Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Была рассмотрена начальная стадия генерации крупномасштабного вихревого течения поверхностными волнами, когда характерный масштаб течения значительно превышает длину волны λ. Генерация течения производится вследствие одновременно нелинейного взаимодействия волн и их вязкого затухания. Задача общего положения может быть сведена к парному взаимодействию двух плоских волн, распространяющихся под углом θ друг к другу. Генерации крупно-масштабного течения соответствует предел малых θ. Высота столба жидкости предполагалась глубокой с точки зрения поверхностных волн, но могла быть в том числе и мелкой с точки зрения вихревого течения. Мы показали, что при малых θ амплитуда эйлеровой завихренности крупномасштабного течения в установившемся режиме имеет амплитуду, конечную при θ → 0. Соответственно, течение, которое связано с этой завихренностью, оказывается порядка S/θ, и представляет собой полосы чередующихся противоположно направленных потоков шириной ~λ/θ. Известно, что если вязкое затухание отсутствует, то при экспериментальном исследовании переноса примесей на поверхности жидкости с возбуждёнными поверхностными волнами скорость дрейфа определяется скоростью Стокса S ≈ (h/λ)ω h, где ω – частота волн, а h – их амплитуда. Эта оценка верна для любого угла θ. Таким образом, дрейф Стокса, который неизбежно аддитивно складывается при экспериментальных измерениях с эйлеровой скоростью потока, оказывается несущественным при малых θ. Далее, мы нашли динамику установления течения, а также динамику его затухания после исчезновения поверхностных волн. Наконец, мы исследовали влияние поверхностной плёнки и показали, что в случае несжимаемой плёнки параметр усиления течения порядка добротности волн в присутствии плёнки. По результатам работы была сделана публикация Parfenyev, V. M., & Vergeles, S. S. (2020). Large-scale vertical vorticity generated by two crossing surface waves. Physical Review Fluids, 5(9), 094702. В приложенных дополнительных материалах первые две страницы -- нужные страницы из статьи. Проведено исследование структуры циклонов и анти-циклонов в умеренно быстро вращающемся турбулентном потоке. Глобальное число Россби в таком случае оказывается меньше либо порядка единицы. Мы искали профиль азимутальной скорости для среднего течения в столбовом вихре, статистически однородном вдоль оси вращения. Профиль скорости удовлетворяет уравнению, в которое входит тензор Рейнольдса. Расчёт тензора Рейнольдса определяется статистикой мелкомасштабных флуктуаций, динамика которых исследовалась в линейном режиме на фоне среднего течения, локально представимого как наложение вращения и сдвигового течения, являющихся продуктами дифференциального вращения в вихре. Мы установили, что для анти-циклона при приближении к оси вихря локальное вращение становится всё больше. Это локальное вращение анти-направлено глобальному вращению, в результате чего абсолютное значение локального числа Россби растёт. Кроме того, в дифференциальном вращении вихря уменьшается сила сдвигового течения, так что локальное число Рейнольдса падает. Это приводит к тому, что ближе некоторого безразмерного расстояния ξ до оси вихря решения для среднего течения не существует. Это означает, что для того, чтобы анти-циклон при выбранных глобальных параметрах мог существовать, корреляционная длина мелкомасштабных флуктуаций должна превышать расстояние, соответствующее числу ξ. Если, например, эта корреляционная длина фиксирована, то установленное условие эквивалентно ограничению на размер анти-циклонов сверху. Для циклонов локальное вращение в вихре складывается с глобальным вращением. Это означает, что указанного механизма ограничения на размер циклонов нет. Проведено исследование парных корреляционных функций скорости в столбовом когерентном вихре, существующего в турбулентном потоке быстро вращающейся жидкости. Мы установили анизотропию корреляционной функции. В частности, мы показали, что корреляционная длина в радиальном направлении значительно меньше корреляционной длины в азимутальном направлении. Такое анизотропное поведение корреляционной функции возникает из-за того, что локально дифференциальное вращение в вихре представляет собой сдвиговое течение. Оно напоминает поведение корреляционной функции в сдвиговом течении без вращения, однако в последнем случае степень анизотропности оказывается значительно сильнее. Быстрое вращение частично подавляет анизотропию, поскольку в его присутствии турбулентные мелкомасштабные пульсации прежде всего ведут себя как инерционные волны, которые распространяются согласно закону дисперсии. Сдвиговое течение лишь медленно изменяет волновой вектор этих волн. Мы установили зависимость степени анизотропии корреляционной функции от числа Рейнольдса, характеризующего мелкомасштабные турбулентные пульсации. Мы исследовали стадию кинематического динамо для роста крупно-масштабного магнитного поля в когерентном столбовом вихре в быстро вращающемся турбулентном потоке проводящей жидкости. На кинематической стадии уравнение на среднее крупномасштабное магнитное поле B определяется линейным по нему вкладом в электро-движущую силу E. Вклад в E, линейный по B, стандартно называется α-эффектом. Он не ноль, если в турбулентном течении жидкости есть ненулевая спиральность. Мы предполагаем, что турбулентное течение есть ансамбль инерционных волн, так что квази-двумерной частью мелко-масштабного турбулентного течения можно пренебречь. Если же средняя спиральность турбулентного течения равна нулю, то надо учитывать β-эффект, который устанавливает связь между E и градиентом B. В частности, β-эффект может означать возникновение отрицательной турбулентной магнитной диффузии. Мы вычислили компоненты псевдо-тензора второго ранга α в случае, когда статистика инерционных волн даёт ненулевою спиральность. В случае же отсутствия спиральности, когда в среднем две поляризации инерционных волн с фиксированным волновым вектором в сумме обладают нулевой спиральностью, мы вычислили компоненты псевдо-тензора третьего ранга β. В условиях аксиальной симметричности статистики относительно оси глобального вращения выражения для α и β коэффициентов в научной литературе известны. В нашем случае присутствует среднее неоднородное течение. Оно, нарушая аксиальную симметрию, модифицирует псевдо-тензора α и β. Модификация подразумевает, в частности, что некоторые матричные элементы α, β, которые были нуль в случае аксиальной симметрии, а теперь оказываются отличными от нуля. В результате среднее крупномасштабное течение производит отбор по азимутальному углу среди неустойчивых конфигураций магнитного поля, усиливая неустойчивость одних и ослабляя неустойчивость других.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
При наличии сильного внешнего вращения поле скорости жидкости стремится удовлетворить условию геострофического баланса, что приводит к однородности крупномасштабного течения вдоль оси вращения. Динамика такой системы описывается уравнениями Навье-Стокса, которые диктуют передачу энергии от мелких вихрей (масштаб накачки) к более крупным вихрям. Если затухание достаточно мало, то энергия накапливается в самых больших масштабах системы, образуя когерентные геострофические вихревые структуры, известные как конденсаты. В 2020 году нами была построена простейшая модель когерентных вихрей, предполагающая неограниченность течения вдоль оси вращения и малость числа Россби. В рамках этой модели оказалось, что профили азимутальной скорости осесимметричных циклонов и антициклонов описываются линейно-логарифмической зависимостью и идентичны друг другу с точностью до знака. ◘ Соответствующая теория не учитывала граничные эффекты и поэтому была в основном применима для численного моделирования с периодическими граничными условиями. Теперь мы исследовали влияние границ, ортогональных оси вращения. Для типичных экспериментальных условий профиль скорости конденсата на достаточно больших расстояниях от оси вихря определяется линейным трением Экмана, связанным с условиями прилипания на нижней и верхней границах течения. На указанных расстояниях азимутальная скорость когерентного вихря не зависит от расстояния до центра вихря и определяется энергетическим балансом между мощностью накачки и трением о границы. Мы исследовали структуру когерентного вихря в этом случае и сравнили результаты с профилем скорости конденсата в двумерных системах. Кроме того, мы оценили, как трение о границы влияет на эффективность передачи энергии от мелкомасштабных турбулентных пульсаций к когерентному крупномасштабному течению. Ответ на этот вопрос имеет особый интерес, потому что в реальных течениях возбуждение инерционных волн не является изотропным: в основном возбуждаются турбулентные пульсации с волновыми векторами, почти ортогональными оси вращения. Если сосуд достаточно низкий и/или сила когерентного течения достаточно мала, то те инерционные волны, у которых волновой вектор имеет малую вертикальную компоненту, будут тратить свою энергию на трение о дно, а не на её передачу когерентному течению. Если же выполняется противоположное неравенство, то все инерционные волны успевают отдать свою энергию когерентному течению. Мелкомасштабное геострофическое течения стоит особняком в этих рассуждениях – для него сила трения Экмана должна быть меньше вязкого затухания для того, чтобы оно эффективно передавало свою энергию когерентному вихрю. Результаты опубликованы в работе [1]. ◘ Далее, нами был рассмотрен случай малого, но конечного числа Россби для крупномасштабного когерентного течения. В этом случае проявляется асимметрия между циклонами и антициклонами. Нами проведено аналитическое описание взаимодействия сильного конденсата со слабыми мелкомасштабными турбулентными пульсациями и получено уравнение, позволяющее определить радиальный профиль азимутальной скорости U(r) когерентного вихря. При быстром внешнем вращении профили скоростей циклонов и антициклонов идентичны друг другу и хорошо описываются зависимостью U(r) = r ln(r/R), где R - поперечный размер вихря. По мере уменьшения внешнего вращения эта симметрия исчезает: максимальная скорость в циклонах больше, а положение максимума ближе к оси вихря по сравнению с антициклонами. Кроме того, наш анализ показывает, что размер антициклона R не может превышать определенного критического значения, которое зависит от чисел Россби и Рейнольдса. Максимальный размер циклонов ограничен только размером системы при тех же условиях. Наши вычисления основаны на анализе линейной эволюции турбулентных пульсаций на фоне когерентного вихревого течения и сопровождаются оценками, следующими из нелинейного уравнения Навье–Стокса. Результаты опубликованы в работе [2]. ◘ Мы аналитически рассчитали парную структурную функцию турбулентных пульсаций скорости на фоне дифференциального вращения в когерентном вихре. Формально, мы рассматривали турбулентные пульсации на фоне сдвигового течения, когда на систему наложено быстрое вращение вокруг оси, нормальной к плоскости сдвига. Мы интересовались самыми малыми масштабами, на которых скорость может быть приближена линейным профилем, а структурная функция, соответственно, квадратичным. Мы обнаружили, что структурная функция обладает сильной анизотропией: в направлении возрастания силы сдвигового течения она возрастает намного быстрее, чем в направлении линий тока и в направлении, ортогональном плоскости сдвига. Результаты опубликованы в препринте [3]. Задачи, по которым достигнут значительный прогресс: ● В задаче о перемешивании пассивного скаляра в случайном гладком поле скорости с сильной сдвиговой компонентой и с учётом слабой молекулярной диффузии нам удалось сформулировать модель, которая в дальнейшем будет решаться аналитически. Без ограничения физической общности мы рассматриваем эволюцию пятна пассивного скаляра с гауссовым пространственным профилем. Используя то, что согласно уравнению переноса гауссов вид профиля сохраняется в процессе эволюции, мы свели полевую задачу к задаче о совместной ланжевеновской эволюции нескольких параметров гауссова распределения. ● Задача об исследование структуры когерентного геострофического течения в пределе, когда волновые пакеты инерционных волн существенно смещаются относительно геострофического течения в процессе собственной эволюции. Для инерционной волны записано динамическое уравнение вдоль характеристики в волновом пространстве. Характеристика определяется поведением во времени градиента крупномасштабного геострофического течения в точке текущего расположения волнового пакета инерционной волны. Показано, что энергия волнового пакета в среднем будет передаваться к геострофическому течению. Характерное время передачи энергии есть обратный градиент скорости геострофического течения. Таким образом, поддержание геострофического течения турбулентными пульсациями происходит по всему объёму, где оно имеет ненулевой градиент. Соответствующее уравнение на среднее геострофическое течение находится на стадии формулирования. ● Мы рассмотрели кинематическую стадию роста крупномасштабного магнитного поля на фоне когерентного вихря. Наиболее эффективным кинематическое динамо во вращающейся жидкости оказывается, если реализован α-эффект, который оказывается отличным от нуля, если инерционные волны в среднем обладают ненулевой спиральностью. Ненулевая спиральность инерционных волн наблюдается как в природных условиях, там может быть реализована и в эксперименте. Мы рассчитали величину α-эффекта в когерентном вихре. Наши вычисления проводились по теории возмущений по слабому среднему магнитному полю. Для определения матричных элементов тензора второго ранга α следует вычислять определённые одноточечные, но не одновременные средние, производя затем интегрирование по времени. Мы получили, что наибольшей амплитудой обладает α^rr-компонента (r - радиальное направление). Далее по амплитуде идут α^rϕ и α^ϕr компоненты. Все остальные компоненты либо равны нулю, либо относительно малы. [1] Parfenyev, V. M., Vointsev, I. A., Skoba, A. O., & Vergeles, S. S. (2021). Velocity profiles of cyclones and anticyclones in a rotating turbulent flow. Physics of Fluids, 33(6), 065117. [2] Parfenyev, V. M., & Vergeles, S. S. (2021). Influence of Ekman friction on the velocity profile of a coherent vortex in a three-dimensional rotating turbulent flow. Physics of Fluids, 33(11), 115128. [3] Leon L. Ogorodnikov, Sergey S. Vergeles (2021) Velocity structure function in a geostrophic coherent vortex under strong rotation. https://arxiv.org/abs/2112.0597

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Аналитически рассчитана парная структурная функция скорости турбулентных пульсаций на фоне когерентного геострофического вихря в быстровращающейся жидкости. Статистика турбулентных пульсаций определяется их динамикой, которая есть динамика инерционных волн под влиянием дифференциального вращения в вихре и слабого вязкого затухания. Наше рассмотрение ограничено самыми мелкими масштабами, где поле скоростей остается гладким. Мы установили анизотропию структурной функции. Градиент скорости турбулентных пульсаций достигает наибольшего значения в направлении, близком к радиальному, и наименьшего – в направлении, близком к направлению среднего потока. Отношение градиентов оценивается как τ*, где (τ*)^3 = Σ/ν kf^2, Σ -- сила сдвига в дифференциальном вращении в вихре, ν -- вязкость, kf -- характерный волновой вектор силы, возбуждающей турбулентные пульсации. Угол наклона между направлениями экстремальных значений градиента и направлениями, связанными с вихрем, оценивается как 1/τ*. Законы масштабирования соответствуют статистике пассивного скаляра в стационарном сдвиговом потоке. Причина такого соответствия лежит в динамике инерционных волн: когда число Россби является малым (Σ/2Ω << 1), динамика инерционных волн с противоположной поляризацией оказывается расцепленной. Уравнение на амплитуду каждой волны оказывается замкнутым, в нём оказываются члены, отвечающие за перенос вдоль характеристики крупномасштабного течения, передачу энергии крупномасштабному течению, а также за действие вязкости. В уравнении на пассивный скаляр нет второго члена. Однако за анизотропию отвечает первый и последний члены, которые есть в обоих уравнениях. https://aip.scitation.org/doi/full/10.1063/5.0130409 Мы рассмотрели задачу о перемешивании пассивного скаляра в поле скорости, представляющем собой суперпозицию сильного сдвигового течения и слабой гладкой в пространстве случайной во времени компоненты скорости, с учётом малой, но конечной диффузии. Такая ситуация может возникнуть в когерентном вихревом течении, где турбулентные пульсации по амплитуде малы по сравнению со средним течением и преимущественно крупно-масштабные. В таком потоке ляпуновская экспонента λ оказывается больше нуля в отличие от чисто сдвигового потока, λ~(Σ^2 D)^(1/3), где Σ -- сила сдвигового течения, а D -- амплитуда флуктуаций градиента скорости. Число Пекле, равное отношению ляпуновской экспоненты λ и скорости диффузии в отсутствии течения, предполагается большим. Задача является сильно анизотропной, поскольку сдвиговое течение стремится ориентировать кляксу пассивного скаляра вдоль линий тока. Роль слабой случайной компоненты поля скорости состоит в том, что она запускает процесс переворачивания. Состояние вытянутой строго вдоль линий тока кляксы является неустойчивым, случайная компонента производит поворот кляксы в область неустойчивости, после чего уже вытянутая клякса начинает сжиматься сдвиговым течением. Этот эффект следует учитывать при исследовании процесса перемешивания скаляра. Путём перемасштабирования координаты, направленной вдоль линий тока, анизотропию, наложенную сдвиговым течением, можно понизить до относительной амплитуды порядка единицы. При этом диффузия в уравнении на перенос пассивного скаляра оказывается сильно анизотропной. Это оказывается не принципиальным, поскольку угловая динамика (перевороты) приводят к её эффективной изотропизации. Таким образом нам удалось упростить задачу, расцепив угловую и радиальную динамику для парной корреляционной функции. Статистические свойства как парной корреляционной функции, так и одноточечных моментов <|ϑ|^α>, определяются статистикой сильных отклонений ляпуновской экспоненты от своего среднего значения. Вероятность этих отклонений задаётся функцией Крамера S(l), где l -- значение ляпуновской экспоненты для данной реализации случайного течения. Мы показали, что при достаточно общих предположениях о статистике флуктуаций градиента скорости, на функцию Крамера наложены ограничения, S(l)-2*l = S(-l). Эти ограничения транслируются в свойства одноточечных моментов и других корреляционных функций пассивного скаляра. http://arxiv.org/abs/2212.03040 Мы аналитически исследовали одно-точечную статистику турбулентных пульсаций, обладающих спиральностью, возбуждённых на фоне крупно-масштабного трёх-мерного когерентного вихревого течения. Среднее вихревое течение предполагается аксиально-симметричным. Предполагая, что спиральное мелко-масштабное турбулентное течение возбуждено некоторой случайной силой, статистика которой аксиально-симметрична, но несимметрична по отношению к зеркальному отражению в пространстве, мы сперва рассчитали матричные элементы среднего от произведения скорости и завихренности. Такой объект представляет интерес, поскольку может быть измерен экспериментально в непроводящей жидкости. Далее, для электрически проводящей жидкости мы рассчитали α-эффект. Как известно, полностью аксиально-симметричное течение не поддерживает эффект магнитного динамо. Присутствие турбулентных пульсаций на фоне аксиально-симметричного течения делает возможным эффект динамо для крупномасштабного магнитного поля. С точки зрения этого эффекта важна только одна компонента α-тензора, α_ξξ, где ξ есть направление вдоль линий тока среднего течения. Мы рассмотрели предел быстрого вращения и малого магнитного числа Прандтля и установили критерий, при выполнении которого α-эффект приводит к неустойчивости крупномасштабного аксиально-симметричного магнитного поля. https://arxiv.org/abs/2212.04230 Мы провели первые сравнения построенной нами теории с экспериментальными данными, полученными в лаборатории "Современная гидродинамика", ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН. Экспериментальная установка представляет собой вращающийся вокруг вертикальной оси герметично закрытый кубометр жидкости. Возбуждение течения производилось с помощью вращающихся лопаток, расположенных в углах куба. Поскольку лопатки существенно неоднородны по вертикали, главным образом они возбуждают инерционные волны. В объёме жидкости мы наблюдали геострофические вихри, продолжительность жизни которых значительно превышала времена их вязкого затухания. Это означает, что их следует квалифицировать как когерентные структуры, существование которых поддерживается напряжением Рейнольдса, т.е. отрицательной турбулентной вязкостью. В частности, при относительно низких частотах вращения куба наблюдаемые вихри имеют плоский участок в радиальном профиле азимутальной скорости, что находится в соответствии с построенной нами теорией. Требуется, однако, дальнейшая работа по детальному приведению в соответствие теории и эксперимента.