Аннотация результатов, полученных в 2021 году
(1) Был получен ряд новых результатов о геометрии расстояний Громова-Хаусдорфа и Хаусдорфа в некоторых гиперпространствах. В частности, о геометрии кратчайших кривых и оптимальных сетей. Ниже эти результаты описаны более подробно. (1.1)Обнаружены новые лакуны, а именно, первое четное число, которое не может быть реализовано как количество кратчайших кривых в пространстве Хаусдорфа компактных подмножеств евклидова пространства. Разработан метод, позволяющий избежать компьютерного перебора. Изучены так называемые метрические сегменты (семейства точек метрического пространства, лежащие между двумя его фиксированными точками) в метрическом классе Громова–Хаусдорфа и в пространстве Громова Хаусдорфа (см. (1.2)). (1.2) Рассмотрен класс представителей классов изометрий всех метрических пространств, снабженный расстоянием Громова-Хаусдорфа. В работе А.О.Иванова и А.А.Тужилина изучается расстояние Громова-Хаусдорфа на классе $\GH$ всех метрических пространств (с точностью до изометрии). Чтобы работать с таким “огромным” пространствам используется аксиоматика фон Неймана-Бернайса-Гёделя, которая позволяет корректно определить функцию расстояния на этом собственном классе. Также предлагается конструкция, позволяющая построить аналог топологии на $\GH$. В результате на классе $\GH$ определены непрерывные кривые и показано, что расстояние Громова–Хаусдорфа является внутренней псевдометрикой. Также изучалась геометрия метрических сегментов в классе $\GH$. Метрический сегмент – это класс всех точек метрического пространства, лежащих между двумя его фиксированными точками. Показано, что метрический сегмент в $\GH$ является собственным классом, а также изучается возможность продолжения метрических сегментов за одну из граничных точек. Последняя задача оказывается нетривиальной, получен ряд достаточных условий не продолжаемости. Также приведен ряд нетривиальных примеров. (1.3) Также А.О.Ивановым и А.А.Тужилиным совместно с учениками (А.М.Тропин и А.Х.Галстян) велось изучение точек Ферма-Торричелли для простейших границ в гиперпространствах Громова-Хаусдорфа и Хаусдорфа и рассмотрение конкретных примеров сетей с конкретными границами. Рассматривается обобщение известной задачи Ферма-Штейнера-Торричелли, где в качестве объемлющего пространства рассматривается гиперпространство над ограниченно компактным метрическим пространством, а число граничных “точек” (в данном случае, компактов) может быть любым конечным. Решение – дополнительный компакт в этом контексте называется астрокомпактом Штейнера, а сеть, соединяющую астрокомпакт Штейнера с граничными компактами, --- минимальной астросетью. Расстояние между компактами измеряется с помощью стандартной метрики Хаусдорфа. Получена нижняя оценка длины минимальной астросети Штейнера и далее рассмотрены только границы, для которых эта оценка достигается, то есть длина минимальной астросети совпадает с нижней точечной оценкой. Такие границы называются точечно реализуемыми. Получен алгоритм проверки точечной реализуемости границы. В случае положительного ответа, показано как можно найти все максимальные по включению астрокомпакты Штейнера. С помощью этого алгоритма найдено полное решение задачи Ферма-Штейнера-Торричелли для двух 1-параметрических семейств трехэлементных границ в гиперпространстве над евклидовой плоскостью. Выбор “удобного” расположения опорных точек астрокомпактов Штейнера позволяет изучить бифуркации решений в рассмотренных примерах. В частности, продемонстрировано, что в гиперпространствах могут возникать бифуркации, которые отсутствуют в исходном пространстве. Работа готовится к подаче в редакцию. (1.5-1.6) Работа В.М.Чикина, выполненная в рамках нашего проекта, находится на стыке задач (1.5)-(1.6), реализация которых была намечена на второй год реализации проекта. Для изучения поведения отношений типа Штейнера при деформации метрики необходимо понимание того, как ведет себя функция расстояния между точками на многообразии, порожденная внутренней метрикой этого многообразия. В подготовленной им статье (принята к печати) изучаются однопараметрические деформации метрик. При этом предполагается наличие непрерывности длин кривых при изменении параметра, и изучаем дополнительные условия, которых будет достаточно для непрерывности расстояний. Стартуя с наличия непрерывности длин кривых (это весьма удобно на практике), из непрерывной зависимости римановой или финслеровой метрики от параметра очевидно вытекает непрерывность длин кривых, и, чтобы получить непрерывность функции расстояния, достаточно проверить выполнение определенных условий. Помимо этого, приводятся специальные достаточные условия непрерывности расстояний в случае ограниченной компактности пространства. В качестве приложения рассмотрены финслеровы многообразия метрики, которых непрерывно зависят от параметра. Для таких компактных финслеровых многообразий выполнены достаточные условия непрерывности расстояния, из чего следует, что функция расстояния на таких многообразиях также непрерывно зависит от параметра. Последний результат обобщается на полные финслеровы многообразия. Как следствие, имеем, что на полных римановых многообразиях, метрики которых непрерывно зависят от параметра, расстояния между точками непрерывно зависят от этого параметра. (2) Узлы и зацепления кодируются диаграммами, которые представляют собой крестовые графы с некоторой дополнительной структурой. Кроме того, для кодирования узлов можно использовать, например, гауссовы диаграммы и графы пересечений хордовых диаграмм. В данных направлениях велись следующие работы и получены следующие результаты: -- Рассмотрен вопрос о реализуемости (цикличности) оснащенных графов в виде хордовых диаграмм (вершины соответствуют хордам и две вершины соединены ребром, если соответствующие хорды пересекаются) с точностью до преобразований, соответствующих смене поворачивающего обхода на крестовом графе. Получены точные списки W5-,W7-,BW3-единственных графов, которые порождают все минимальные нециклические оснащенные графы. В результате получаются 166 классов эквивалентности нециклических оснащенных графов. -- Исследовался вопрос о вложимости крестового графа в двумерные замкнутые поверхности с помощью минимальных запрещенных миноров. Получены все минимальные запрещенные миноры для вложимости крестового графа в проективную плоскость. Получены пять минимальных запрещенных миноров для вложимости крестового графа в тор и сформулирована гипотеза, что других нет. -- Рассматривались объекты, обобщающие куб разведений диаграммы зацепления, и движения на них. Для таких объектов построена скобка Кафумана и показано поведение ее при движениях. (3) В нашем проекте несколько новых интегрируемых систем было изучено с топологической точки зрения. (3.1.1.) Участником проекта В.А.Кибкало был изучен аналог волчка Эйлера в псевдо-евклидовом пространстве. Описана топология слоений Лиувилля для четырехмерной орбиты общего положения, т.е. при ненулевых значениях геометрического интеграла и интеграла площадей. Был определено, что регулярные слои слоения Лиувилля системы бывают гомеоморфны не только тору, но и цилиндру или плоскости. Также определены типичные перестройки коранга 1 этих слоев -- аналоги 3-атомов Фоменко из компактного случая. Каждая такая перестройка системы, как оказалось, имеет тип прямого произведения расслоенной 2-базы на 1-слой. У одной из них слоение в базе соответствует известной бифуркации эллипс-парабола-гипербола, возникающей в классической задаче о конических сечениях. Как оказалось, топология слоения на 4-мерной орбите зависит как от знака значения геометрического интеграла f1 = a (в случае a >0 имеем однополостный гиперболоид в 3-мерном пространстве координат, а при a < 0 – двуполостный), так и от того, какому из главных моментов инерции тела соответствует ось времени. Если этой оси соответствует средний момент инерции, то компактных слоев слоение Лиувилля не имеет. В указанной системе доказано наличие некомпактных и некритических бифуркаций. Вопрос о компактности или некомпактности слоя удалось свести (как ранее в работе В.А.Кибкало о волчке Ковалевской в псевдо-евклидовом пространстве) к эффективно вычисляемым характеристикам. (3.3) С помощью эволюционных биллиардов А.Т.Фоменко (совместно с В.В.Ведюшкиной) удалось поставить в соответствие каждому интегрируемому геодезическому потоку на двумерной сфере, обладающему линейным интегралом, некоторый поток на сфере с квадратичным интегралом. Данный факт удачно дополняет сделанное ранее ими же наблюдение, что эволюционные биллиарды, моделирующие эти системы в разных зонах энергии и интеграла площадей, тесно связаны. Дополнительным результатом А.Т.Фоменко (совместно с В.В.Ведюшкиной) оказалось построение для двух известных интегрируемых систем динамики (волчок Ковалевской и случай Жуковского, т.е. волчок Эйлера с гиростатом) эволюционных биллиардов. Построенные эволюционные биллиарды моделируют топологию слоений Лиувилля этих систем сразу в нескольких (пусть и не всех) регулярных зонах энергии. При этом бифуркационным значениям энергии и интеграла площадей этих систем (сама бифуркация слоения устроена весьма сложно) соответствует некоторая перестройка конфигурационного пространства – стола биллиарда. (4) В 2021 году основным исполнителем проекта Г.В.Носовским совместно с А.Ю.Чекуновым была построена модификация алгоритма геометрического кодирования, реализующая выделение более тонких и четких контуров, чем исходная версия. Важно, что при этом сохраняется высокое качество изображения и верная передача его существенных деталей, включая достаточно мелкие. Новый испытан на большом наборе фотографий., причем с ростом разрешения возрастает выигрыш в эффективности нашего алгоритма по сравнению с алгоритмом Canny (широко применяемым в библиотеке OpenCV). Реализация алгоритма выполнена с использованием CUDA (как и сравниваемый с ней алгоритм Canny). В работе приведен ряд показательных примеров, где новый алгоритм сохраняет структуру мелких деталей изображения, что делает его весьма перспективным для конкретных задач сегментации, распознавания образов и компьютерного зрения. Кроме того отметим, что выделенные контуры являются однопиксельными, что существенно уменьшает необходимый для их хранения объем памяти. В течение первого года реализации проекта было опубликовано 2 статьи в научных журналах WoS CC и Scopus (одна из них в Q1-журнале), 1 статья была принята к публикации и еще 2 поданы в редакции. Участниками проекта сделано 14 докладов, в том числе пленарный доклад А.Т. Фоменко на высокоуровневой конференции. На странице проекта РНФ http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php на сайте кафедры дифференциальной геометрии и приложений мы также публикуем основные результаты проекта и подготовленные препринты.

Аннотация результатов, полученных в 2022 году
В течение второго года реализации проекта нами получены важные продвижения по основным направлениям настоящего проекта, решены ключевые задачи, как изначально поставленные при его подготовке, так и дополнительные, возникшие по ходу реализации проекта. (1) В области метрической геометрии, теории гиперпространств с расстояниями Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа научной группой нашего проекта (основной исполнитель А.О.Иванов, проф. А.А.Тужилин, асп. А.Х.Галстян, студ. Д.А.Илюхин), в т.ч. совместно с соавторами, было получено: - Доказано, что расстояние Громова--Хаусдорфа является внутренним на классе (в смысле аксиоматики фон Неймана--Бернайса--Гёделя) всех метрических пространств (без предположения об их компактности), рассматриваемых с точностью до изометрии. Результат применен к задачам геометрии метрических сегментов и проблеме их продолжаемости. - Описана локальная геометрия метрического класса Громова–Хаусдорфа GH в достаточно малой окрестности метрического пространства общего положения (с использованием оригинальной техники оптимальных соответствий и их искажений). - Показано, что любое ограниченное метрическое пространство изометрично вкладывается в метрический класс Громова–Хаусдорфа GH. - Доказана непрерывность кривой в таком гиперпространстве, порожденной парой его выпуклых элементов, а именно, пересечение окрестности переменного радиуса t одного компакта с другим; - Предложено обобщение понятия множества сцепки; - Теорема о взаимосвязи границы из выпуклых компактов с максимальным компактом из класса решений; Достаточное условие того, что граница является неустойчивой; - Для задачи об оптимальном соединении рассмотрен ее частный случай: проблема Ферма-Торричелли для нормированного пространства. Полностью решена задача о единственности решения задачи Ферма-Торричелли для трех точек в нормированном пространстве. - В задаче о минимальном параметрическом заполнении конечного метрического пространства был выполнен переход к двойственной проблеме и изучены выпуклые многомерные многогранники, соответствующие типам минимального параметрического заполнения (деревьям, соединяющим данное конечное метрическое пространство). Были получены формулы для веса минимальных заполнений и существенно улучшена оценка на число неприводимых мультиобходов. Как следствие, упрощена общая формула веса минимального параметрического заполнения и найдены новые явные формулы для конченых пространств, состоящих из 5 и 6 точек. (2) Теория узлов и зацеплений: основным исполнителем проекта Д.П.Ильютко получены следующие результаты: - Построены новые серии минимальных запрещенных миноров для вложимости в замкнутые двумерные поверхности. - Построена весовая система оснащенных хордовых диаграмм, отвечающая алгебрам Ли. Для некоторых конкретных алгебр Ли и линейных операторов был найден конкретный вид весовой системы. - Построены примеры инвариантов Васильева граф-зацеплений, которые обобщают известные инварианты Васильева виртуальных узлов. (3) Интегрируемые, суперинтегрируемые и динамические системы, биллиарды и потоки на двумерных поверхностях: А.Т.Фоменко и его учениками были получены следующие результаты: (3.1.2) - В.А.Кибкало была изучена топология слоения Лиувилля псевдо-евклидова аналога системы Лагранжа для конкретного потенциала (линейного). Определены классы гомеоморфности слоев слоения Лиувилля, типы возникающих перестроек и вычислены аналоги грубых молекул (инвариантов Фоменко). Как оказалось, система содержит некомпактные некритические бифуркации, что ранее было установлено В.А.Кибкало для волчка Эйлера (п. 3.1.1. за 1й год проекта, и еще раньше - для системы Ковалевской). (3.2) - Д.А.Федосеевым получен исчерпывающий (отрицательный) результат для задачи описания псевдоримановых вполне бертрановых систем. Показано, что не существует пар “псевдориманово многообразие вращения — центральный потенциал”, для которых все траектории движения точки замкнуты. Описана общая структура псевдоримановых локально бертрановых многообразий. Сформулирован список задач для дальнейшего изучения и подготовлен препринт Д.А.Федосеева в arXiv.org, https://doi.org/10.48550/arXiv.2212.01922 (3.3) А.Т.Фоменко и В.В.Ведюшкиной показано, что для каждого геодезического потока на двумерном ориентируемом многообразии (торе и сфере), имеющем линейный по компонентам импульса первый интеграл, существует квадратично интегрируемый геодезический так что они могут быть объединены в единый эволюционный биллиард. При этом эволюция биллиарда происходит в результате совмещения фокусов биллиарда, моделирующего квадратично-интегрируемый геодезический поток. (3.4*) А.Т.Фоменко и В.А.Кибкало введена операция перегибания биллиардной книжки и с ее помощи задача классификации биллиардных книжек сведена к вопросу о перечислении наборов перестановок, удовлетворяющих хотя бы одному из девяти конкретных наборов условий коммутирования, с последующим сравнением найденных решений на предмет их эквивалентности относительно той же операции. При указанной операции стол-комплекс усложняется (могут добавляться новые вершины, ребра), но не “слишком”: все новые ребра инцидентны ровно двум 2-клеткам стола. (3.5*) Классом биллиардных книжек (биллиардов на кусочно-плоских столах-rкомплексах с перестановками) топологически промоделированы примеры неморсовских мультиседловых особенностей типа прямого произведения. Работа студентки А.А.Кузнецовой с данным результатом принята к печати. (3.6) Получено описание потоков, типичных в дополнении класса потоков Морса до класса градиентных потоков - и дополнения потоков Морса-Смейла до множества гладких потоков общего вида. Получено описание изолированных особенностей таких потоков. (4) Разработан и реализован на платформе параллельных вычислений в архитектуре CUDA алгоритм поиска однопиксельных контуров цветного изображения методом геометрического кодирования. Предложенный подход является новым, более геометрическим, чем существующие сегодня подходы, и имеет преимущество перед ними как в более высокой скорости вычислений (что особенно важно для обработки изображений высокого разрешения, а также для пакетной обработки), так и в полноте учета информации о цветах изображения, что приводит к более высокому качеству выделения контуров, приближенному к восприятию человеческого глаза. Получены предварительные результаты, показывающие улучшение распознавания лиц нейросетью, если в качестве входного изображения использовать комбинацию исходного изображения и выделенных из него контуров методом геометрического кодирования. В течение первого года реализации проекта было опубликовано или принято к печати 12 статей в научных журналах WoS CC и Scopus, RSCI и других (из них 4 в журналах первого квартиля и еще 4 в российских журналах второго квартиля Q2). Участниками проекта сделано 19 докладов, в том числе пленарные доклады на высокоуровневых конференциях: Второй конференции математических центров, Lobachevskii Readings 2022. На странице проекта РНФ http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php на сайте кафедры дифференциальной геометрии и приложений мы также публикуем основные результаты проекта и подготовленные препринты.