переноса энергии в одномерных и двумерных решетках сложной структуры. В частности, численно решены задачи о переносе энергии в одномерной цепочке Ферми-Паста-Улама-Цингоу с прикрепленными массами и решетке графена, описываемой нелинейными потенциалами взаимодействия. Показано, что наличие нелинейности приводит к переходу от квази-баллистического режима переноса энергии к аномальному диффузионному. 3. С использованием точного решения уравнений движения получены формулы, с высокой точностью описывающие изменение поля кинетической энергии в бесконечных линейных сложных решетках, элементарная ячейка которых имеет произвольное число степеней свободы. Данные формулы применимы, в том числе и для двухатомной цепочки. Показано, что матрица, характеризующая кинетические энергии элементарной ячейки, может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, имеющих различные характерные времена. На малых временах поведение кинетической энергии в различных пространственных точках можно считать практически независимым. 4. Получены аналитические и численные решения задач теплопередачи в графене. Решения выявили несколько особенностей баллистического теплообмена в решетке графена. В первой задаче рассматривался синусоидальный профиль начальной температуры в разных пространственных направлениях. Было показано, что амплитуда температурного профиля падает на порядок за короткое время (t<L/c∗). На данном временном масштабе анизотропия теплопередачи незначительна. Получены простая аналитическая формула, описывающая изменения температуры на данном временном масштабе. При больших временах (t ≫ L/c∗) амплитуда совершает небольшие колебания, затухая обратно пропорционально времени. Колебания зависят от направления и, следовательно, влияние анизотропии является значительным. Эта зависимость вызывает анизотропию теплопередачи. Анизотропию следует учитывать при проведении реальных экспериментов при низких температурах. Во второй задаче была указана постоянная начальная температура в окружности. Решение этой проблемы демонстрирует несколько особенностей. Температурный профиль имеет фронт, движущийся с максимальной групповой скоростью и несколько локальных максимумов. Глобальные максимумы расположены в центре образца только в короткие промежутки времени. В больших случаях температура имеет шесть идентичных глобальных максимумов, движущихся вдоль осей симметрии решетки. 5. Предложена формула для описания стационарного баллистического переноса энергии в графеновом листе, погруженном в диссипативную среду. Полученное решение соответствует случаю, когда обе подрешетки графена одинаково возбуждаются источником тепла, действующим внутри одной примитивной ячейки. Полученное аналитическое решение находится в хорошем количественном согласии с численным дискретным решением везде, за исключением окрестности шести сингулярных лучей с началом в месте расположения источника тепла. Континуальное решение становится сингулярным на этих лучах, в отличие от дискретного, которое, по-видимому, в определенном смысле локализовано вдоль лучей. 6. Предложен аналитический подход для анализа переходного процесса в одномерных кристаллах (цепочках), подвергнутых мгновенной однородной деформации. Такую деформацию можно интерпретировать как мгновенное изменение жесткости межчастичных связей в цепочках. Мгновенное изменение жесткости резко изменяет потенциальную энергию кристалла, что приводит к изменению кинетической энергии и кинетической температуры. Установлено, что переходный процесс сопровождается высокочастотными энергетическими колебаниями, которые имеют аналитическое представление в терминах функции Бесселя первого рода, и, следовательно, амплитуда переходных колебаний заухает обратно пропорциональна квадратному корню из времени. После затухания колебаний система достигает почти равновесного состояния, соответствующего предсказаниям равновесной термодинамики. Однако процесс перехода может быть детально изучен с помощью представленного подхода, где аналитическое решение подтверждается численным моделированием. Используя методику, описанную в предыдущих работах, представленный подход может быть распространен на анализ переходных процессов в двумерных и трехмерных материалах. 7. Показано отличие выражений, полученных в континуальном приближении в работах Кривцова, Соколова [Кривцов ДАН 2015, Соколов Физ. Мезомех. 2017] и полученных ранее в работах [Клейн Пригожин 1957, Хэммер] дискретных выражений. В работах Хэммера и Пригожина получены выражения, описывающие изменение кинетической температуры каждой частицы гармонического одномерного кристалла как функции целочисленного индекса частицы и времени. В работе Кривцова для этой же системы получено уравнение в частных производных описывающее поле кинетической температуры как функцию сплошной пространственной координаты и времени–баллистическое уравнение теплопроводности. 8. Проведены расчеты с использованием разработанных моделей с целью выбора оптимальной постановки экспериментов по исследованию нестационарного переноса энергии в двумерных материалах. Полученные зависимости можно использовать для определения режима теплопроводности, диффузионного, баллистического или квазибаллистического. Ряд теоретических результатов показал степенную зависимость теплопроводности от размера системы для одномерных систем. Этот результат был подтвержден и экспериментально. Получена зависимость коэффициента теплопроводности от радиуса круглого образца в чисто баллистическом случае. 9. Совместно с коллегами из Технического университета Берлина проведены эксперименты по измерению теплопроводности графена и использованием Рамановской оптико-термической методики. Использованный в настоящем проекте метод был предложена в работах Баландина и коллег [Сalizo et al. 2007, Chen et al. 2012]. Лазерный луч используется как источник нагрева в центре мембраны и одновременно для измерения температуры в точке нагрева. Проведен анализ экспериментальный данных для температурного коэффициента из литературы. Применяя этот эффект, можно использовать отраженный лазерный свет в качестве термометра и определять температуру по сдвигу пиков. Зная коэффициент оптического поглощения графена и мощность падающего лазера, поглощенная мощность рассчитывается с использованием коэффициента поглощения. Коэффициент теплопроводности рассчитывается из диффузионной модели Фурье для круглого диска с постоянным источником распределённым по площади образца по функции Гаусса. Проведен анализ экспериментальный данных для коэффициента оптического поглощения из литературы. В качестве коэффициента поглощения используется значение 2.3% полученное из анализа приведённых экспериментальных данных. Используя этот метод был измерен коэффициент теплопроводности однослойного графена. Рамановская термометрия - многообещающий перспективный метод для таких исследований. Сложность заключается в относительно большом минимальном размере лазерного пятна, ограниченном оптической дифракцией, который сравним с длиной свободного пробега фононов в графене при комнатной температуре, и в низком температурном разрешении, что обуславливает высокую погрешность измерений. В данной работе этим методом было получено значение коэффициента теплопроводности в диффузионном режиме 1900 Вт /мК. 10. Проведены расчеты с целью выбора оптимальной постановки экспериментов по исследованию нестационарного переноса энергии в графене. Сформулированы предложения по усовершенствованию экспериментального оборудования, имеющегося в Техническом университете Берлина, для проведения экспериментов, направленных на исследование аномального переноса энергии. Выработаны рекомендации по созданию новых устройств, основанных на принципе аномального переноса энергии.