Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Данный проект направлен на развитие эффективных математических моделей защиты от сейсмических волн, с использованием метаматериалов. Первый этап посвящен созданию аналитических моделей сейсмических мета-поверхностей и мета-интерфейсов на основе асимптотической теории для волны Рэлея. Полученные аналитические постановки были верифицированы с помощью конечноэлементного моделирования. Основные результаты, полученные на первом этапе работ по гранту РНФ 20-11-20133 (2020) По разделам плана работ: 1. Будет сформулирована постановка задачи о распространении волн в упругой среде с заглубленной периодической системой осцилляторов. Будут рассмотрены как плоская, так и пространственные постановки задачи, записаны определяющие уравнения динамики метаматериала. Основные результаты по этому разделу: 1.1. Сформулирована постановка задачи о распространении волн в упругом полупространства, включающем прослойку из сейсмического мета-материала в виде заглубленной периодической системы осцилляторов, в предположении что характерная длина волны существенно превышает расстояние между осцилляторами, а также расстояние от мета-интерфейса до поверхности полупространства. Записаны соответствующие постановки плоской и пространственных задач теории упругости. 1.2. Для плоской задачи сформулирована приближенная формулировка задачи в рамках явной асимптотической модели для поверхностной волны Рэлея, в рамках которой распространение описывается гиперболическим уравнением на мета-интерфейсе, а поведение во внутренней области полупространства определяется псевдостатическими эллиптическими уравнениями. 1.3. Полученные формулировки были сопоставлены с известными предыдущими моделями для сейсмических мета-поверхностей. 1.4 Сформулирована постановка задачи для численного моделирования задачи для системы заглубленных осцилляторов . 2. Используя результаты п.1, будут выведены эффективные граничные условия, моделирующие присутствие осцилляторов в упругой среде. Будет проведено осреднение периодической системы осцилляторов, учитывающее их инерцию, а также механические и геометрические параметры. Также, будет построена процедура асимптотического интегрирования вдоль слоя соответствующей глубины, содержащего данную систему осцилляторов, что позволит получить аналитические выражения для напряжений на заданной глубине. Основные результаты по этому разделу: 2.1. Получена осредненная формулировка для регулярной системы дискретных осцилляторов, которая была представлена в виде гладкой распределенной нагрузки, с соответствующей интегральной инерцией и жесткостью, в зависимости от расстояния между осцилляторами. 2.2. В рамках трехмерной задачи для упругого слоя с заданными напряжениями на верхней лицевой поверхности, и перемещениями на нижней лицевой поверхности, было произведено асимптотическое масштабирование компонент напряженно-деформированного состояния в соответствии с методом асимптотического интегрирования А.Л. Гольденвейзера. 2.3. Полученная приближенная задача была проинтегрирована по толщине слоя. В результате были получены явные аналитические выражения для напряжений на нижней лицевой поверхности, что в свою очередь позволило записать эффективные граничные условия на интерфейсе в терминах напряжений и перемещений, с учетом влияния системы осцилляторов и заданных нагрузок на поверхности полупространства. 3. Результаты для напряжений на интерфейсе, полученные в п.2 с помощью процедуры асимптотического интегрирования, будут сопоставлены с результатами конечноэлементного моделирования, что обеспечит дополнительную верификацию. Основные результаты по этому разделу: 3.1 С использованием пакетов ANSYS и LS-Dyna построена плоская численная конечноэлементная модель для моделирования взаимодействия набегающих объемных и поверхностных волн с геометрически простой системой заглубленных осцилляторов. 3.2 Используя разработанную модель, была протестирована применимость разработанных эффективных граничных условий для достаточно точного приближения влияния периодической системы заглубленных осцилляторов. Показано, что использование разработанных граничных условий, в протестированных случаях с достаточной точностью моделируют реальное влияние периодической системы заглубленных осцилляторов. 3.3 Используя разработанную двумерную модель были решены задачи взаимодействия набегающей волны Релея с периодической системой одинаковых осцилляторов и системой осцилляторов с возрастающей и убывающей массой. Продемонстрирована потенциальная эффективность подобных систем сейсмозащиты – в ряде случаев амплитуды перемещений и ускорений на поверхности уменьшались на порядок. Были получены эффекты, ранее наблюдаемые для других мета-структур (например, система балок на поверхности) – эффект «радуги» и эффект захвата энергии набегающей волны мета-структурой. 3.4 С использованием пакетов ANSYS, LS-Dyna и ABAQUS построена полная трехмерная численная конечноэлементная модель для моделирования взаимодействия набегающих объемных и поверхностных волн с системой заглубленных осцилляторов. Данная модель будет применяться на следующих этапах работы. 4. На следующем этапе будет построена модель сейсмической метаповерхности, базирующаяся на методологии гиперболико-эллиптических теорий для поля волны Рэлея с учетом полученных в п.2 эффективных граничных условий. В результате на интерфейсе будет выведено волновое уравнения для одного из волновых потенциалов, сингулярно возмущенное с помощью псевдодифференциального оператора. Уравнение будет включать в себя учет инерции и параметров системы осцилляторов. Основные результаты по этому разделу: 4.1. Была получена приближенная формулировка плоской задачи для случая воздействия нормальной нагрузки на поверхности упругого однородного полупространства с найденными в п. 2.3. эффективными граничными условиями, в рамках явной гиперболико-эллиптической модели для волны Рэлея. 4.2. Было получено суммарное нормальное напряжение в правой части волнового уравнения на мета-интерфейсе для объемного потенциала Ламэ, проанализирована его структура, выделено влияние действующей нормальной нагрузки. 4.3. Был произведен анализ влияния приповерхностного слоя в записанных граничных условиях на мета-поверхности в виде сингулярного возмущения волнового оператора. 4.4. Был изучен эффект динамического воздействия регулярной системы осцилляторов в граничных условиях на мета-поверхности в виде регулярного возмущения волнового уравнения. 4.5. Были записаны эквивалентные формулировки для волнового уравнения на мета-интерфейсе в терминах объемного упругого потенциала, с использованием интегрального преобразования Гильберта. 4.6. Получены соответствующие возмущенные волновые уравнения для сдвигового потенциала Ламэ, а также для перемещений на мета-интерфейсе 4.7. Записано решение для объемного потенциала внутри области для псевдостатического эллиптического уравнения с граничным условием типа Дирихле, определенным из анализа возмущенного гиперболического уравнения на мета-интерфейсе. 4.8. По результатам найденного объемного потенциала в п. 4.7 восстановлено значение сдвигового потенциала и восстановлено поле перемещений. 5. По результатам выполнения задач проекта, в первый год коллективом авторов планируется написание не менее 5 статей в международных журналах, результаты будут доложены на 6 международных конференциях в Европе и в России. 5.1. Опубликовано 6 статей в международных изданиях, в том числе 3 статьи в высокорейтинговых журналах из Q1 и Q2. 5.2. Результаты исследований докладывались на онлайн-конференции XLVIII International Summer School – Conference Advanced Problems in Mechanics, 21–26 Июня, 2020 (Санкт-Петербург, Россия), на конференции XI European Conference on Structural Dynamics (EURODYN-2020), 23-26 Ноября 2020, (Афины, Греция), а также на конференции International Summer School-Conference “Advanced Problems in Mechanics” (APM 2020 OFFLINE), 09-13 ноября 2020, (Санкт-Петербург, Россия). Развитие проекта отражается на интернет-странице https://www.researchgate.net/project/Analytical-models-of-seismic-metamaterials

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Данный проект направлен на развитие эффективных математических моделей защиты от сейсмических волн, с использованием метаматериалов. Второй этап посвящен многопараметрическому анализу аналитических моделей сейсмических мета-поверхностей и мета-интерфейсов, развитых на первом этапе, а также исследованию влияния параметров . Полученные аналитические постановки были верифицированы с помощью конечноэлементного моделирования. Основные результаты, полученные на втором этапе работ по гранту РНФ 20-11-20133 (2021) По разделам плана работ: 1. Многопараметрический анализ модели сейсмической метаповерхности, в том числе учитывая структуру осциллятора и контраст механических и геометрических параметров. Будут получены явные асимптотические формулы, иллюстрирующие роль соотношений между расстояниями между осцилляторов и глубиной их заложения, а также инерционными и деформационными свойствами среды. 1.1. Выполнен многопараметрический анализ сейсмической метаповерхности, учитывая геометрические и механические параметры осцилляторов, а также их расстояние между ними. При этом получены явные асимптотические формулы для оценки границ полос пропускания. 1.2. Получены замкнутые аналитические решения для стационарных двумерных задач о распространении волн в тонких двумерных упругих конструкциях, содержащие вырезы, перекрытые системой составленных из струн решеток. 1.3. Выведено одномерное волновое уравнение для описания приповерхностного поля рэлеевских волн в упругой полуплоскости, с правой частью, в виде псевдодифференциального оператора, действующего на заданную на поверхности нагрузку. 1.4. Получено двухчленное асимптотическое разложение в динамической задаче для упругого слоя, опирающегося на основание Винклера. Выведенные двумерные уравнения применены к задаче о подвижной нагрузке. 1.5. Предложены эффективные условия, исключающие распространение волн Стоунли, вдоль так называемых «размытых» интерфейсов. Также изучены условия существования волн Стоунли в материалах-ауксетиках. Указана возможность применения полученных результатов при проектировании сейсмических метаматериалов. 2. Получение решения модельной плоской задачи о взаимодействии волны Рэлея с сейсмической метаповерхностью. Будут изучены различные способы возбуждения волн, воздействующих на мета-интерфейс, в том числе будут рассмотрены стационарные приповерхностные и заглубленные источники, и нестационарное поверхностное воздействие, соответствующее условиям задачи Лэмба и ее обобщениям. 2.1. Получены приближенные аналитические решения плоской задачи теории упругости, описывающие поле рэлеевских волн, возбуждаемое заглубленными источниками продольных и поперечных волн. 2.2. Выведены приближенные околорезонансные решения, выраженные в элементарных функций, в стационарной и нестационарной задачах о подвижной нагрузке на предварительно деформированной упругой полуплоскости. 2.3. Предложены эффективные интерфейсные условия, моделирующие периодическую систему заглубленных осцилляторов, заделанных в упругое полупространство. 2.4. Исследовано влияние скользящего контакта на приповерхностном интерфейсе на распространение волны растяжения-сжатия, описываемой длинноволновой низкочастотной теорией обобщенного плоского напряженного состояния. 3. Сопоставление полученного решения с результатами численного конечноэлементного моделирования. Соответствующие численные примеры будут включать детальный анализ влияния объемных волн, пренебрегаемых в рамках асимптотической модели для волны Рэлея. Кроме того, планируется оценить погрешность упрощений, связанных со взаимодействием осцилляторов со средой. 3.1 Проведено сравнение результатов, получаемых с использованием разработанной численной модели с имеющимися точными аналитическими решениями – внешней и внутренней задачей Лэмба. Полученные результаты говорят о применимости используемого метода для решения исследуемого класса задач. 3.2 На основании анализа задачи Лэмба в двумерной постановке оценено расстояние от точки приложения нагрузки, начиная с которого возможно пренебречь влиянием объемных волн (затухающих пропорционально расстоянию) и возможно считать, что нагрузка задается поверхностной волной Релея. 3.3 Проведено сравнение численного решения для одиночной осциллирующей массы с приближенным асимптотическим решением, разработанным в рамках данного проекта. Показано, что с использованием разработанного подхода возможно проведение параметрического анализа с целью установления класса задач, для которых возможно применение приближенных асимптотических подходов, что будет сделано на следующем этапе. 4. Исследование возможных эффектов неоднородности и нелинейности в параметрах осцилляторов. Будут исследованы границы применимости осредненного представления динамического воздействия осцилляторов и возможности его асимптотического уточнения в случае малой неоднородности. Кроме того, исследовано влияние нелинейности пружин в осцилляторах, одновременно с помощью приближенной модели и в точной постановке на основе конечноэлементного моделирования. 4.1. Выписаны регулярно возмущенные эффективные условия на интерфейсе, с учетом малой нелинейности в осцилляторах и малых отклонений от периодичности в их системе. Аналитические оценки сопоставлены с результатами конечноэлементных расчетов. 4.2. Эффективные линейные интерфейсные условия распространены на случай системы осцилляторов с распределенными параметрами, в том числе в виде стержней и балок, с целью получения нескольких полос запирания. 5. Подготовка и написание статей и презентаций на конференциях по результатам исследований. Планируется публикации статей в журналах Proc.Roy.Soc. A (Q1, IF 2.140), Mech. Res. Comm (Q1, 2.229), ZAMP (Q2, IF 1.791), IMA J. Appl. Math. (Q2, IF 1.505), Доклады РАН. Опубликовано 6 статей в международных изданиях, в том числе 3 статьи в высокорейтинговых журналах из Q1 и Q2. Результаты исследований докладывались на международной конференции «6th International Conference on the Development of Industrial Engineering», 21 апреля 2021, Ново место, Словения; международной конференции «Engineered Materials for Sustainable Structures (EM4SS)», 26-28 апреля 2021, Модена, Италия; международной конференции «Days on Diffraction-2021», 31 мая-04 июня 2021, Cанкт-Петербург, Россия; международной конференции XLIX International Summer School – Conference Advanced Problems in Mechanics, 21–25 Июня, 2021 (Санкт-Петербург, Россия); международной школе-конференции «Asymptotic Analysis of PDEs and Modelling of Waves», 19 июля - 06 августа 2021, Ливерпуль, Великобритания; международной конференции Euromech 626 “Mechanics of High Contrast Elastic Composites”, 06-08 сентября 2021, Киль, Великобритания; международной конференции «Dynamical Systems Theory and Applications (DSTA-2021)», 06-09 декабря 2021, Лодзь, Польша. Развитие проекта отражается на интернет-странице https://www.researchgate.net/project/Analytical-models-of-seismicmetamaterials

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Настоящий проект нацелен на развитие эффективных математических моделей сейсмозащиты, предполагающих использование современных метаматериалов. Третий, заключительный этап проекта посвящен дальнейшему развитию асимптотической теории сейсмических мета-поверхностей и мета-интефейсов; выводу условий, исключающих появление поперечных квази резонансов в слоистых упругих средах; многопараметрическому численному анализу, направленному на оценки области применимости разработанных аналитических подходов, и оптимизации свойств сейсмических метаматериалов. Основные результаты, полученные на третьем этапе работ по гранту РНФ 20-11-20133 (2022) 1. Выведены явные соотношения, характеризующие работу сейсмических мета-поверхностей и мета-интерфейсов изгибного типа в зависимости от условий на интерфейсе между системой резонирующих балок и упругой средой. Произведен учет вертикальной неоднородности тонкого приповерхностного слоя. 1.1 Получены оценки для верхней и нижней границ полос запирания для свободно опертых балок и балок, скользящих вдоль горизонтальных рельсов. Произведено тестирование полученных результатов путем сопоставления с известными точными решениями соответствующих стационарных динамических задач. 1.2. Предложены безразмерные масштабные соотношения, характеризующие работу сейсмических изгибных мета-поверхностей и мета-интерфейсов. Выявлена кардинальная зависимость указанных безразмерных агрегатов от условий на интерфейсе. 1.3. Показано, что тип интерфейсных условий в случае неоднородного покрытия также оказывает существенное влияние на динамическое поведение слоистого полупространства. 1.4. Выведены приближенные эффективные граничные условия, относящиеся к случаю вертикальной неоднородности в длинноволновом приближении. 1.5. Исследован эффект нелокальных упругих свойств среды, получены соответствующие асимптотические формулировки для поверхностной волны Рэлея. 2. Получено аналитическое решение для поля волны Рэлея под действием заглубленного инерционного источника колебаний. 2.1. Задача о заглубленном источнике сведена к ранее изучавшейся задаче о распространении поверхностной волны нагрузкой специального вида. 2.2. Получена альтернативная элегантная формулировка для приповерхностного поля волны Рэлея, включающая в себя одномерное гиперболическое уравнение, с правой частью, зависящеей от вычисляемой функции нагрузки, в которую глубинная координата входит в качестве параметра. 3. С использованием разработанной численной модели произведен параметрический анализ с целью определения области применимости приближенной асимптотической модели. На основе развитой численной модели и генетического алгоритма разработан подход, позволяющий определять оптимальные характеристики сейсмического метаматериала (расположение, распределение масс и жёсткостей для осцилляторов) на основе задаваемых параметров сейсмического воздействия и упругой среды. 3.1 При помощи разработанного численного подхода, исследована область применимости разработанной приближенной асимптотической аналитической модели. Сформулированы условия согласования приближенного решения с численным решением. 3.2 Построена оптимальная конфигурации сейсмического метаматериала, реализующего максимальную защиту от воздействия набегающей волны заданной формы в области за сейсмическим метаматериалом на основе Генетического Алгоритма (ГА) и на основе Оптимизации Роя Частиц (ОРЧ). Обнаружено, что алгоритм на основе ГА, для решаемой задачи, обеспечивает более быструю сходимость по сравнению с ОРЧ- алгоритмами. 3.3 Показана независимость оптимальной конфигурации от выбора начальных конфигураций. Определены оптимальные конфигурации сейсмического метаматериала на основе демпфированных масс для нескольких различных видов набегающей поверхностной волны. 4. На основе точных дисперсионных соотношений для волн Рэлея - Лэмба, распространяющихся в стратифицированном полупространстве, получены условия, гарантирующие отсутствие поперечных квази резонансов, связанных с точками нулевой групповой скорости, которые представляюи опасность для защищаемых территорий. 4.1. Обнаружено, что поперечный квази резонанс связан с появлением зон нулевой групповой скорости в различных дисперсионных кривых. В том числе, продемонстрирована возможность нулевой групповой скорости в слоистых средах для фундаментальной симметричной моды. 4.2. Показано, что при определенных обстоятельствах могут появляться кратные точки с нулевой групповой скоростью, также принадлежащие фундаментальной симметричной моде. 4.3. Установлено, что появление поперечного квази резонанса обусловлено либо нулевым потоком энергии в направлении распространения волны Лэмба, либо бесконечным значением энергии деформирования. 4.4. Отмечено, что зона с поперечным квази резонансом может представлять опасность, связанную либо с возможным нарушением адгезионной прочности между слоями в слоистой среде, либо нарушением когезионной прочности самих слоев. 5. По результатам выполнения задач проекта, коллективом авторов планируется написание не менее 6 статей в международных журналах, результаты будут доложены на 6 международных конференциях в Европе и в России. Опубликовано 9 статей в международных изданиях, в том числе 8 статей в высокорейтинговых журналах из Q1 и Q2. Результаты исследований докладывались на международной конференции “11th European Solid Mechanics Conference ESMC-2022”, Голуэй, Ирландия, 4 – 8 июля 2022; международной школе-конференции “Threshold phenomena in spectral analysis and their applications to waves and tectonics”. CONACYT, Universidad del Mar, Мексика, 12-15 июля 2022; международной конференции “10th International Conference on Numerical Methods and Applications”, Боровец, Болгария, 22-26 августа 2022; международной конференции “XII International Conference of the Georgian Mathematical Union”, Батуми, Грузия, 29 августа – 02 сентября 2022; международной конференции XXV International Scientific conference on Advance In Civil Engineering CONSTRUCTION THE FORMATION OF LIVING ENVIRONMENT (FORM-2022), Moscow, Россия, 20-24 апреля 2022; восьмой международной научной школе молодых ученых “Физическое и математическое моделирование процессов в геосредах”, Москва, Россия, 12-14 октября 2022. Развитие проекта отражается на интернет-странице https://www.researchgate.net/project/Analytical-models-ofseismicmetamaterials