КАРТОЧКА ПРОЕКТА,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 20-71-00155

НазваниеТопологическое моделирование динамических систем и свойства новых обобщенных интегрируемых биллиардных систем

РуководительВедюшкина Виктория Викторовна, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регионФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова», г Москва

Срок выполнения при поддержке РНФ 07.2020 - 06.2022 

КонкурсКонкурс 2020 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-105 - Топология

Ключевые словаинтегрируемые гамильтоновы системы, интегрируемые биллиарды, слоение Лиувилля, лагранжевы слоения, CW-комплекс, динамика твердого тела

Код ГРНТИ27.21.21


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Целью настоящего проекта является анализ ряда новых конструкций в теории интегрируемых биллиардов и продвижение в задаче моделирования такими биллиардами и их обобщениями поведения других динамических систем. Ожидается, что при этом будут разработаны новые методы исследования топологических и динамических свойств интегрируемых биллиардов и найдены новые эффекты, возникающие при комбинации нескольких модификаций классических биллиардов, сохраняющих интегрируемость биллиардной системы. Основные классы рассматриваемых биллиардов и их свойства, интересующие нас, перечислены ниже и объединены в основные темы I - IV: (I) Новые классы интегрируемых биллиардов с 2 степенями свободы и их топологические свойства (II) Биллиардные системы с тремя степенями свободы их топологические свойства (III) Биллиарды с двумя степенями свободы на клеточных комплексах «малой сложности» (т.е. с малым числом пересекающихся дуг склейки их элементарных частей) и их топологические инварианты (IV) Эквивалентность интегрируемых систем и биллиардов, препятствия к этому В настоящее время теория интегрируемых биллиардов и теория интегрируемых систем в целом испытывают бурный рост и находят новые связи и приложения как в смежных областях математики: алгебре, топологии, геометрии, так и в более прикладных задачах механики и физики. С точки зрения практических приложений биллиардов отметим результат Д.В. Трещева, С.Л.Табачникова и А.Ю. Плахова о возможности реализовать преобразование параллельного пучка света в параллельный пучок путем системы из небольшого числа зеркал. Это, в частности, свидетельствует в пользу возможности реализации как минимум частичной невидимости тела, что несомненно имело бы богатые приложения. Отметим также, что А.А. Глуцюку удалось доказать гипотезу А.Ю. Плахова о невидимости для одного важного случая. Не будет преувеличением сказать, что в последние годы наиболее известные и яркие результаты теории биллиардов связаны с фундаментальной гипотезой Биркгофа об интегрируемости системы биллиарда. Были достигнуты существенные продвижения в доказательстве этого принципа в различных его формулировках. Эта гипотеза иллюстрирует, по-видимому, общий факт, что интегрируемость биллиарда в многомерной области тесно связана с принадлежностью гладких частей границы области-стола к одному и тому же семейству софокусных квадрик. В связи с Отметим работы В.Ю. Калошина и А.Соррентино, А.А. Глюцука, С.В. Болотина, А.Е. Миронова М. Бялого по различным формулировкам гипотезы Биркгофа, в том числе развитие и применение к ее доказательству результатов двух последних авторов по угловым биллиардам. В случае магнитных биллиардов (в том числе в пространствах ненулевой кривизны) наблюдается тот же эффект: согласно результатам А.Е. Миронова и М. Бялого, магнитный биллиард не в окружности не будет интегрируем, за исключением, возможно, отдельных значений величины магнитного поля. Тем самым, введение В.В.Ведюшкиной клеточных комплексов, состоящих из элементарных биллиардных столов показывает, что на самом деле интегрируемых биллиардов существенно больше, чем плоских областей, ограниченных дугами софокусных квадрик или окружностей. Более того, конструкция биллиардных книжек порождает бесконечную иерархию интегрируемых биллиардов, равно как и добавление к биллиарду многочисленных интегрируемых потенциалов. При этом результаты В.В. Ведюшкиной и А.Т.Фоменко о реализации биллиардами многочисленных классов слоений Лиувилля, их особенностей и классов гомеоморфности их трехмерных поверхностей уровня показывает, что рассматриваемые накрытия с естественными проекциями на биллиардный стол-комплекс и на плоскость -- нетривиальны, и их изучение более чем оправдано. Нашему проекту наиболее близки два направления: исследования В. Драговича, М. Раднович, С.Л.Табачникова биллиардов в софокусных квадриках и подход топологической классификации слоений Лиувилля (лагранжева слоения) интегрируемых систем, развитый в работах А.Т. Фоменко и его научной школы. Фигурирующие в проекте подходы к теории биллиардов изучают как в России (Москва, Новосибирск), так и за рубежом: в университетах США (Техас, Пенсильвания), Австралии (Сидней), Сербия (Белград), Израиля (Тель-Авив). Тематика исследований по топологии, динамике и алгебре интегрируемых систем, достаточно близким к подходам научной школы А.Т. Фоменко, представлена еще шире: Германия (Берлин, Йена), Франция (Тулуза, Ренн), Великобритания (Лафборо, Leeds), Швейцария (Лозанна), Польша (Ольштын, Зелена Гора), Голландия (Гронинген), Испания (Барселона), Сербия (Белград) и Канада (Торонто). Многие ведущие ученые в этих направлениях – ученики и соавторы А.Т. Фоменко и его коллег. В прошедшем году ведущие исследователи теории биллиардов принимали участие в конференции по математическим биллиардам в Сиднее, Австралия (В.В.Ведюшкина была членом оргкомитета конференции и также представила результаты своих исследований). Тема интегрируемых биллиардов также вызывает большой интерес: результаты совместных исследований В.В. Ведюшкиной, А.Т. Фоменко и их учеников были представлены на пленарных и приглашенных докладах как на ведущих общематематических конференциях (например, «Современные проблемы математики и механики» посвященная 80-летию академика В.А.Садовничего в 2019 году или «Классическая механика, динамические системы и математическая физика» посвященная 70-летию академика В.В. Козлова в 2020 году), так и центральных конференциях по теории интегрируемых систем, собирающих ведущих исследователей из России, Франции, Китая, США, Германии и других стран (Конечномерные интегрируемые системы FDIS-2019 в Шанхае КНР), на конференции по прикладной топологии (Киото, Япония, 2019). (I) Новые классы интегрируемых биллиардов с 2 степенями свободы и их топологические свойства (II) Биллиардные системы с тремя степенями свободы их топологические свойства (III) Биллиарды с двумя степенями свободы на клеточных комплексах «малой сложности» (т.е. с малым числом пересекающихся дуг склейки их элементарных частей) и их топологические инварианты (IV) Эквивалентность интегрируемых систем и биллиардов, препятствия к этому (I) Мы изучим ряд обобщений интегрируемых биллиардов с двумя степенями свободы, описанных учеными мирового уровня, с точки зрения топологии их слоений Лиувилля. Двумя главными примерами является добавление магнитного поля (т.е. частица теперь считается заряженной) и добавление явления проскальзывания (после удара частица «сдвигается» вдоль границы). Такие системы, в частности, рассматривались А.Е. Мироновым и М. Бялым (вопрос интегрируемости магнитного биллиарда) и Е.А. Кудрявцевой (нестандартные законы отражения и преломления от границы, и локальная интегрируемость связанных с ними потоков). (II) В последние годы были проведены успешные исследования (А.В. Цыганов, М.П. Харламов, П.Е. Рябов) фазовой топологии систем механики и математической физики (например, система волчка Ковалевской в двух силовых полях) с тремя степенями свободы. Нами ожидается, что как и в случае плоских интегрируемых биллиардов, биллиарды в различных областях в эллипсоиде могут иметь слоения Лиувилля, существенно отличающиеся от самого биллиарда в эллипсоиде, изучавшегося В. Драговичем и М. Раднович. Затем планируется изучить биллиард в эллипсоиде с упругими потенциалами типа Гука – в двумерном случае слоение такой модификации оказалось гораздо богаче, чем у исходного биллиарда. (III) Нами будет продолжено изучение класса «биллиардных книжек» – т.е. сохраняющего интегрируемо обобщения классических плоских биллиардов на случай движения частицы по специальному клеточному комплексу, оснащенному перестановками. Данная система была введена В.В. Ведюшкиной и продемонстрировала свою эффективность для реализации слоений Лиувилля на трехмерных поверхностях постоянной энергии, а также произвольных невырожденных особенностей ранга 1 интегрируемых систем. Как и в случае более простых «топологических биллиардов», ранее введенных В.В. Ведюшкиной, мы постараемся провести классификацию таких биллиардов и вычисление их топологических инвариантов. Отметим, что класс биллиардных книжек гораздо шире, чем успешно классифицированных топологических биллиардов, и непосредственным образом связан с непростой алгебраической проблемой коммутирования нескольких перестановок и проблемой Гурвица о разложении перестановки в произведение требуемого вида. Потоэто в первую очередь мы постараемся решить данную задачу в ее важнейшем и нетривиальном случае биллиардов, столы которых содержат фокусы софокусного семейства. (IV) Особенный интерес составляет реализация топологии интегрируемых систем механики и математической физики. Для многих таких систем фазовая топология и ее инварианты были успешно найдены при применении подходов и конструкции теории топологической классификации, разработанной А.Т. Фоменко и его школой. Особую ценность имеет наглядность режимов движения рассматриваемых нами систем биллиарда в сравнении с моделируемыми ими системами, а также простая форма задания системы: интеграл биллиарда квадратичен, в отличие от существенно более сложных интегралов степени 3 и 4 в известных системах механики и связанных с ними геодезических потоках. В каком-то смысле, трудность исходной задачи перетекает в сложность задачи конструирования конфигурационного пространства – стола-комплекса – или поиск новой интегрируемой модификации исходного биллиарда, в которой эффекты и их комбинации из исходной задачи находят свою реализацию. В предыдущих работах В.В. Ведюшкиной, А.Т. Фоменко и их учеников удавалось успешно решать как общие, так и конкретные проблемы указанных выше видов. В настоящем проекте планируется продолжить и развить эту деятельность. Планируется изучить, являются ли такие свойства интегрируемых систем как топологическая неустойчивость или расщепляемость (по Зунгу) особенности – препятствиями к реализации такого слоения Лиувилля биллиардом. Также планируется существенно продвинуться в изучении локальной версии известной гипотезы А.Т. Фоменко о реализации слоений Лиувилля интегрируемых систем биллиардами, развивая недавно построенные серии примеров и применяя изучаемые в настоящем проекте свойства других классов интегрируемых биллиардов (примеры которых мотивировали выбор темы (I): магнитные биллиарды в окружности, и добавление проскальзывания частицы при ударе на угол pi) Все основные темы исследований основаны на исследованиях и открытиях ведущих ученых мирового уровня. Все предполагаемые результаты являются новыми и фундаментальными, имеют высокий уровень в современных исследованиях топологии интегрируемых биллиардов и их приложению к реализации интегрируемых систем в целом.

Ожидаемые результаты
Ожидается, что выполнение намеченной программы исследований позволит точнее описать класс интегрируемых биллиардов с точки зрения топологии их слоений. А именно, продвижение по темам 1-4 позволит 1) изучить топологические эффекты, возникающие в новых классах интегрируемых биллиардов 2) изучить биллиардные системы большей размерности, чем мы изучали ранее, 3) продолжить изучение топологии биллиардных книжек и получить некоторую оценку на их возможное разнообразие 4) обнаружить границы, препятствия к тому, чтобы биллиард имел некоторую топологию слоения Лиувилля и моделировал соответствующие интегрируемые системы, или же построить алгоритмы реализации соответствующих систем. В итоге мы надеемся получить лучшее представление о разнообразии введенных В.В. Ведюшкиной классов обобщенных биллиардов, а также оценить возможности интегрируемых биллиардов и их обобщений (путем добавления потенциала) в более высоких размерностях. (первый год проекта) 1) Изучение топологических свойств слоений Лиувилля и поведения траекторий следующих классов интегрируемых биллиардов: 1.1) Изучение магнитного биллиарда для плоских и топологических биллиардов, столы которых ограничены концентрическими окружностями. Построение бифуркационной диаграммы, вычисление топологических инвариантов их слоений Лиувилля и описание поведения траекторий. 1.2) Изучение топологических свойств биллиардов с "проскальзыванием" частицы на некоторое расстояние вдоль границы после удара. Случаи плоских биллиардов, ограниченных концентрическими окружностями или конфокальными эллипсами и гиперболами, а также их обобщений -- топологических биллиардов. Вычисление топологических инвариантов их слоений Лиувилля и описание поведения траекторий. 2) Изучение интегрируемых биллиардов с тремя степенями свободы. 2.1 Классификация подмножеств внутренности эллипсоида, ограниченных софокусными квадриками в трехмерном пространстве, биллиард в которых интегрируем. Нахождение топологических инвариантов (бифуркационных диаграмм и типов перестроек регуляных торов). 3) Изучение слоений Лиувилля, реализуемых интегрируемыми биллиардами на двумерных клеточных комплексах ("биллиардных книжках") малой сложности. Классификация биллиардных книжек с малым числом попарно пересекающихся дуг склейки и вычисление их инвариантов Фоменко-Цишанга. 4) Доказательство или поиск препятствий эквивалентности интегрируемых систем и биллиардов. 4.1) Реализация геодезических потоков, обладающих линейным интегралом на неориентируемых двумерных поверхностях в классе биллиардов с проскальзыванием или доказательство невозможности этого в указанном классе биллиардов. 4.2) Реализация биллиардами слоения Лиувилля с произвольным значением класса Эйлера на произвольном расслоении Зейферта типа прямого произведения (т.е. реализация любой «семьи» из седловых особенностей с гомологичными особыми окружностями, имеющими ориентируемые сепаратрисные диаграммы) или доказательство невозможности этого в указанном классе биллиардов. 4.3) Проверка, являются ли известные свойства интегрируемых систем препятствиями к реализации их слоений Лиувилля интегрируемыми биллиардами, в частности топологическая неустойчивость системы и расщепляемость по Зунгу ее особенности. (второй год проекта) 1) Изучение топологических свойств слоений Лиувилля и поведения траекторий следующих классов интегрируемых биллиардов: 1.3) Изучение топологических свойств биллиардов с "проскальзыванием" частицы на некоторое расстояние вдоль границы после удара. Случаи биллиардных книжек, состоящих из плоских столов, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами. Вычисление топологических инвариантов их слоений Лиувилля и описание поведения их траекторий. 2) Изучение интегрируемых биллиардов с тремя степенями свободы. 2.2) Изучение топологических и динамических свойств биллиарда внутри эллипсоида в поле притягивающего или отталкивающего центрального потенциала Гука. Вычисление топологических инвариантов: построение бифуркационных диаграмм, нахождение перестроек торов Лиувилля, классов гомеоморфности неособых уровней энергии, а также изучение поведения траекторий системы. 4) Доказательство или поиск препятствий эквивалентности интегрируемых систем и биллиардов. 4.4) Реализация геодезических потоков с квадратичным дополнительным интегралом на неориентируемых двумерных поверхностях в классе биллиардов с проскальзыванием или доказательство невозможности этого в указанном классе 4.5) Реализация биллиардами слоений Лиувилля с заданными комбинациями реберных инвариантов на семействах регулярных торов и классов Эйлера на соединяемых ими многообразиях Зейферта. Все предполагаемые результаты являются новыми, находятся на высоком уровне исследований и основаны на работах и вопросах ученых мирового уровня.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ


Аннотация результатов, полученных в 2020 году
1) Изучение топологических свойств слоений Лиувилля и поведения траекторий следующих классов интегрируемых биллиардов: (1.1) Были классифицированы плоские и топологические магнитные биллиарды, столы которых ограничены концентрическими окружностями. Были построены бифуркационые диаграммы магнитных биллиардов, вычислены инварианты Фоменко—Цишанга их слоений Лиувилля и описано поведение их траекторий. (1.2) Были изучены топологические свойства интегрируемых биллиардов на столах с проскальзыванием вдоль границы. Были построены примеры и серии круговых топологических биллиардов и вычислены инварианты Фоменко--Цишанга слоений Лиувилля для систем на них и на ряде софокусных (элементарных и топологических) биллиардных столах. (1.4) Проверена интегрируемость биллиарда из нового класса: движение биллиардного шара происходит в поле центрального потенциала Гука внутри эллипса, расположенного на плоскости с метрикой Минковского. В обоих случаях, притягивающего и отталкивающего потенциала, для таких систем изучена топология слоения Лиувилля: построены бифуркационные диаграммы отображения момента и определены классы послойной гомеоморфности особенностей слоения Лиувилля в ограничении на неособые изоэнергетические 3-поверхности. 2) Изучение интегрируемых биллиардов с тремя степенями свободы. (2.1) Была проведена классификация элементарных биллиардов, ограниченных софокусными квадриками в трехмерном пространстве. Были построены бифуркационные диаграммы таких биллиардов, определены виды типичных перестроек регулярных 3-торов (аналоги 3-атомов Фоменко) и описаны критические траектории. Был определен класс гомеоморфности изоэнергетической 5-поверхности системы биллиарда для разных видов элементарных биллиардов. Рассуждение не опирается на интегрируемость биллиарда, и ответ определяется классом гомеоморфности стола. 3) Изучение слоений Лиувилля, реализуемых интегрируемыми биллиардами на двумерных клеточных комплексах ("биллиардных книжках") малой сложности. Классификация биллиардных книжек с малым числом попарно пересекающихся дуг склейки и вычисление их инвариантов Фоменко-Цишанга. (3.1) Были классифицированы биллиардные книжки малой сложности, чьи плоские грани содержат фокусы софокусного семейства квадрик. Для слоений Лиувилля таких систем вычислен ряд топологических инвариантов. Получена нетривиальная нижняя оценка на модуль величины класса Эйлера многообразия Зейферта седловой особенности таких систем, и показано, что эта оценка достигается. 4) Доказательство или поиск препятствий эквивалентности интегрируемых систем и биллиардов. (4.1) Произвольный геодезический поток на проективной плоскости или бутылке Клейна, имеющий линейный по компонентам импульса дополнительный интеграл, был реализован (топологически промоделирован) подходящим топологическим круговым биллиардом с проскальзыванием. (4.2) Слоение Лиувилля, содержащее произвольное расслоение Зейферта типа прямого произведения с произвольным значением класса Эйлера на нем (т.е. имеющее подграф специального вида в своем инварианте Фоменко--Цишанга), было реализовано в классе биллиардных книжек. (4.3) Показано, что для топологической устойчивости системы биллиарда на биллиардной книжке (в отсутствие потенциала или магнитного поля) и наличия у ее слоения Лиувилля инварианта Фоменко--Цишанга достаточно гомеоморфности каждой полулокальной особенности боттовскому 3-атому интегрируемой системы. В этом случае все особые окружности данного 3-атома направлены одинаково. Показано, что интегрируемые системы, полученные добавлением потенциала (например, отталкивающего центрального потенциала Гука) или постоянного магнитного поля к подходящему интегрируемому биллиарду, могут содержать особенности, не удовлетворяющие условию нерасщепляемости Н.Т.Зунга. При этом особые окружности такой особенности могут быть направлены как одинаково, так и противоположно. 4.4*) В классе топологических биллиардов и биллиардных книжек с проскальзыванием будут реализованы геодезические потоки с квадратичным дополнительным интегралом на неориентируемых двумерных поверхностях, или будет доказана невозможность этого в указанных классах. (4.4) при реализации п.4.4 (из плана на второй год проекта) были построены примеры реализации топологическими софокусными биллиардами геодезических потоков на проективной плоскости или бутылке Клейна, имеющих квадратичный по компонентам импульса дополнительный интеграл. В течение первого года реализации Проекта В.В.Ведюшкиной была защищена докторская диссертация «Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы» по специальности «Геометрия и топология». По результатам исследований участниками проекта сделано 14 докладов на шести международных математических конференциях (в том числе, очно). Тезисы пяти докладов индексируются в РИНЦ (RSCI). Четыре работы приняты к печати в центральной математической печати (работы или их переводные версии индексируются системами Web of Science Core Collection и Scopus, 3 из 4 изданий принадлежат Q2), одна из них – уже опубликована (в журнале Russian Journal of Mathematical Physics), а другая – в Arxiv.org . Еще 4 работы готовятся к подаче в печать, их тексты доступны на странице настоящего Проекта по адресу http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php . На механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова работает регулярный семинар по теории интегрируемых биллиардов (под руководством д.ф.м.н. В.В.Ведюшкиной). В рамках этого семинара в октябре 2020 в Московском университете было проведено заседание конференции «Ломоносовские чтения-2020» https://math.msu.ru/node/1457 . Результаты проекта представлены следующими информационными ресурсами в сети Интернет: Статья в архиве: https://arxiv.org/abs/2012.05337 Статьи, опубликованные в открытых источниках: https://link.springer.com/article/10.1134/S1061920821010052 Видеозаписи ряда докладов, сделанных по результатам проекта, доступны по адресам https://drive.google.com/drive/folders/1vf8skJRkcDRojGd42ntyU7pJSlE_bqSf https://www.youtube.com/channel/UCcPFaqP7NBOyjBpD60mkPjw

 

Публикации

1. Белозеров Г.В. Описание слоения Лиувилля биллиардов в трёхмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Вып. 10. Воронеж, Воронежский государственный педагогический университет, №10, 28-29 (год публикации - 2020).

2. Белозеров Г.В. Биллиард внутри трёхосного эллипсоида с потенциалом Гука Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2021» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, Е.И. Зимакова. [Электронный ресурс] – М.: МАКС Пресс, 2021., - (год публикации - 2021).

3. Белозёров Г.В. Топологическая классификация биллиардов в трёхмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками Математический сборник, - (год публикации - 2021).

4. Ведюшкина В.В., Скворцов А.И. Топология интегрируемого биллиарда в эллипсе на плоскости Минковского с гуковским потенциалом Moscow University Mathematics Bulletin, - (год публикации - 2021).

5. Завьялов В.Н. Интегрируемый биллиард с проскальзыванием Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Вып. 10. Воронеж, Воронежский государственный педагогический университет, 10, 69-70 (год публикации - 2020).

6. Завьялов В.Н. Биллиарды с проскальзыванием реализуют ряд интегрируемых потоков на неориентируемых поверхностях Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2021» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, Е.И. Зимакова. [Электронный ресурс] – М.: МАКС Пресс, 2021., - (год публикации - 2021).

7. Кибкало В.А. Локальная гипотеза Фоменко о биллиардах и препятствия к реализации инвариантов Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. Вып. 10. Воронеж, Воронежский государственный педагогический университет, №10, 91-92 (год публикации - 2020).

8. Кибкало В.А., Фоменко А.Т., Харчева И.С. Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books Transactions of the Moscow Mathematical Society, - (год публикации - 2021).

9. Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В., Завьялов В.Н. Liouville Foliations of Topological Billiards with Slipping Russian Journal of Mathematical Physics, т. 28, 37-55 (год публикации - 2021).