Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1а) Дана классификация 2+1-мерных интегрируемых систем с нелокальностью типа ''intermediate long wave''. Установлены связи полученных систем с 2+1-мерной системой типа ''waterbag'', а также дифференциально-разностными уравнениями Дэви-Стюартсона. Размерные редукции интегрируемых систем построенных в данной работе дают дисперсионную регуляризацию гидродинамических уравнений описывающих распространение длинных волн в сдвиговых течениях с кусочно-линейным профилем скоростей (при специальных значениях завихренности). По результатам исследований подготовлена статья "Integrable systems of the intermediate long wave type in 2+1 dimensions", отправлена в журнал Nonlinearity. 1б) Геометрия Эйнштейна-Вейля представляет собой тройку (D, g, w) где D является симметричной связностью, g – конформной структурой, а w – ковектором такими, что: (i) Связность D сохраняет конформный класс метрики g, т.е. Dg=wg. (ii) Бесследовая часть симметризованного тензора Риччи связности D обращается в ноль. Трехмерные структуры Эйнштейна-Вейля естественным образом возникают на решениях трехмерных бездисперсионных уравнений второго порядка. В этом контексте, метрика g совпадает с характеристической конформной структурой и, тем самым, однозначно определяется уравнением. Напротив, ковектор w является более загадочным объектом, который определяется только из полных уравнений Эйнштейна-Вейля. Показано, что для уравнений второго порядка общего вида (например, для всех уравнений которые не принадлежат классу Монжа-Ампера), ковектор w также однозначно определяется самим уравнением, давая тем самым эффективный тест бездисперсионной интегрируемости. Получена новая явная формула для бездисперсионной пары Лакса в терминах метрики g и ковектора w. Получены частичные классификационные результаты уравнений с характеристической конформной структурой Эйнштейна-Вейля. Сформулирована гипотеза жесткости, согласно которой у любого уравнения со свойством Эйнштейна-Вейля, всякая зависимость от первых джетов может быть устранена путем подходящего контактного преобразования. По результатам исследований подготовлена статья "Second-order PDEs in 3D with Einstein-Weyl conformal structure", отправлена в журнал Annales Henri Poincare. 2. Одной из целей данного проекта является разработка алгебраического метода исследования интегрируемых дифференциально-разностных цепочек с одной непрерывной и двумя дискретными независимыми переменными. Основная идея базируется на гипотезе о том, что любое интегрируемое уравнение этого типа допускает бесконечную последовательность редукций, которые являются интегрируемыми по Дарбу системами дифференциально-разностных уравнений с двумя независимыми переменными. Для проверки интегрируемости по Дарбу двумерной системы уравнений, полученной в результате редукции авторы используют характеристические алгебры Ли – Райнхарта. Гипотеза подтверждается интегрируемыми трехмерными цепочками из списка, приведенного Ферапонтовым и др. (2015 Int. Math. Res. Not. 2015 4933). Для этих цепочек найдены требуемые редукции. Описаны характеристические алгебры, найдены полные наборы интегралов в случае редукции небольших порядков. Тем самым доказана интегрируемость по Дарбу полученных редукций, что подтверждает сформулированную выше гипотезу. Поэтому наличие бесконечного числа интегрируемых по Дарбу редукций можно рекомендовать в качестве классификационного критерия интегрируемых уравнений в 3D. Результаты опубликованы в работе [Habibullin I.T., Khakimova A.R., Characteristic Lie algebras of integrable differential-difference equations in 3D, J. Phys. A: Math. Theor., 54:29 (2021), 295202]. 3. Исследуются системы дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа, интегрируемые по Дарбу. Обсуждается понятие полного набора независимых характеристических интегралов, лежащее в основе интегрируемости по Дарбу. Обнаружена тесная связь между интегралами и характеристическими алгебрами Ли-Райнхарта системы. Доказано, что система уравнений интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда ее характеристические алгебры в обоих направлениях конечномерны. Отличительная особенность полудискретных уравнений состоит в том, что задача поиска интегралов по дискретному и непрерывному характеристическому направлениям имеет разную степень сложности. Интегралы по непрерывному направлению ищутся вполне аналогично случаю систем дифференциальных уравнений, сведением к некоторой системе линейных дифференциальных уравнений, связанных с характеристической алгеброй [A.V. Zhiber, M.N. Kuznetsova, Integrals and characteristic Lie rings of semi-discrete systems of equations, Ufa Mathematical Journal, 13:2 (2021), pp.22-32] . В то время как, задача поиска интегралов по дискретному направлению сводится к некоторой системе функциональных уравнений. В рамках проекта предложен способ сведения этих функциональных уравнений к дифференциальным, основанный на некотором обобщении понятия характеристической алгебры на дискретный случай [I.T. Habibullin, M.N. Kuznetsova, An algebraic criterion of the Darboux integrability of differential-difference equations and systems, J. Phys. A: Math. Theor., 54:50 (2021), 505201]. В упомянутых работах доказано, что для интегрируемости по Дарбу системы полудискретных уравнений гиперболического типа необходимо и достаточно, чтобы алгебры по обоим характеристическим направлениям имели конечную размерность. 4. Проведена классификация интегрируемых дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа. Получен список таких уравнений, у которых высшая симметрия по непрерывному направлению является интегрируемым уравнением типа Кортевега-де Вриза. В одной из последних работ исполнителей проекта было показано, что у таких уравнений должна быть определенная структура, а именно, сепаранта должна быть постоянной. В настоящее время проводится окончательная обработка полученного списка, выделение интегрируемых по Дарбу уравнений и подготовка материалов к опубликованию. Было подробно исследовано одно из уравнений списка, а именно полудискретная версия уравнения Цицейки, полученная ранее в статье [R.N. Garifullin, I.T. Habibullin, J. Phys. A: Math. Theor., 54:20 (2021), 205201]. Для этого уравнения построены различные представления Лакса: в матричном виде и в виде скалярных операторов, как по степеням оператора дифференцирования, так и по степеням оператора сдвига. Эти представления Лакса, в отличие от аналогичных для уравнений типа синус-Гордона, имеют третий порядок. Для решения этой задачи было использовано известное преобразование типа Миуры, связывающее высшую симметрию этого уравнения с уравнением Каупа-Купершмидта. Результаты опубликованы в работе [Garifullin R.N., On integrability of semi-discrete Tzitzeica equation, Ufa Mathematical Journal, 13:2 (2021), pp. 15-21].

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1. Макроскопическая динамика солитонного газа может быть аналитически описана при помощи термодинамического предела уравнений Уизема, в результате чего возникает интегро-дифференциальное кинетическое уравнение на функцию плотности состояний. После подходящего дельта-функционального анзаца, кинетическое уравнение солитонного газа редуцируется к недиагонализуемой системе гидродинамического типа, матрица скоростей которой состоит из набора Жордановых блоков размера 2х2. В работе установлена интегрируемость этой системы, построена иерархия коммутирующих потоков, а также получено ее общее решение. Основным результатом является обобщение предложенного Царевым метода годографа на недиагонализуемые квазилинейные системы с нетривиальной Жордановой структурой матрицы скоростей. (E.V. Ferapontov, M.V. Pavlov, Kinetic equation for soliton gas: integrable reductions, Journal of Nonlinear Science 32 (2022) no. 2, Paper No. 26, 22 pp; https://link.springer.com/article/10.1007/s00332-022-09782-0.) Применяя метод групповой редукции к SL(2, R)-инвариантным уравнениям третьего порядка, получен класс уравнений Абеля, общее решение которых параметризуется гипергеометрическими функциями. Частный случай этой конструкции дает общее параметрическое решение уравнения Кудашева, которое возникает при асимптотическом анализе осцилляционной (Уиземовской) зоны в задаче Гуревича-Питаевского. В результате получен первый член асимптотического разложения этого решения, что дополняет и расширяет имеющиеся в этом направлении результаты Гарифуллина, Сулейманова, Тарханова и Шавлукова. Солитонный предел полученной конструкции дает эволюцию первого солитона в развивающейся дисперсионной ударной волне. (S. Opanasenko, E.V. Ferapontov, Linearisable Abel equations and the Gurevich-Pitaevskii problem, to appear in Studies in Appl. Maths. (2022); https://arxiv.org/abs/2202.07512.) 2. В отчетном году рассматривались нелинейные цепочки с одной непрерывной и двумя дискретными переменными. Проводилась классификация таких цепочек с линейным вхождением производных. Доказано утверждение, что в интегрируемом случае правая часть цепочки является квазимногочленом от трех динамических переменных с коэффициентами, зависящими от дискретной производной динамической переменной. Как показывают известные примеры, характеристический полином, определяющий этот квазимногочлен, может иметь порядки два или три. В рамках проекта подробно исследован случай, когда характеристический полином имеет степень два и его корни различны. Доказано, что в этом классе есть только одна интегрируемая цепочка. Проиллюстрировано на уровне конкретного примера, как использовать такие редукции для построения локализованных частных решений исходной трехмерной цепочки. (М.Н. Кузнецова, И.Т. Хабибуллин, А.Р. Хакимова, К задаче о классификации интегрируемых цепочек с тремя независимыми переменными, послана в журнал ТМФ) Предъявлен алгебраический критерий интегрируемости в смысле Дарбу системы дискретных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными, который утверждает, что для интегрируемости по Дарбу системы указанного типа необходимо и достаточно, чтобы характеристические алгебры по обоим направлениям имели конечную размерность. С использованием этого утверждения исследованы наиболее известные интегрируемые нелинейные цепочки с тремя независимыми переменными. А именно, уравнение Хироты-Мивы, Y-система и решеточное уравнение КП. Для них найдены иерархии редукций в виде конечно-полевых систем дискретных уравнений. Доказано, что представители этих иерархий малых размерностей N=1,2,3 являются интегрируемыми в смысле Дарбу. Для этих систем дано описание характеристических алгебр Ли-Райнхарта, предъявлены полные наборы характеристических интегралов. (И.Т. Хабибуллин, А.Р. Хакимова, Интегралы и характеристические алгебры систем дискретных уравнений на прямоугольном графе, ТМФ, 213:2 (2022), 320-346; https://doi.org/10.4213/tmf10296) 3. В работе [V.E. Adler, M.P. Kolesnikov. Reductions of the non-Abelian Toda lattice and analogs of Painlev\'e III equations. J. Math. Phys. 63, 103504 (2022); https://doi.org/10.1063/5.0091939] изучена нестандартная редукция неабелевой двумерной цепочки Тоды. В интегрируемых моделях, стационарные уравнения для высших симметрий служат одним из основных источников редукций, совместных с динамикой. Мы применяем этот метод к неабелевой двумерной цепочке Тоды. Показано, что уже стационар простейшего из высших потоков даёт нетривиальную неавтономную связь, редуцирующую цепочку Тоды к неабелевому аналогу уравнения Максвелла-Блоха с накачкой. Сдвиг по номеру в цепочке Тоды интерпретируется, как автопреобразование Бэклунда, действующее на решениях этой системы. Дальнейшая автомодельная редукция приводит к неабелевому аналогу уравнения Пенлеве P_3. В работе [V.E. Adler. Bogoyavlensky lattices and generalized Catalan numbers. Подано в Russian J. of Math. Phys. (https://arxiv.org/abs/2202.02555)] исследована задача о распаде единичной ступеньки для цепочек Богоявленского. Она напоминает задачу Гуревича--Питаевского о ступеньке для уравнения КдФ, но оказывается точно-решаемой, так как благодаря ограничению на полупрямую динамика линеаризуется. Ответ записывается в терминах обобщённых гипергеометрических функций, которые служат экспоненциальными производящими функциями для обобщённых чисел Каталана; это можно доказать, используя известный в комбинаторике результат о том, что обобщённые определители Ханкеля для этих чисел равны 1. Другой способ основан на неавтономной симметрийной редукции, согласованной с динамикой и сводящей цепочку к конечномерной системе; это позволяет получить ответ для более общего конечно-параметрического семейства начальных данных. 4. Проведена частичная классификация полудискретных интегрируемых нелинейных уравнений гиперболического типа, у которых минимальные высшие симметрии в непрерывном и дискретном направлении имеют порядок пять. В рамках этого исследования найдены два новых S интегрируемых уравнения. Одно из которых является полудискретным аналогом уравнения Цицейки. Следует отметить, что симметрия по дискретному направлению одного из найденных уравнений представляет собой новый пример интегрируемой цепочки типа Нариты-Ито-Богоявленского. Кроме того, найден класс уравнений интегрируемых в смысле Дарбу. Список полудискретных интегрируемых уравнений гиперболического типа, у которых высшие симметрии в непрерывном и дискретном направлении имеют порядок три приведен в работе [Р.Н. Гарифуллин, Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка. http://arxiv.org/abs/2212.02063.] 5. В рамках проекта сделан важный шаг на пути к завершению классификации типичных с точки зрения теории катастроф особенностей решений одномерных систем гидродинамического типа. Подобные исследования ведутся с 1990-х годов как в России, так и за рубежом, хотя идейно были предсказаны еще Б. Риманом, который фактически нашел простейшую особенность типа сборки, указав на образование ударных волн в решениях уравнения Хопфа с гладкими начальными данными. В работе [Б.И. Сулейманов, А.М. Шавлуков, О наследовании решениями уравнений движения изоэнтропического газа типичных особенностей решений линейного волнового уравнения, Матем. заметки, 112:4 (2022), 625-640, https://doi.org/10.4213/mzm13583] описана особенность типа сечения гиперболической омбилики, характерная для решений системы уравнений одномерного изоэнтропического газа для бесконечно дифференцируемой функции давления.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
1. Разработан и протестирован алгебраический метод классификации нелинейных интегрируемых трехмерных дифференциально-разностных уравнений. Выполнена работа по описанию интегрируемых нелинейных цепочек с тремя независимыми переменными вида u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+f(u^{j+1}_{n},u^{j}_{n},u^{j}_{n+1},u^{j-1}_{n+1}) по признаку наличия иерархии редукций, интегрируемых в смысле Дарбу. В основе классификационного алгоритма лежит утверждение, доказанное участниками проекта, что характеристические алгебры интегрируемых по Дарбу систем дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа имеют конечную размерность. В работе использована характеристическая алгебра по направлению x, структура которой для данного класса моделей определяется характеристическим полиномом P(λ), степень которого для известных примеров не превосходит 3. В отчетном году рассмотрен случай когда полином имеет вид P(λ)=λ^2. В этом случае классификационная задача сводится к отысканию восьми неизвестных функций одной переменной. В результате классификации получен достаточно узкий класс претендентов на интегрируемость, зависящих от нескольких постоянных параметров требующих дальнейшего уточнения. При этом все известные интегрируемые представители этого класса цепочек при классификации нашлись, ничего не было потеряно. Результаты исследования опубликованы в работе [И. Т. Хабибуллин, А. Р. Хакимова, “О классификации нелинейных интегрируемых трехмерных цепочек при помощи характеристических алгебр Ли”, ТМФ, 217:1 (2023), 142–178, https://doi.org/10.4213/tmf10513]. 2. Предложен алгоритм построения локализованных частных решений уравнений с тремя независимыми переменными вида u^j_{n+1,x} = F(u^j_{n,x}, u^{j+1}_n, u^j_n, u^j_{n+1}, u^{j-1}_{n+1}) при помощи интегрируемых в смысле Дарбу редукций. В качестве приложения построены локализованные частные решения для нескольких интегрируемых трехмерных цепочек. Результаты представлены в работе [М. Н. Кузнецова, Построение локализованных частных решений цепочек с тремя независимыми переменными, ТМФ, 216:2 (2023), 291–301, https://doi.org/10.4213/tmf10496] 3. В рамках проекта получено описание однокомпонентных дисперсионных редукций системы Михалева (с дисперсионными членами любого порядка). Задача сведена к нахождению спектра некоторого линейного дифференциального оператора второго порядка действующего на пространстве джетов, получены бесконечные серии собственных значений, а также соответствующие им редукции. Построены примеры, в которых ряды из дисперсионных членов явно суммируются, приводя к редукциям типа Камассы-Холма. Изучены двухкомпонентные дисперсионные редукции системы Михалева, в частности, получена полная классификация таких редукций с дисперсионными членами порядка не выше третьего. Показано отсутствие нетривиальных дисперсионных редукций для бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили, что подтверждает наблюдение о том, что наличие таких редукций является специфическим свойством слабо-нелинейных систем (к классу которых как раз и принадлежит система Михалева). Результаты изложены в статье [E.V. Ferapontov, V.S. Novikov, I. Roustemoglou, Higher-order reductions of the Mikhalev system, (2023); arXiv:2310.20528]. 4. Участниками проекта построен Гамильтонов формализм систем гидродинамического типа с нетривиальной Жордановой структурой матрицы скоростей. Показано, что необходимым условием Гамильтоновости является слабая нелинейность системы. Построен локальный Гамильтонов формализм слабо-нелинейных систем описывающих дельта-функциональные редукции кинетического уравнения солитонного газа, для всех стандартных моделей таких как КдФ, синус-Гордон, нелинейный Шредингер, Либ-Линигер и т. д. Получены условия на ядро кинетического уравнения солитонного газа, которые являются необходимыми и достаточными для наличия локального Гамильтонова формализма. Результаты доступны по ссылке [P. Vergallo, E.V. Ferapontov, Hamiltonian systems of Jordan block type: delta-functional reductions of the kinetic equation for soliton gas, (2023); arXiv:2212.01413v3]. 5. Проведено исследование, на примерах уравнения Кортевега--де Фриза и цепочки Вольтерры, конечномерных редукций, связанных со стационарными уравнениями для линейной комбинации высших симметрий и симметрий из некоммутативной подалгебры [V. E. Adler, M. P. Kolesnikov; Non-autonomous reductions of the KdV equation and multi-component analogs of the Painlevé equations P_34 and P_3. J. Math. Phys. 2023; 64 (10): 101505, https://doi.org/10.1063/5.0156409], [V.E. Adler. Negative flows and non-autonomous reductions of the Volterra lattice, https://doi.org/10.48550/arXiv.2307.08127]. Разработанная техника допускает обобщения и на другие интегрируемые уравнения. Изучаемый класс связей является более общим, чем уравнения Новикова, использующие только высшие симметрии. На основе анализа рекуррентных соотношений для симметрий, предложена процедура сведения таких редукций к неавтономным динамическим системам (непрерывным в случае КдФ, разностным в случае цепочки Вольтерры). В отличие от уравнений Новикова, эти системы не являются интегрируемыми по Лиувиллю, но сохраняют свойство Пенлеве. Показано, что удобный выбор переменных, позволяющий единообразно выписывать системы произвольной размерности, связан с переходом от высших симметрий к негативным, которые определяются при помощи обращения оператора рекурсии. Для цепочки Вольтерры, негативная симметрия выписана впервые. Также установлена связь с неавтономными аналогами системы Гарнье. Для полученных систем выписаны изомонодромные представления Лакса, в которых переход от высших симметрий к негативным отвечает переходу от многочленов по спектральному параметру к полюсному разложению. Также вычислены преобразования Дарбу--Бэклунда, сдвигающие параметры систем и описана их групповая структура. 6. Обоснованы формальные асимптотики, описывающие типичные провальные особенности сборки квазиклассических приближений к решениям двух вариантов интегрируемого нелинейного уравнения Шрёдингера −iεΨ'_t = ε^2 Ψ''_{xx} ±2|Ψ|^2 Ψ, где ε --- малый параметр. К данному уравнению в бездисперсионном пределе сводятся гиперболическая система уравнений мелкой воды (знак минус) и эллиптическая система опрокинутой мелкой воды (знак плюс). Решения канонического уравнения катастрофы типа сборки U^3+λ_1 U=ξ-λ_2 в главном порядке задают решения исходных гидродинамических систем. Полученные результаты оформлены в виде статьи [C.H. Мелихов, Б.И. Сулейманов, А.М. Шавлуков, Типичные провальные асимптотики квазиклассических приближений к решениям нелинейного уравнения Шредингера; 2023] и направлены в журнал "Дифференциальные уравнения", препринт доступен на https://arxiv.org/abs/2311.09845. 7. В ходе решения задачи классификации полудискретных уравнений гиперболического типа у которых непрерывная симметрия является эволюционным уравнением 5-го порядка с постоянной сепарантой в отчетном году были найдены два новых интегрируемых уравнения. Найденные уравнения являются интегрируемыми дикретизациями знаменитого уравнения Цицейки. Этот результат является неожиданным, поскольку ранее считалось, что у уравнения Цицейки не существует полудискретных дискретизаций. Для одного из найденных уравнений предъявлено представление Лакса с использованием операторов третьего порядка. Результаты представлены в работе [Р.Н. Гарифуллин, Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий пятого порядка. arXiv:submit/5266296].