Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В рамках выполнения проекта получены новые результаты по все трем заявленным направлениям. 1. Исследованы и описаны механизмы возникновения патологического поведения в гомогенных, гетерогенных и мультиплексных сетях с различными патологиями элементов сети. Разработаны различные сети взаимодействующих элементов нейронного типа, базирующихся на формализме Ходжкина-Хаксли. В качестве базовых элементов были использованы: модель Шермана, ее модификация, учитывающая дополнительный ионный канал с немонотонной характеристикой, в следствии чего демонстрирующая бистабильность между характерным пачечным режимом колебаний и устойчивым состоянием равновесия, модель нейрона пиявки для различных значений параметров, модель Хиндмарш-Роуз. Были разработаны сети, учитывающие различные типы связей между элементами, включая электрическую связь, химическую возбуждающую и химическую тормозящую связи. Также были предложены и изучены различные типы сетей: гомогенные, когда все элементы в сети одинаковы; гетерогенные, когда элементы в сети отличаются; мультиплексные, когда топология сети определяется свойствами элемента. Исследование разработанных сетей показало, что для моделей с дополнительным ионным каналом с немонотонной характеристикой ионного канала в гомогенных сетях с электрической связью возможно разрушение типичного пачечного (берстового) аттрактора, единственным устойчивым динамическим режимом в этом случае остается устойчивое состояние равновесия. Такое поведение может моделировать развитие паталогического поведения. Например возможный вариант функционирования панкреатических бета-клеток, режим пачечных колебаний в которых соответствует секреции инсулина. Разрушение пачечного аттрактора происходит в результате кризиса. Разрушения берстового аттрактора наблюдается для гомогенных сетей осцилляторов различного размера. В гетерогенных сетях с электрической связью доминирования состояния равновесия не наблюдается. При количестве элементов с бистабильностью менее 50% в сети состояние равновесия неустойчиво. В мультиплексной гетерогенной сети, где элементы с бистабильностью более активны, есть дополнительное взаимодействие посредством элементов с бистабильность, стабилизация равновесия происходи и в сетях, где элементов с бистабильностью менее 50%, достаточно иметь по 1 элементу с бистабильностью в подсетях. Учет химической связи в таких системах приводит к дестабилизации устойчивого равновесия и формированию сложных хаотических аттракторов, в том числе гомоклинических хаотических аттракторов Шильникова, для которых характерны участки во временных рядах, отвечающие патологическому поведению. Сети, базирующиеся на модели с бистабильностью, возникающей как свойство системы, (модель нейрона пиявки) показали другие результаты. Для гомогенных, гетерогенных и мультиплексных сетей с электрической связью состояние равновесия устойчиво и сосуществует с пачечным аттрактором при малой силе связи, с увеличением в результате бифуркации Андронова-Хопфа происходит его дестабилизация и устойчивым решением остается пачечный аттрактор. Учет химических связей также приводит к дестабилизации равновесия и развитию сложной хаотической динамики. Для сетей, элементы которых не имеют бистабильности, обнаружено что химическая связь может приводить к возникновению квазипериодических колебаний, их разрушению и формированию хаотических колебаний. Поглощение седло-фокусного цикла, возникшего в результате бифуркации Неймарка-Сакера, приводит к появлению дискретных аттракторов Шильникова. 2. Проведено исследование математических моделей одиночных клеток, описывающих атипичное поведение различной природы, изучены механизмы возникновения патологических динамических режимов. Проведено детальное исследование динамических режимов модели типа Ходжкина-Хаксли с дефектом коммуникации и без, локализованы области бистабильности в пространстве параметров, определены вероятности проявления сосуществующих аттракторов. Описан механизм разрушения пачечного аттрактора в модели с увеличением параметра проводимости ионного канала с немонотонной характеристикой. Исследовано пространство параметров модели. Изучена структура плоскости параметров оригинальной модели, выявлена структура формирования пачечного аттрактора типичная для бифуркации катастрофы голубого неба. Изучена плоскость параметров, отвечающих за свойства нового ионного канала. Проведено исследование типичных временных рядов, генерируемых моделями с гомоклиническими хаотическими аттракторами Шильникова, в том числе система Ресслера, связанные системы Хиндмарш-Роуз, гиперболического гиперхаоса с запаздыванием. На примере систем показано, что временные ряды имеют характерные участки, отвечающие движению фазовой траектории в окрестности седло-фокусного равновесия. Такие режимы имеют двумерные неустойчивые многообразия и характеризуются двумя положительными показателями Ляпунова. В рамках проекта исследуются сети нейронных осцилляторов, т.е. системы с высокой размерностью фазового пространства, для их исследования необходимо привлекать методы бифуркационного анализа, эффективные именно для высокоразмерных систем. Поэтому в рамках первого этапа был предложен и протестирован метод построения карт старших локальных показателей Ляпунова для ковариантных ляпуновских векторов, то есть показателей, характеризующих экспоненциальный рост или убыль ковариантных ляпуновских векторов за один шаг численного счёта. Совокупность этих показателей в некотором смысле можно рассматривать как вектор нелинейной проекции аттрактора из многомерного фазового пространства в пространство значений этих показателей. Каждый из этих показателей соответствует одному из «обычных» показателей Ляпунова (средних показателей, вычисленных для аттрактора в целом) и поэтому они естественным образом упорядочены в соответствии с убыванием их значимости. Поэтому возникает естественная возможность получения низкоразмерной проекции — наиболее удобно рассматривать подпространство двух старших показателей. На соответствующей двумерной гистограмме области наибольших частот будут характеризовать свойства растяжения или сжатия в многомерном фазовом пространстве, наиболее часто посещаемые траекторией. Качественное преобразование вида распределения с изменением параметров свидетельствует о бифуркациях, которые претерпевает аттрактор. Наличие нескольких областей с высокой частотой говорит о наличии вложенных в аттрактор инвариантных подмножеств которые поочерёдно притягивают к себе траектории. Высокий максимум частоты около нуля на достаточно широком пьедестале говорит о режиме перемежаемости. В рамках реализации первого этапа проекта предложен и протестирован метод вычисления частичных показателей Ляпунова для вложенных в аттрактор вырожденных подмножеств. В его основе вычисление вдоль траектории на аттракторе ковариантных ляпуновских векторов. Точки, в которых углы между какими-то из векторов оказываются исчезающе малыми, находятся вблизи вложенных в аттрактор вырожденных инвариантных подмножеств, т.е. с другой, по сравнению с аттрактором в целом, структурой растягивающихся и сжимающихся многообразий. Чтобы охарактеризовать свойства этих подмножеств, нужно накапливать и усреднять локальные показатели Ляпунова в этих точках. Строя зависимость таких частичных показателей от параметров, можно выявить бифуркационные трансформации таких подмножеств. Ближайшим аналогом этого подхода является вычисление вложенных в аттрактор периодических орбит и отслеживание их мультипликаторов, что для систем с высокой размерностью фазового пространства представляется крайне затруднительным. Проведено исследование отображений, описывающих модели нейронов: модель Киалво, модель Рулькова, модель Некоркина-Курбажа. Исследовано пространство параметров моделей с помощью анализа спектра показателей Ляпунова. Локализованы области с инвариантной кривой, хаотическим и гиперхаотическим поведением. Проиллюстрированы аттракторы с характерными временными рядами, спайковые и пачечные колебания. Обнаружены дискретные аттракторы Шильникова, выделены участки временных реализаций, характерные для такого типа аттракторов. Выявлены хаотические аттракторы, характеризующиеся вторым показателем Ляпунова близким к нулю, предполагается, что такой дискретный аттрактор может быть вложен в поток, что делает его наиболее реалистичным для моделирования динамики клетки. Определены области в пространстве параметров, где возможна мультистабильность между состоянием равновесия и пачечным аттрактором. 3. Был выполнен анализ стандартных задач машинного обучения искусственных нейронных сетей. Рассмотрены различные архитектуры и способы обучения. Предложено два способа построения нейронной сети соответствующей осцилляционной модели физиологического нейрона: обучение сети предсказывать динамический режим (обучение в размеченном пространстве параметров) и обучение сети воспроизводить динамику исходного осциллятора, заданного как систему обыкновенных дифференциальных уравнений (обучение подстройкой под численный метод). Создаваемая по второму методу сеть математически описывается как рекуррентное отображение (система с дискретным временем). Её можно рассматривать как универсальную модель динамической системы в том смысле, что одна и та же по структуре сеть может быть обучена воспроизводить динамику совершенно различных динамических систем. Обучение осуществляется не на основе сгенерированных временных рядов, а с использованием исходного уравнения для различных значений параметров. Для анализа эффективности подхода обучение сети производилось на модельных системах, таких как системы Лоренца и Рёсслера. Проведено тестирование модели нейрона Хиндмарша-Роуза . Нейросетевая модель продемонстрировала хорошую способность воспроизводить структуру аттракторов, представленную в виде фазовых портретов, спектры Фурье и показателей Ляпунова, а также бифуркационные диаграммы. Для модели нейрона воспроизведены характерные спайковые и пачечные аттракторы. По результатам реализации первого этапа проекта опубликованы 3 статьи, 5 тезисов докладов, подготовлены 3 препринта, один из которых опубликован на arXiv.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В рамках выполнения второго этапа получены следующие результаты по каждому из направлений исследований: 1. Исследование гомогенных и гетерогенных сетей с различными патологиями. Проведено исследование особенностей формирования аттракторов Шильникова в системах взаимодействующих нейронных моделей с различными типами связей. Рассмотрены три типа связей : электрическая, химическая возбуждающая, химическая тормозящая. Возникновение аттрактора Шильникова соответствует поглощению седло-фокусного цикла с двумерным неустойчивым многообразием хаотическим аттрактором, при этом аттрактор становится гиперхаотическим. На временных реализациях такого колебательного режима появляются участки, на которых траектория, попадающая в близкую окрестность седло-фокусного цикла раскручивается от этого цикла. Такие участки в некоторых ситуациях могут формировать пачечные колебания, в некоторых формируют паттерны нетипичного поведения, которые могут быть интерпретированы как отклонение от нормального ритма функционирования клетки. Были проведены численные эксперименты для двух нейронных моделей, базирующихся на формализме Ходжкина-Хаксли. В ансамблях нейронных моделей с электрической и двумя химическими связями продемонстрирована возможность формирования устойчивого тора и его разрушение, а также его трансформация в гиперхаос, которая ассоциируется с возникновение аттракторов Шильникова. Численные эксперименты для различных значений параметров подсистем показали, что максимальные области гиперхаоса наблюдаются для пачечных аттракторов с большим количеством спайков в пачке. Изменение типа пачечного колебания общую структуру устройства пространства параметров не изменяет. Проведено исследование особенностей временных рядов, генерируемых моделями. На временных рядах наблюдаются характерные паттерны, соответствующие раскрутке траектории из окрестности седло-фокусного цикла. Предложена методика анализа траекторий на наличие таких паттернов. В качестве характеристик предлагается использовать количество попаданий траектории в окрестность седло-фокуса, а также длительность времени раскрутки. По данным параметрам можно проводить оценку частотных и вероятностных характеристик проявления патологического тренда во временном ряде. Данная методика может быть применена к экспериментальным временным рядам. Разработаны и исследованы гомогенные, гетерогенные и мультиплексные сети моделей типа Ходжкина-Хаксли с бистабильностью и без со звездчатой топологией. Было проведено исследование и сравнение с особенностями динамики сетей с локальной связью, когда связаны только соседние элементы, а также с сетью с глобальной связью. Были исследованы сети с различными типами связей: электрическая, химическая возбуждающая, химическая тормозящая. Показано, что гомогенные бистабильные сети всех типов топологии имеют устойчивое состояние равновесия при любой силе связи. Анализ вероятностных характеристик в гомогенных сетях показал, что в некотором интервале по коэффициенту связи наблюдается разрушение автоколебательного аттрактора и доминирование устойчивого состояния равновесия. При этом изменение топологии сети на звездчатую приводит к расширению этого интервала. Таким образом, переход к звездчатой сети дает увеличение интервала по связи, соответствующего патологического поведению, отсутствию колебательной динамики. Получены все возможные топологии гетерогенных локальных, глобальных и звездчатых сетей, соответствующих минимальной звездчатой сети. Для гетерогенных сетей при количестве элементов с бистабильностью составляющих более 50% возможно наблюдать стабилизацию устойчивого состояния равновесия. Для сети, состоящей из четырех элементов (минимальная звездчатая сеть), такая ситуация отвечает случаю, когда три элемента характеризуются бистабильностью, а один нет. Для глобальной и локальной сетей данному условию удовлетворяет только одна топология сети, в силу симметрии таких сетей элемент без бистабильности может находиться в любом узле. Для звездчатой сети возможны две различные конфигурации: когда элемент без бистабильности находится в центре сети, или когда элемент находится на периферии. Показано, что для различных топологий звездчатых сетей порог стабилизации различен, большая связь требуется для сети, у которой элемент без бистабильности находится на периферии. Порог стабилизации для звездчатой сети с центральным элементом без патологии ниже, чем для локальной и глобальной сети. https://nnov.hse.ru/bipm/tmd/news/499116683.html 2. Разработка математических моделей одиночных нейронов, описывающих патологическое поведение. Разработана математическая модель типа Ходжкина-Хаксли с бистабильностью между состоянием равновесия и пачечным аттрактором с монотонной характеристикой вероятности открытия патологического ионного канала. Бистабильное устойчивое состояние равновесия соответствует подпороговому состояния равновесия. Разработаны и исследованы математические модели нейронов в форме отображений, полученные через дискретизацию потоковой модели методом Эйлера. Исследована система с седло-фокусным состоянием равновесия с периодическим импульсным воздействием при изменении направления внешней силы. Показано, что при определенном подборе параметров внешнего сигнала в системе может быть реализован дискретный хаотический аттрактор Шильникова. Изменение направления внешнего сигнала приводит к его разрушению. Показана возможность формирования сингулярного хаотического аттрактора Шильникова в нейронной модели - отображении Киалво. Сингулярный хаотический аттрактор Шильникова можно классифицировать как особый тип динамического поведения, который ассоциируется с формирования особых паттернов на временных реализациях, соответствующих раскрутке фазовой траектории из окрестности неустойчивого фокуса. Показаны различные типы аттракторов Шильникова, возникающие на базе различных инвариантных кривых, описаны механизмы их формирования и разрушения. Предложены динамические характеристики паттернов на временных реализациях, проведена их оценка. Описанные паттерны на временных реализация приводят к разрушению однородности временных реализаций и формированию структур, характерных для экспериментальных временных рядов, получаемых в результате ЭЭГ. 3. Машинное обучение и анализ простейших сетей физиологических нейронов. Выполнен поиск архитектуры нейронной сети прямого распространения, которая функционируя после обучения в итерационном режиме, воспроизводит динамику физиологических нейронных осцилляторов типа Ходжкина-Хаксли двух типов: исходного и модифицированного, то есть с дефектом коммуникации в виде ионного канала с немонотонной характеристикой его открытия. Была разработана архитектура такой сети, в основу которой положена идея моделирования каждой переменной системы в виде отдельной подсети. Управляющие параметры и остальные переменные подмешиваются к подсети через дополнительный каскад в виде одного нейронного слоя. Организованная таким образом нейронная сеть показала высокую точность воспроизведения моделируемого физиологического нейрона. Построенная нейронная сеть продемонстрировала способность обнаруживать сосуществующие динамические режимы, не предъявленные ей в процессе обучения, будучи обученной на отрезках траекторий, отвечающих только периодическим колебаниям, нейросетевая динамическая система демонстрирует неподвижную точку, точно совпадающую по расположению в фазовом пространстве с неподвижной точкой исходной системы. https://arxiv.org/abs/2203.14138

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В рамках выполнения третьего этапа получены следующие результаты по каждому из направлений исследований: 1. Исследование гомогенных и гетерогенных сетей с различными патологиями. Разработаны и исследованы гомогенные, гетерогенные и мультиплексные сети моделей типа Ходжкина-Хаксли с электрической связью, в которых возможно проявление бистабильного устойчивого состояния равновесия, являющегося проявлением отклонения от нормального функционирования модели. Для гомогенных сетей осцилляторов с бистабильностью показано, что состояние равновесия всегда устойчиво в таких сетях, при этом в результате взаимодействия возможно разрушение сосуществующего колебательного пачечного аттрактора и доминирование устойчивого состояния равновесия. Интервал по параметру связи, где разрушается колебательный аттрактор сужается для моделей с монотонной характеристикой открытия дополнительного ионного канала, и при этом расширяется для модели, учитывающей два дополнительных ионных канала с монотонной и немонотонной характеристикой, что приводит к тому, что при слабом взаимодействии в сетях не будет наблюдаться колебательной активности, необходимо достижение определенного порога по связи для возбуждения пачечной колебательной активности в сети. В гетерогенных сетях рассматриваемых моделей типа Ходжкина-Хаксли с глобальной, однородной локальной связями возможна стабилизация устойчивого состояния равновесия при наличии в сети более 50% узлов с бистабильностью. Наиболее низкий порог стабилизации наблюдается в сети, состоящей из двух типов осцилляторов с единственным пачечным аттрактором и бистабильной моделью, учитывающей дополнительны ионный канал с монотонной характеристикой. Наиболее высокий порог стабилизации состояния равновесия демонстрирует сеть, состоящая из различных типов бистабильных моделей. Таким образом, модель типа Ходжкина-Хаксли, учитывающая дополнительный ионный канал с монотонной характеристикой его открытия, наиболее просто проявляет атипичное поведении в сети; чем более разнородная сеть, тем сложнее в ней проявиться устойчивому состоянию равновесия. Для мультиплексных гетерогенных сетей, в которых имеется два кластера, взаимодействие внутри которых равноправное, а между ними коммуницируют только элементы с бистабильностью, возможно появление устойчивого состояния равновесия в ситуации, когда каждый кластер содержит хотя бы по одному элементу с бистабильностью. Вероятностные характеристики проявления патологического устойчивого состояния равновесия достаточно малы, порог стабилизации увеличивается при уменьшении количества элементов с бистабильностью в сети. Продемонстрированы различные гиперхаотические аттракторы Шильникова в сетях с химическим взаимодействием, приводящим к возникновению синфазной синхронизации подсистем. Продемонстрирована универсальность данного эффекта для различны параметров моделей, отвечающих различным типам колебательной активности одиночных подсистем: спайковые колебания пачечный аттракторы тип square-wave bursting, plateu bursting и другие более сложные формы аттракторов. 2. Разработка математических моделей одиночных нейронов, описывающих патологическое поведение. Проведено детальное исследование двух моделей типа Ходжкина-Хаксли с дополнительными ионными каналами, характеризующиеся монотонной и немонотонной функцией вероятности его открытия. Локализованы области бистабильности между устойчивым состоянием равновесия, стабилизирующемся в результате учета дополнительного ионного канала, и пачечной колебательной активностью. Описаны бифуркационные механизмы возникновения бистабильности и ее разрушения, связанные с суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа, а также кризисом аттрактором, в результате пересечения его с быстрым многообразием. Проведена оценка вероятность попадания на состояние равновесия из случайных начальных условий в окрестности аттракторов, для данных моделей она составляет 10-15%. Разработаны дискретные модели на основе системы Хиндмарша-Роуза и осциллятора Фитцхью-Нагумо. Показана возможность возникновения в отображениях сложной динамики через разрушение инвариантной кривой. Локализованы области в пространстве параметров, перспективные для поиска и развития дискретного аттрактора Шильникова. Предложены дополнительные динамические характеристики, позволяющие отследить формирование паттернов атипичной колебательной активности на дискретных временных рядах, генерируемых моделями нейронов в виде отображений. Формирование паттернов происходит в результате появления гомоклиники к неустойчивому фокусу, при этом паттерны могут проявляться хорошо на пороге гомоклинической бифуркации и разрушаться в случае существования гомоклинической орбиты. В связи с чем, критерий, определяющий появление гомоклиники не подходит для идентификации возникновения паттернов атипичной колебательной активности. В рамках проекта предложены и апробированы характеристики, отслеживающие частоту попадания траектории в малую окрестность неустойчивого фокуса, раскрутку траектории из окрестности неустойчивого фокуса, а также классифицирующие их по длительность. Получена картина динамических режимов для неавтономных системы Хиндмраша-Роуза и модели Шермана-Ринцеля, с использованием периодического импульсного воздействия. Показано, что импульсное воздействие приводит к формированию многомерного хаоса – гиперхаоса. Продемонстрирован сценарий возникновения гиперхаоса, ассоциирующийся с поглощение седло-фокусных циклов различного периода. 3. Машинное обучение и анализ простейших сетей физиологических нейронов. Построена нейросетевая динамическая система, моделирующая динамику связанных физиологических нейронов, как с наличием так и с отсутствием патологий. Разработанная модель представляет собой систему двух связанных нейросетевых отображений, где каждое отображение обучено на данных одиночного физиологического нейрона. Для создания одиночного нейросетевого отображения была взята за основу архитектура, разработанная на предыдущем этапе проекта. Была выполнена модификация этой архитектуры, с целью исключить влияние «неудачной» инициализаций весовых коэффициентов нейронной сети приводящей к расходимости. Предложен способ введения связи между одиночными нейросетевыми отображениями, что позволило без дополнительного обучения одиночных нейросетевых отображений смоделировать динамику связанных физиологических нейронов. Эффективность работы нейросетевой модели продемонстрирована на примере гомогенных и гетерогенных минимальных ансамблей.