Аннотация результатов, полученных в 2021 году
1 Построены равномерные асимптотические формулы для решения задач рассеяния для двумерного уравнения Шредингера. В случае оператора Шредингера с потенциалом в виде "шапочки" асимптотика волновой функции глобально выражена в параметрической форме через функцию Пирси сложных аргументов, причем в качестве параметров в соответствующих формулах выступают координаты на подходящих лагранжевых многообразиях. 2 Получены конструктивные равномерные формулы в виде специальных функций для канонического оператора Маслова в окрестности каустик общего положения в размерности три. В зависимости от структуры лагранжева многообразия ответ выражается в виде функций Эйри, Пирси или функции, задаваемой интегралом, соответствующему особенности "ласточкин хвост" . 3 Развит подход вывода асимптотических формул для различных ортогональных полиномов с одним индексом, основанный на вещественном квазиклассическом приближении для асимптотик с комплексными фазами. С помощью указанного подхода выведены конструктивные асимптотические формулы для двумерных ортогональных полиномов (то есть полиномов с двумя индексами) типа полиномов Эрмита. Для получения асимптотических формул использованы обыкновенные дифференциальные уравнения третьего порядка, выведенные в работах А.И.Аптекарева с соавторами. 4 Получены асимптотические решения, описывающие линейные звуковые волны в слое сжимаемой жидкости, порожденные локализованными источниками в полубесконечном упругом основании . При выводе асимптотических формул использовано адиабатическое приближение в виде «операторного разделения переменных» и развит квазиклассический метод Мопертюи-Якоби для асимптотической «скаляризации» задач с трансцендентными дисперсионными соотношениями. 5 Получены асимптотические решения в параметрической форме с использованием координат на подходящих лагранжевых и лежандровых многообразиях для уравнения волнового типа с двумя пространственными переменными с временной дисперсией. 6 Получены конструктивные асимптотики связанных состояний уравнения Дирака, описывающего графен в постоянном магнитном поле с симметричным потенциалом и малой несимметричной массой. 7 Описаны асимптотические решения нелинейных уравнений релятивистской гидродинамики в случае специального вида тензора энергии-импульса. Решения представляют собой функции, испытывающие сглаженный разрыв вблизи меняющейся гиперповерхности коразмерности 1 в пространстве-времени. Исследованы свойства решений; получены уравнения на движение гиперповерхности и на предельные поля по обе стороны от нее.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
1 Общие глобальные асимптотические формулы для канонического оператора Маслова в виде комбинации функции Эйри и ее производной сложного аргумента при наличии каустики типа складки применены для построения асимптотик решения для трехмерного оператора Шредингера с отталкивающим кулоновским потенциалом для (а) задачи рассеяния и (б) задачи с локализованной правой частью. Получены простые явные формулы и описано поведение волновых функций в зависимости от уровня энергии и в случае (б) от формы источника в правой части. Для полученных общих глобальных формул для канонического оператора на лагранжевом многообразии с особенностью типа сборки (каустики в форме клюва) в виде комбинации функции Пирси и ее производных сложного аргумента разработан аналитико-численный алгоритм, реализующий эти формулы для задачи рассеяния в случае, когда лагранжево многообразие можно определить лишь с помощью численных расчетов. 2 Получены и исследованы асимптотические решения одномерной системы уравнений мелкой воды, описывающие длинные стоячие волны (типа волн Фарадея) в протяженном бассейне с пологими берегами. Такие решения описывают, в частности сейши в протяженных бассейнах. Один из основных результатов – описание динамики и величины заплеска на берег от периодических по времени длинных волн. Проведено сравнение полученных асимптотик с экспериментом в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, которое показало достаточного хорошее совпадение теоретических и экспериментальных результатов. 3 С помощью адиабатического приближения в операторной форме построены конструктивные асимптотические решения многомерного неоднородного (двух- и трехмерного) уравнения Гельмгольца в слое D конечной глубины по вертикальной переменной z с кусочно-постоянным по переменной z коэффициентом преломления и терпящими разрыв на гладкой поверхности, разделяющей D на два подслоя D1 и D2. Правая часть имеет форму пространственно локализованной функции, и рассматриваемая задача для рассматриваемого уравнения близка по постановке к задаче об асимптотике функции Грина. Задачи такого типа возникают в подводной акустике. Один из основных результатов работы состоит в наличии в асимптотике для дальнего поля лишь конечного числа «вертикальных мод». 4 Получено решение задачи Коши для уравнений индукции с линейным полем скоростей и дельта-образным начальным условием, локализованным в окрестности кривой. Для ряда конкретных кривых изучена асимптотика решения при больших числах Рейнольдса и больших временах.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
(1) Получены общие конструктивных равномерные асимптотические формулы для решений линейных стационарных систем n-мерных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с локализованными в фиксированной точке y правыми частями. Общие формулы получены в предположениях о постоянной кратности возникающих в задачах эффективных ''гиперболических'' гамильтонианов (термов) Hj(x,p), заданных в 2n- мерном фазовом пространстве с координатами (x,p), описывающих вклад в асимптотику различных мод (то есть собственных значений матрично-значного символа соответствующего оператора). В качестве примеров рассмотрены уравнения Дирака и уравнения холодной плазмы. При построении асимптотических решений требуется выполнения условия о траекториях гамильтоновых систем, задаваемых эффективными гамильтонианами и выпущенные из множеств, в которых (x=y, H(p,y)=0)- такие траектории должны покинуть любую ограниченную область по переменным x за конечное время. Рассмотрен скалярный пример, когда такое условие не выполнено. Показано, что носитель асимптотики решения решения содержится в проекции лагранжева многообразия на физическое пространство, но также появляется компонента асимптотики решения, локализованная в окрестности луча описанного еще В.И.Арнольдом. (2) Показано, что аналогичный луч Арнольда возникает в задаче о асимптотических решениях для безмассового двумерного уравнения Дирака для графена с линейным потенциалом, что связано с наличием эффекта смены кратностей характеристик. У системы уравнения Дирака для графена имеется два эффективных гамильтониана, условно говоря, один соответствует электронам, а второй дыркам. В рассмотренном примере показано, что следствие эффекта смены кратностей приводит к тому, что волны, связанные с электронными термами порождают специальную волну, определяемую дырочным термом. При этом, эта волна локализована в окрестности особого луча Арнольда и для нее получены достаточно эффективные асимптотические формулы. (3) Выведены формулы описания динамики и величины заплеска периодических по времени длинных волн в двумерных бассейнах с пологими берегами, определяемых решениями, носитель которых внутри бассейна либо ограничен каустиками типа гипербол, либо локализован в окрестности либраций. Такие решения описывают, например, сейши. (4) Построены явные асимптотические формулы для решений, описывающих нелинейные береговые волны локализованные в окрестности пологих берегов бассейнов. Они обобщают решения, описывающие (линейные) волны Стокса и Урселла и напоминают известные в акустике решения, определяющие волны типа "шепчущей галереи", но отличаются тем, что, во-первых, в волнах на воде не требуется выпуклости области совпадающей с невозмущенной поверхностью бассейна (такие волны существуют в окрестности островов), и во-вторых что учитываются нелинейные эффекты, без которых, например нельзя определить величину заплеска этих волн на берег. С геометрической точки зрения такие волны можно связать с "вырождающимися бильярдами с полужесткими стенками". (5) Построены и подробно исследованы асимптотические решения типа бегущей волны одномерной системы мелкой воды для бассейнов с пологими берегами. Решение выражается в параметрической форме через решения линеаризованного уравнения, которое определяется в виде элементарных функций. Для полученных асимптотик найдено критическое значение амплитуды в зависимости от длины волны и других параметров. (6) Подробно и со строгими доказательствами был изложен подход униформизации для построения асимптотических уравнений, обобщающих линеаризованную систему уравнений мелкой волы в бассейнах с пологими берегами. Одна из основных трудностей решения таких задач заключается в появлении благодаря вырождению коэффициентов исследуемого уравнения разного рода особенностей в промежуточных формулах. Униформизация задачи- это расширении ее размерности и последующего проектирования полученного решения на подходящее инвариантное подпространство. В расширенном пространстве возникающие объекты уже не имеют особенностей и для построенных решений работают хорошо известные формулы. (7) Построены асимптотические формулы и реализующие их аналитико -численные алгоритмы нахождения в параметрической форме асимптотических решений задачи Коши с быстро осциллирующими и локализованными начальными условиями для уравнений Максвелла с временной дисперсией. (8) Построены асимптотические решения задачи о распространении быстро осциллирующих волновых пакетов, описываемых двумерной линеаризованной системой уравнений мелкой воды в бассейнах с переменным дном, которое может скачкообразно измениться в окрестности некоторой гладкой кривой Q (локализованной неоднородности) на плоскости (x,y) и разделяющие эту плоскость на полупространства K1 и K2 . Начальный волновой пакет находится вне локализованной неоднородности; построенные асимптотические решения описывают прошедшие и отраженные его части от локализованного в окрестности Q уступа. Волновой пакет разбивается на три моды- одну вихревую и две волновые. Описан процесс прохождения и отражения волновых и вихревых мод. Показано, в частности, что в некоторых ситуациях при взаимодействии с уступом вихревые моды могут порождать волновые и наоборот, также возможны ситуации полного прохождения и полного отражения пакетов.